IV-éme Théorème

pour x= oc, a pour limite tme quantité finie ou infinie, la fonction f(x)

ne peut représenter 9 {x) exactement en quantités de l'ordre r;- „ ■ inclu-

Soit L ia limite vers laquelle converge l'expression

à mesure que x s'approche de l'infini. Comme L, par hypothèse, est différente de zéro, elle ne pourra ôtreégalequ'àunequantitépositiveounégative. Supposons la positive; notre raisonnement s'appliquera sans difficulté au cas de X < 0.

Si la limite L de l'expression que nous considérons, pour ^^00, est supérieure à zéro, nous pourrons ti'ouver un nombre N assez grand et tel que, pour xy> N, la valeur de l'espi'ession

'^ flx)

reste constamment supérieui'e à une certaine quantité positive l. Nous aurons donc pour œ >■ iV

(6) 'iSp[f(^)^f-f^>l

Mais, en vertu du théorème II, quelque petit que soit a. = —^ nous aurons pour un nombre infini de valeurs de x l'inégalité

qui donne

r \ ^ ^- I log a; log" X '

en la multipliant par -'î^— ?, et observant que fL=,^i on trouve

ou bien, en vertu de l'négalité (5),

!îÇi?[A:r)-,(^)]>4.

Or, cette inégalité ayant lieu en même temps que celles marquées par les numéros (5) et (6) pour une infinité de valeurs de x prouve, à cause de y > 0, que la limite de

pour X = oo, ne peut pas être égale à zéro. Si donc cette limite est différente de zéro, la différence f{x) — ç (a;), d'après la convention établie plus haut, est une quantité de l'ordre . -^- ■ ou d'un ordre inférieur; par conséquent f{x) diffère de ^{x) d'une quantité de l'ordre „ , ou bien d'un ordre inférieur, ce qu'il s'agissait de démontrer.

En nous basant sur ce théorème, nous pouvons faire voir que la formule de Legendre i^Tjzrrosâeê' P**^*^ laquelle la limite de l'expre^ion

tog^"

quand 3;= oo, est égale à 0,08366, ne peut exprimer <^{x) avec un degré de précision allant jusqu'aux quantités de Tordre .— ^ inclusivement.

On trouve avec la même facilité les valeurs des constantes ^ et B telles

qne la fonction ^ j ^ ^^ puisse représenter ç (x) avec uae précision p aux quantités de l'ordre .—^ inclusivement. En vertu du théorème précédent de telles valeurs de ^ et B doivent satisfaire à l'équation

lim. r!a!- ( ' f-ÊL^} = 0.

X l 4 log iC -H B J log xj

Le dévelloppement de -j-. — - — ^ donne

Alogx-t-B A log ce A-^' log'^ X ^' ' log^ X

De plus, intégrant ,— ^ par parties, on trouve

log X log « log^ a: " I log' X

En vertu de ce qui vient d'être trouvé l'équation précédente se réduit à

log'x lA'logx A^ 'logîa:"^^^ ' log^x ^ \ ^ ^ 2f^__ \ " log j: log* X J 2 log' X

ou bien

lim.

^ 2!og^r- fa pij

ic J 2 log' œ

Or, si l'on observe que tous les termes à partir du troisième convergent vers zéro pour des valeurs croissantes de ce, on verra immédiatement qu'on ne peut satisfaire à l'équation précédente qu'eu faisant -j — 1=0,

Ainsi, de toutes les fonctions de la forme ^jog'^^a 1* seule ,-p^ ^ peut exprimer 9(0;) avec une précision poussée aux quantités de l'ordre ,-%— inclusivement.

log^ X

§ 6 . Démontrons actuellement un théorème concernant le choix de la fonction qui détermine, avec un degré de précision requis, la fonction que nous avons représentée par 9 (a;).