V-éni« Tbéorème

Si la fonction ip (a;) gui désigne comhim il y a de nombres premiers inférieurs à x, peut être représentée algébriquement avec une précision 3 aux quantités de l'ordre ,-^ inclusivement au moyen des fonctions ^j alors elle s'ea^rimera par la formule

Démonstration. Soit f{x) la fonction qui, contenant sous forme algébrique X, loga;, é^, exprime rsf{x) exactement jusqu'aux quantités de l'ordre j— s- inclusivement; l'expression

Wtji r^c , ? 1^ hl:^ l-2.3...(n-l)x-1

pour des valeurs croissantes de x, devra converger soit vers zéro, soit vers une limite finie ou infiniment grande. En effet, s'il n'en était pas ainsi, la première dérivée de cette expression changerait de signe une infinité de fois pour des valeurs de x croissantes jusqu'à -i- oo, ce qui ne peut arriver, comme il est facile de s'en assurer, avec une fonction algébrique de x, Jog x, e'^*). Ainsi, on aura nécessairement pour f{x)

'■• ' \ X \' ^ > logx log^x logeai log^X /)!<=»

*) n est trèa facile de s'aasurer qu'une fonclion algébriq^ue de a;, log as, e* cesse de changer de signe pour une valeur de x surpassant une certaine limite. Si ia fonction dont il s'agit est entière, alors 30u signe dépendra d'un terme de la forme ffx"". log"*" x.e"*"';^, pour des yaleura de X plus ou moins considérables, ce terme ne changeant pas do signe pour x > 1. Pour toute autre fonction algébrique de x, log x, e*, que nous représenterons par y, on démontrera la même proposition de la manière suivante: observons d'abord que la fonction y sera la racine de l'équation »oy"--f-Mj3;'"~'-i-«îy*~'-t-...-i-»„iy-i-Moi=0, «0, M,, «j,.-.Wni— ii''in^*'^'i*'ï''^^'''i**''*^®''*^' ères de X, log X, e*; si l'on représente par p la fonction qui rêsult* de l'élimination de y entre l'équation précédente et sa dérivée, alors les fonctions u^, m„ et », comme entières, finiront par ne plus se réduire à zéro ou à changer de signe pour des valeurs de x surpassant une certaine limite; il arrirera donc que y conservera également son signe, car, pour des valeurs de x qui ne réduisent pas p à zéro, l'équation «q y"*-)-», j/^^^ -i-. . .-*- w^^y -t-it^-^G ne peut avoir de racines égales, et quand les racines sont inégales, le signe de l'une d'elles ne peut changer qu'en supposant que le signe de «g ou «„ change. — Cette propriété peut être étendue à beaucoup d'autres fonctions, pour lesquelles, par cette raison, le théorème V ainsi que les conséquences qui s'en déduisent, auront également iieu.

Mais, d'un autre côté, il est facile de s'assurer que

lim.

log"x