SH-P

log"(x~l)

qui, à son tour, en faisant 6 > 0 et < 1 , pourra s'écrire comme il suit:

Si l'on représente par F la somme des deux premiers termes de cette expression, et si l'on observe de plus que le troisième est positif en vertu de la condition (2), on sera en droit de conclure que l'expression précédente a une valeur supérieure à

Les mêmes conditions (2) font voir que dans cette expression la fonction sous le signe 2 conservera une valeur positive entre les limites. En outre, on aura entre les limites de la sommation 1") 1 -i-p — lôTi^—é) -^ ^ — I^'

car p > 0, a; > a -t- 1 , â < 1; 2°) 9 (x) log « """^ log"

loga: -^ log"(x-fl)' ^3

vertu de la seconde la démée de , "f , éeale à , „ ■ (1^ — r-^K est

positive, ce qui donne jr^^ > i°n|~V Donc l'expression précédente surpasse la somme

log» (H - «1 \ ' log «; (a! - «)H-t >

qui, après les réductions, devient

or, cette dernière expression est évidemment supérieure à celle-ci

F-t-nil laquelle, pour s = oo, se réduit à

iog al ^^ aji+p

\ log"/ J ,-«:.? (te

Il est facile de faire voir que la quantité à laquelle nous sommes parvenus converge vers la limite -h- oo pour p ^ 0. Eu effet, on a d'abord

^!rï <i^^^-*- co, e~''dx=\, de plus a et 1 — j-

des quantités positives, la première par hypothèse, et la seconde en vertu de la dernière inégalité {2).

Nous étant assurés de cette manière que, dans l'iiypothèse admise, non seulement la somme

'|[,(.+i)-,(.)-£;ij]'iÊf,

mais aussi une quantité plus i)etite qu'elle se réduit à h-oo, nous sommes en droit de conclure que l'hypothèse eu question est inadmissible, d'où découle de suite la légitimité du théorème II.

§ 4. n sera facile actuellement, en vertu de la propositiou précédente, de démontrer le théorème qui suit:

lll-éine Théorème.

V expression --^ — log x, pour a::^oo, nepeut avoir une limite différente de — 1.

Démonstration. Soit L la limite de la différence -^ — les x pom- X = oo. Dans cette hypothèse on pourra toujours trouver un nombre N tellement grand que pour a; >■ iV la valeur de -^ — log ce sera comprise entre les limites Z — £ et L -+- e, s étant aussi petite qu'on voudra. Ainsi, pour de semblables valeurs de x, et lorsque s > 0, on aura

Mais, en vertu du théorème précédent, les inégalités

sont satisfaites par une infinité de valeurs de x, et par conséquent aussi par des valeurs de x supérieures à N, pour lesquelles les inégalités (4) ont lieu. Or, CCS inégalités, combinées avec celles que nous venons d'écrire, conduisent à

a; > i — s, — j ~ — loga; < Lh-s;

I dx ax I dx

J log X log" X J log a: