x~l) x<2fi3x' ^e " '^', \.2...{x-l).x>2f)iix '^e

En changeant m, p^^ p^, p^,. . .p^, S en [j. — n, 1 — p^, 1 —p^, 1 — Pg} ■ ■ ■ 1 — i'n j V- — 5^1 il suit de ce théorème que, si la somme 1 — Pj -H 1 — Pa-^l — p^-t- . . . -H 1 — p^ est égale à ]3. — S, la valeur de l'expression

pour }j.^n'>\j. — S-\-l surpasse celle de la probabilité que l'événement contraire à E arrivera au moins [i — n fois dans fj: épreuves, où ^,,^3, Psi ■ • • Pu. 8*ïût les chances de B.

En observant que les conditions

l^Pj-f-l — Pa^-l— PsH-. - .-\-\ — f^=^—S', V^— m>lJ. — 6'-l-l

se réduisent à

P,^-Ps-^-^3-^- ■ ■ ■ -*-P^ = ^, n<S—l,

et que l'évéuement contraire à E n'arrive pas moins de ji.— n fois dans [i. épreuves, si E ne se présente dans ces épri^ives plus de n fois, nous arrivons au théorème suivant:

Théorème. «Si les chances de l'événemeut E dans ji épreuves consé- «cutives sont P^y P^, P^, ■ ■ . p^^- et que leur somme est S,, la valeur deTex- «prfssion

«pour n phis petit que 6^ — 1, surpassera toujours celle delà probabilité que «.E n'arrivera dans ces épreuves plus de n fois».

§ 6, Mais la répétition de l'événement JE" ne peut donner lieu qu'à l'un de ces trois cas: ou l'événement reviendra au moins m fois, ou il ne reviendra pas plus de n fois, ou enfin il reviendra plus que n et moins que m fois.

Donc la prohabilité du dernier cas sera déterminée par la différence centre l'unité et la somme d(^s probabilités de deux premiers cas.

Donc, comme conséquence des deux derniers tliéorèmes, résulte le suivant :

Théorème. «Si les chances de l'événement E dans [x épreuves conséncutives sont p^, p^^ p^, ... p et que leur somme est 8, la probabilité que «le nombre des répétitions de l'événement i' dans ces fj. épreuves sera moindre «que m et plus grand que n, surpassera, pour m plus grand que S-i-l et «pour » plus petit que 8 — 1, la valeur de l'expression

Pour déduire de ce théorème la proposition énoncée au commencement de la note, nous remarquons que le rapport du nombre des répétitions de l'événement iî dans fi épreuves au nombre u. n'atteint pas les limites

si E dans ces épreuves amve moius que S-i-^s et plus que S — ji^ fois.

Mais la probabilité que ceci a lieu, surpassera (d'après le dernier théorème) pour ^ >— , la valeur de l'expression

J /(5-tig)»-S-i-ng)7 2,1.1: y p. \p.

V— S4-(i» / S \S— IU-l-1

qui peut être mise sous la forme oii l'on a fait pour abréger — =:^ et

Les équations (4) nous donneront pour les logarithmes naturels de H, H^ les séries suivantes :

2pV S pj l2p»V 5 p)

2p\ 3 pI ]2î(» V 5 î»/ '■' 2(l--y) 6(1— î))ï

et

d'où il est clair que IT, H^ ont des valeurs moindres que 1.

n suit de là que l'expression (3) s'approche indéfiniment vers 1 par l'accroissement de ix, de manière qu'on rendra sa différence de 1 bien plus petite que Q, en prenant pour fi un nombre quelconque plus graud que

Nous sommes donc parvenus à la démonstration rigoureuse de la proposition qni est l'objet de cette note.

SOR LA FONCTiON

QUI DÉTKBlIffi

LA A 0 1 ALI i âx i]£io IvuJjIdKjwo r K£cMI£tKo

IHFÉKlMaS À »HK UMITK DOHHKK.

(Mémoirea présentés à l'Académie Impériale des sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI, 1861, p. 141 — 157. Journal de mathématiques pures et i XVn, 1852, p. 341—365.)

êcAUZllHU.

(Toopia cpacneHia, C.-lleTep6ypn,, 1849, crp. âOïl— ^29.)

Sur la fonction qui détermine la totalité des

nombres premiers inférieurs à une limite

donnée.

§ 1. Legendre, dans sa Théorie des nombres*), propose une formule pour déterminer combien il y a de nombres premiers depuis 1 jusqu'à une limite donnée. Il commence par comparer sa formule avec l'énumération immédiate des nombres premiers faite dans les tables les plus étendues, nommément depuis 10000 jusqu'à 1000000, et l'applique ensuite à la solution de plusieurs questions. Malgré la concordance prononcée de la formule de Legendre avec les tables des nombres premiers, nous nous permettons néanmoins d'élever quelques doutes sur son exactitude, et par conséquent aussi sur les résultats qu'on en a tirés. Nous fondons notre assertion sur un théorème, relatif aux propriétés de la fonction qui détermine combien il y a de nombres premiers inférieurs à une limite donnée, théorème dont on peut déduire plusieurs conséquences curieuses. Nous allons d'abord donner la démonstration du théorème en question, et nous en présenterons ensuite quelques applications.

ler Tbéorème.

§ 2. Si Von représente par ç {x) la totalité des nombres premiers inférieurs à X, par « un entier quelconque, enfin par p une quantité > 0, la somme

jouira de la propriété de s'approcher d'une limite finie, à mesure que p converge vers zéro.

*) Tnmc 2, page G5 (Tro

Démonstration. Commençons par démontrer que la propriété en

question a lieu pour les fonctions que l'on obtient par la différentiation successive des trois expressions

^'»6(i-ïè?)-2fii

par rapport à p; ici, comme par la suite, la sommation par rapport à m s'étend à tous les entiers depuis m^2 jusqu'à m = oo, et par rapport à fji seulement aux nombres premiers, également depuis [ji, = 2 jusqu'à i», = oo. Considérons la première expression. Il est facile de, voir que Ton a

I €"—1 .^jmi+p I '

f «-« a:Pda:

En vertu de cette équation la dérivée d'un ordre quelconque n de ^ Tï; "~ ~ P^r rapport à p sera égale à une fraction, dont le dénominateur est rr^"* a;''da;T^ et le numérateur une fonction entière des expres-

(-—Y \ e'" x'^hg^xdx,... {-^zzx ) e"" x''\og" xdx,

e"' x^dx, e~' it** log xdx, e"" x^ log^ xdx,. . . er'' x^ log" xdx. Or, une telle fraction, pour w ^: 0 aussi bien que pour n > 0, s'ap-

proche d'une limite finie à mesure que p converge vers zéro ; car la limite de l'intégrale J e~' x^ dx pour p ^ 0 est 1 , et les intégrales

e "^ 3f log X dx,

x^logxdx, e~' x^\o%^xdx,. . . e"" x^ \<ig" x dx

ponr p ^ 0 conservent évidemment des valeurs finies.

Ainsi, il est certain que la fonction 2^+p ' ^"^^ ^^'^^ ^"^ ^^^

dérivées successives, resteront finies à mesure que p convergera vers la limite zéro.

Considérons actuellement la fonction

ÏP — 2Iog(l-^).

sait

que

21+pJ

~pW)('

4ïïp"** '

d'où l'on tire

-log (l -^)-^^ë (l"-3è?)-Ï0g (l — 5^?)- ■ • = l0g (l -H^è^H-gl^H- jif^-H. . .),

équation qui, d'après la notation admise plus haut, peut être écrite de cette manière

donc

iogp-2iog(i-ji;)=iog(i + 2s^)p;

ou bien

logf-21og(l-pL) = l„g[l Hf-H(2Ji;-|)p].

Cette équatiou fait voir que toutes les dérivées de

logf-21og(l^-j5L)

suivant p, s'exprimerout au moyen d'uu nombre fini de fractions, dont les dénominateurs seront des puissances entières et iiositives de

et les numérateurs des fonctions entières de p, de l'expression ^ —i^^ — — et de ses dérivées par rapport à p. Or, de telles fractions s'approcheront d'une limite finie à mesure que p convergera vers zéro; car l'expression l-t-p-i-(N ^— — — jp, qui entre dans les dénominateurs de cesfractions, tondra vers la limite 1 à mesure que p s'apjirocliera de zéro, et cela parce-

que la différence ^ —^^- 1 dans cette hypothèse, reste finie comme

nous l'avons démontré plus haut. Quant à ce qui concerne les numérateurs,

comme ils ne contiennent la différence \^ -j~ et ses dérivées que sous

forme entière, et que ces fonctions tendent vers une limite finie quand p converge vers zéro, U en sera de même pour ses numérateurs.

Il nous reste encore à démontrer que la même propiiété à lieu relativ(^mont aux dérivées de la fonction

Nous remarquerons d'abord que sa première dérivée sera

,/jna-(-2p 1

Il est facile de voir par la forme de cette fonction que les dérivées des ordres supérieurs s'exprimeront également au moyen d'un nombre fini des termes tels que

p, g, r n'étant par inférieurs à zéro. Mais chaque terme de cette nature, pour des valeurs de p non-inférieures à zéro, a une valeur finie; en effet, pour p = 0 et p > 0, la fonction sous le signe 2. sera une quantité d'nn ordre supérieur au premier par rapport à — .

Après nous être convaincu que les dérivées des trois expressions

pour des valeurs de p convergentes vers zéro, tendent vers des limites finies, nous coEcluoQS que la même propriété aura également lieu pai rapport à l'expression

dp" rfp" dp"—'

laquelle, après les différentiations effectuées, ce réduira à -I- ("V !^!^ V '"5"-^"^

Ce qui vient d'être dit renferme le théorème énoncé plus haut, car il est facile de remarquer que, d'après notre notation, la différence

■>^ log»|t ^^ log"-! m

est identique avec Texpresaion

2[T(».H-l)-çW-,-„-i;]':Ç, ou bien, ce qui revient au même, avec

Pour le faire voir il n'y a qu'à observer que le premier terme de cette différence est simplement égal àN -f^:^, parcequc le facteur 9 {a;-i-l) — <p{x) de -^j^^ se réduit, par la définition même de la fonction cp, à 1 ou à 0 suivant que x est un nombre premier ou un nombre composé. Quant au

second terme > "^"+,^1 il se transforme évidemment en ^, '^S+é"- par

le changement de x en m.

De cette manière la proposition que nous avions en vue de démontrer, se trouve complètement établie.

§ 3. Le tliéorèine dont on vient de donuer la démonstration conduit à plusieurs propriétés curieuses de la fonction qui détermine combien il y a de nombres premiers inférieurs à une limite donnée. Et d'abord observons que la diflférencc

1 r dm

<gx J loga;'

log

pour X très grand, est une quantité infiniment petite du premier ordre par

rapport à — ; par conséquent l'expression

pour X très grand, sera de l'ordre 2 -h p relativement à — ; d'après cela, la

^ \ log a; log X

dx ^ log" X

pour des valeurs de p non-inférieures à zéro, restera finie. Ajoutant cette somme à l'expression

2[<p(=^-l)-<pw-,^]^^

pour laquelle le théorème I-er a lieu, nous concluons que la valeur de

restera finie à mesure que p convergera vers la limite zéro. De là on tire le théorème suivant:

ll-énie Théorème.

La fonction (u (x), qui désigne combien il y a de nombres premiers inférimrs à x, satisfera, entre les limites x = 2 et a^^oo, une infinité de fois aux deux inégalités

/ \ ^ l dx rix , I \ ^ \ dx ax

T\>'^ I Jog a; log" m ~ ' -^ ^ I Ing X log" as'

quelque petite que soit la valeur de a, supposée positive, et quelque grand que soit en même temps le nombre n.

Démonstration. Nous nous contenterons de démontrer l'une de ces deux inégalités, parceque l'autre s'établira tout-à-fait de la même manière. Choisissons, par exemple, la suivante:

Pour prouver que cette inégalité est satisfaite une infinité de fois, admettons d'abord que le contraire ait lieu, et voyons quelles seront les conséquences de cette hypothèse. Soit a un entier supérieur à e"et supérieur en même temps au plus grand nombre qui satisfait à l'inégalité (I). Dans cette supposition on aura pour x'p-a l'inégalité

*• ' — I )og a; I(

et par conséquent

^ ' T \ ' l \og x = log" a: ' log a: ^■

Or, si l'on admettait les inégalités (2), il en résulterait, contrairement à ce qui a été démontré plus haut, que l'expression

log" X

au lieu de converger vers une limite finie pour des valeurs très petites de p. s'approcherait de la limite -+- oo. En effet, nous pouvons considérer cette expression comme la limite de

pour s = oo. Supposant donc s > o, cette quantité peut être mise sous la forme

en faisant pour abréger

et observant que G désignera une quantité finie pour p = 0 et p > 0.

Or, l'expression (3), en vertu de la formnle connue

2 M^ (v^i — v^) = M, v,^-i — M^ v^^, — 2 v^ (m^ — w,i) , et après avoir fait

se transformera dans la suivante: