m.l.2...|H. — m) \|i j \ pi / m — S

Nous pouvons donc déduire de l'inégalité (1) celle-ci: (2) P ^ '-^■--'^ /gxm/^-gy-^i ,„

(^) ^m<^.2..,v^.l.2...{^^m)Wj [ p. ) m-S'

oii m est supposé plus grand qu(^ S -+- 1 .

§ 5. Mais on sait, que la valeur du produit 1 .2 ...(x— l).ic est plus

petite que 2,533; ^ e ^^' et plus grande que 2,50a; ^ e""*). D'après cela la valeur de l'expression

est plus petite que

') Voici comment ou parvient très aimpleiiieut k ce réaultat.

Enduisant respectivement les valeurs des expressionâ

eoneapondintes à x^n-t-l, par leurs valeurs, qui correspondent h X^^n, on trouve pour leurs

ce qui se réduit à

("+})i"ï„-^,-M+è&-«iî) ("+¥)'"« ^1-

La première quantité étant plus grande que l'unité, la seconde plus petite, il est clair

I 2 /sî Il ^ 1 2 fic ' 1) a?

que lorsque x augmente, la valeur de -"-'■'■ y- augmente aussi et celle lie ■- — ——j ■ — -■ ■--

dinimue. x e x e

Donc pour toutes les valeurs de x, moindres que s, on aura

1.2...{x—l).x 1.2 ..fa — 1).8 1.2...(a: — 1) x 1.2. . .(.v — l).,s

et à plus forte raison plus petite que

car pour la plus grande valeur de e^^^, qui est é^^, le produit

est encore plus petit que -^.

On a donc suivant (2) :

n«/n- sy-îM-i

011, ce qui est le niênie:

Cette inégalité donne le théorème suivant :

Théorème. «Si les chances de l'événement E dans p. épreuves consé- «cutivcs sont p-^ , p^, p^, ... p , et que leur somme est S, la valeur de l'ex- «pression

J . /m Itt - w| /g\^/n-g\i-«.+i

«pour m plus grand que 5-1-1, surpasse toujours la probabilité que E arri- «vera au moins m fois dans ces \j. éprt^uves».

ef, par conséquent,

(A) 1.2., {x^l).x<Te ^^'w ^e * '^^, 1,2. . .(a;— l).x > Tj: ^ e~^

où T ilésigne la valeur de l'expression — — -^ —.

Mettons s :^ co p,t uorniiinns T^ la Yaleur de — — '—^ -- pour ,! ■= co ; il suit de (A)

que pour toutes les valeurs finies de x on aura

l.2...{x—\).x<T^x ^e " ^^''^ 1.2 [x-l] x> T^x ^ e'", où Tf, est ane constante.

Tïln faisant dans ces inégalités x ■= 10, on trouvera que î'o est plus graud qi:c 2,50 et moindre que 2,53; par conséquent les inégalités précédentes donnent