(loga;— 1) ( f,-^ — ,-"^-^ "■ » M log a: log« x I

y dx

'"iog^xj

-(log^-1)^^-..-^^

Od TOit par ces inégalités que la valeur numérique de L-t-\ ne surpasse pas celle de l'une des expressions qui en forment les seconds membres. Be plus s peut devenir aussi petite qu'on voudra dans riiypothèse de N très grand, et on peut eu dire autant de chacune des quantités

iC — {log X — 1)

dx am

log a; "*" log" X

car, pour x ,^ oo, on trouve par les principes du calcul différentiel que leur limite commune est zéro.

Nous étant ainsi convaincus que les limites

3; — (log a;—]) [ f ,-^-^]

'^ ^ M log X ^ ing" X j . ^^ i=ts,

I log x~*~ log" X J2

de la valeur numérique de L-t- 1 peuvent être diminuées à volonté, nous sommes en droit de conclure que L -4- 1 = 0, et par conséquent L^ — I , ce qu'il s'agissait de démontrer.

Ce que nous venons de prouver relativement à la limite de la valeur de —j^. — log X, pour 2: ^ 00, ne s'accorde pas avec uue formule donnée par Legendre pour déterminer approximativement combien il y a de nombres premiers inférieurs à une limite donnée. D'après lui la fonction 9 (x), pour X très grand, est exprimée avec une approximation suffisante par la formule

9(ic) =

log X — 1,08366'

qui donne pour la limite de -^ — log a; le nombre — 1,08366 au lieu de ^ — 1.

§ 5. En partant du théorème II on peut déterminer la limite supérieure du dégre de précision avec lequel la fonction, désignée par 9 (a;), peut être remplacée par toute autre fonction donnée f(x). Dans ce qui va suivre nous comparerons la différence f(x) — v (x) avec les expressions

et, pour abréger le discours, nous dirons que  est une qimt^ité de l'ordre p^, quand le rapport de ^ à p^ pour a; = 00, sera infini pour m > » et zéro pour m <in. Cela posé, nous allons démontrer le théorème suivant: