J; ^ ^ 1.2. . (n— 1)3^ r dx
écédente donne
cette équation ajoutée à la précédente donne lim.
Or, comme par hypothèse f{x) représente ç(ic) exactement jusqu'aux quantités de l'ordre ^^rz. inclusivement, et que d'après le théorème IV cela ne peut avoir lieu, si la limite de
pour X = oo, n'est pas zéro, on aura i = 0; cela posé, l'équation (7), pour £ = 0, se réduit à
Uin.!'a^r/-(x)-r^ — ±î—\--\:-...-'-M^^4^=Si]\ =0,
( X L log.-c log^ic log^a; log" 3: J Ji=ai '
ce qui prouve que la fonction
ne diffère pas de f(x) de quantités de l'ordre ,^^^ et d'ordres inférieurs, et que par conséquent elle peut, aussi bien que f{x), représenter 9 [x) avec une précision poussée jusqu'aux quantités de l'ordre g^ inclusivement, ce qu'il s'agissait de démontrer.
D'après le théorème que nous venons d'établir, nous concluons que si la fonction 9 (rc), qui représente combien il y a de nombres premiers inférieurs à X, peut être exprimée algébriquement au moyen de x, log x, e* jusqu'aux quantités des ordres .-^j i-5—, ,-4-f ■• iinclusivement, elle devra s'ex-
^ log X' logeai' log' x' '
primer par
log*' loga; log'aî' loga; logeai log^x»"'"
De plus, comme ces sommes ne sont aHtr(^ chose que les valeurs successives de
l'intégrale j^, poussées aux quantités des ordres j^, j^—
nous sommes en droit de conclure que dans toutes ces hypothèses l'intégrale
Jj—î- exprimera 9 {x) avec exactitude jusqu'aux quantités de l'ordre pour lequel elle peut encore s'exprimer algébriquement au moyen de x, log x, é^. Il est facile de se convaincre par les tables des nombres premiers que
iremiers inféi
; la supériorité de la formule I .— ^ sur la
l'intégrale f- — , pour a; très grand, exprime avec assez de précision combien il y a de nombres premiers inférieurs à x. Mais ces tables sont trop peu étendues pour pouvoir décider de :
formule de Legendre , j.— i 08366 **" ^"^ '^^^^ ^"^^ analogue. Dans les
limites de ces tables les deux fonctions | ^^ et j ^ ^^^^ diiîérent peu
I log X
entr'elles; mais leur différence ^ ^ 2\ 03366 — iôF»' ^y^"* ^^ mmirmm
poura^Ê ^'**^^^* =7 1247689, croîtra constamment jusqu'à l'infini après
cette valeur, et déjà poura;> 10000000, auraune valeur considérable. C'est pour des nombres de cette grandeur que l'avantage de l'une des deux formules
devra se manifester. Mais pour effectuer cette véri-
I loga' log X-
fication il faudrait avoir des tables de nombres premiers beaucoup plus étendues que celle que l'on possède.
§ 7. En adoptant l'intégrale j^-^ pour la valeur approchée de ç(a;)
nous serons obligés de changer toutes les formules auxquelles Legendre est
seront pas plus compliquées que les siennes, et auront sur elles l'avantage d'être plus approchées d'après les théorèmes qui ont été demontrésplus haut. Appliquons notre formule à la détermination de la somme des deux séries
pour X très grand.
Pour déteimincr la somme de la première de ces deux séries, nous observerons que, d'après la notation admise plus haut, l'on a
l,-l^J-», ^l'-V9(J'-n)-yW
car, ç {x) représentant la totalité des nombres premiers inférieurs à x, la différence ç (a; -h 1 ) — 9 (ic) se réduira à zéro touttis les fois que x sera un nombre composé, et à 1, quand x sera premier.
Supposons X très grand, et désignons par \ un nombre inférieur à X, mais assez grand copendant pour que la fonction 9(3;), entre les limites x=\ eix^X, puisse être représentée avec une exactitude sufiTisante par l'intégrale j— ^. Dans cette hypothèse l'équation précédente pourra s'écrire J3
2^T^y^---^x— 2.' — ^ '*' Zi ^ ■
Remplaçant dans la dernière somme <^{x) par j—^, on aura
^1^ V- 9(:B-n)-9(a:) ■yJ:.^''^"'
Or, l'intégrale 1 y^— peut être représentée par j^ — avec exactitude jusqu'aux quantités de l'ordre — ; do plus, la somme ^ ^ J peut être
Q I avec le 1
ition précéd(
remplacée par l'intégrale -, — avec le même degré de précision. Sous ces conditions l'équation précédente deviendra
ou bien, effectuant l'intégration,
|--|-.-|-H,..-iJ'^'-"''^'J-^W-iogiogXH-iogi.g3:
Enfin, si l'on remplace par G la quantité
"^ 9(^-'-i)-¥W log
indépendante de a;, on trouvera
Lorsque l'ûii aura déterminé la valeur de la constante G, cette équation pourra servir à trouver par approximation la somme de la série
quand Xsera très grand.
La formule que nous venons de trouver est plus simple que celle de Legendre, d'après laquelle on a
-l-i-|-H|H-...-+-^=log(logZ— 0,08366)-+- G.
Passons maintenant à la détermination du produit
Prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on aura la formule
l0gP=:=l0g(l— |)-l-10g(l--J-)-*-log(l-l)-H... + 10g(l-^)
qui peut encore s'écrire de la manière suivante:
l0gP = -(i-Hi-f-l-H-...-Hi)-i-.-l0g(l-i)H-
|H-l«g(l-|)-^i-HlOg(l-i)-^...-.-i-HlOg(l-i),
Observons actuellement que la série finie i-Hlog(l i)-.i-.-Iog(l-i)*l*log(l^|)-....-.i*log(l-i), aux quantités de l'ordre ^ près, peut être remplacée par la série infinie
i-HlOg(l-|)-.-iH-10g(l-i)-Hi-Hl„g(l--i)-H...
Or, la différence entre ces deux séries est évidemment inférieure à la somme i^-^„ — log(l-=Vii^ — ...
qui, elle même, est inférieure à l'intégrale
f [±l„g(l±)]dx=l-4-(X-l)log(l-i);
de plus, comme la valeur de 1 -*-{X — 1) logfl — ■= 1 pour X très graiid, est une quantité infiniment petite du premier ordre par rapport à = , nous en concluons que la substitution qui vient d'être indiquée est permise.
D'après ce qui vient d'être dit, si l'on représente par G' la somme de la série infinie
|-,-l0g(l-i)-Hi-,-l0g(l-|)-H|-^lOg(l— i)+...
la valeur de log P s'exprimera, aux quantités de l'ordre de -^ près, par la formule
10gP=-(i--t-4H-|-l-...H-l)-HC".
Substituant pour
la valeur (8) trouvée plus haut, on obtiendra
log P = — C — log log X H- C, d'où
Enfin, faisant pour abréger e^~ ^= Cy,, et remplaçant P par le produit
nous aurons
Legeudre a trouvé, pour la valeur du même produit, la formule suivante;
\ 2 )\' s )\ 5rV X} log X — 0,08366'
HÈMOJRE
LUS HOMBRUS PRUÏ
s présentas à VAcadémlo Impériale des sciences de St.-Pctcrsbourg par divers savants, VII, 1864, p. 17 — H3. Jciirnal de mathématiques pures et appliquées. I série, XVII, 18B3, p. 366-390.)
Mémoire sur les nombres premiers.
§ 1 . Toutes les questions qui dépendent de la loi de répartition des nombres premiers dans la série
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, etc.
. de grandes difficultés. Ce qu'on parvient à conclure d'après les tables des nombres premiers avec une probabilité très grande, reste le plus souvent sans démonstration rigoureuse. — -Par exemple, les tables des nombres premiers nous portent à croire qu'à partir de o > 3, il y a toujours un nombre premier plus grand que a et plus petit que 2o — 2 (ce qui est le postvlatum connu de M. Bertrand*)); mais jusqu'à présent la démonstration de cette proposition a manqué pour des valeurs de a, qui surpassent la limite de nos tables. La difficulté devient encore plus grande, quand on se donne des limites plus étroites, ou qu'on demande à assigner la limite de a au-dessus de laquelle la série
fl-i-1, a-i-2, 2 a — 2
contient au moins deux, trois, quatre, etc. nombres premiers.
Il y a une autre espèce de questions très difficiles qui dépendent aussi de la loi de répartition des nombres premiers dans la série
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc.
et dont la résolution est très nécessaire. Ce sont les questions sur la valeur numérique des séries, dont les termes sont des fonctions des nombres premiers
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.
*) Journal de l'école polyte cil nique, caLîer XXX.
Euler a prouvé que la série
devient divergente pour los menues valeurs de a que celles qui rendent, divergente la série
savoir, pour a<l. Mais pour certaines fonnes du terme m„ la convergence de la série
Mj, -I- »3 H- M^ H- «5 -I- Wg -H ilj -+- Mg ~t- etc.
n'est plus une condition nécessaire pour que la série
»3 H- Mg -t- «5 -I- «7 -I- îfjj -H î(^3 -+- BtC.
conserve une valeur finie. Tel est, par exemple, le cas de w„ = — j -^. En effet, la valeur de la série
2 log 2 "*" HogS "•" 5 log 5 "^ lïôgl ~*~ '
comme il sera prouvé plus tard, ne surpasse pas 1,73, tandis que la série
2"¥i^ "*" 3iô^ '^ n^i "*" 51^ '^ 6bi^ ~*~ ^^*^-
est divergente. Quel est donc le critérium de la convergence des séries qui ne sont composées que de termes aux indices premiers 2, 3, 5, 7, 11, etc.? Et, dans le cas de leur convergence, comment assigner le degré d'approximation de leurs valeurs, calculées d'après leurs premiers termes? La résolution de ces questions par rapport aux séries de la forme
«3-1-M3 -1-M5-+-M7 -i-î'„ -«- M,3-»- etc.
est très intéressante, car on les rencontre dans certaines recherches sur les nombres.
Ce mémoire contient la résolution des questions citées. J'y parviens en traitant la fonction qui désigne la somme des logarithmes des nombres premiers au dessous d'une limite donnée. D'après une équation que cette fonction vérifie, on peut assigner deux limites entre lesquelles tombe la valeur de cette somme. Parmi les différentes conclusions que nous en tirons, nous parvenons à assigner des limites entre lesquelles on trouve toujours au moins un nombre premier, ce qui nous conduit très simplement à prou-
ver le postulatum cité de M. de la forme
ertraud. — Quant à l'évaluation des séries
nous trouvons le critérium pour juger si elles sont convergentes ou divergentes, et dans le premier cas nous donnons la méthode pour calculer, avec un certain degxé d'approximation, la différence de la valeur de ces séries avec la somme de leurs premiers termes. Nous donnons aussi une formule pour calculer, par approximation, combien il y a de nombres premiers qui ne surpassent pas une valeur donnée, et nous assignons la limite de l'erreur de cette formule, ce qu'on ne pouvait faire jusqu'à présent- Dans un mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie deSt.-Pétersbourg, l'an 1848, j'ai prouvé que, si on rejette, dans l'expression de latotalitédes nombres premiers qui ne surpassent pas x, tous les termes qui sont zéro par rapport à
quand on fait x = co, cette expression se réduit à
log;
; mais pour les va-
leurs finies de x on se trouve dans l'incertitude sur la valeur des termes qu'on rejette. Quant à laformule de Legendre, son degré d'approximation n'est connu que dans les limites des tables des nombres premiers dont on se sert pour la vérifier.
§ 2. Convenons de désigner en général par 6 {s) la somme des logarithmes (hyperboliques) de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas z. Cette fonction devient égale à zéro dans le cas où s est inférieur au plus petit des nombres premiers, savoir à 2. Il n'est pas difficile de s'assurer que cette fonction vérifie l'équation suivante*)
Ô {x) -\-d {x)^ -t- Ô {xy -f- 0 ixY -+- etc. -oi^Woi^Y ^ei^Y -^-oUY -^ etc.
- etc.
-*(i)-«(fr-Kif-«(ir*«tc.
s pour iibrogor 01 —
où nous employons [x] pour désigner le plus grand nombre entier contenu dans la valeur de x. Los séries que cette équation contient sont prolongées jusqu'aux termes qui deviennent zéro.
Pour vérifier cette équation, nous remarquons que ses deux membres sont composés des termes de la forme K log a, où a est un nombre premier et K un entier déterminé. Dans le premier membre, K sera égal au nombre des termes dans les séries
«;. (If. (If. (ff. 0.0.
(') w^. (ff. (îf. m, *.
w^ (îf. m- ijf' *■
qui ne sont pas plus petits que a; car en général la valeur de Û [s] ne contient le terme log a que dans le cas où 2> o. Quant au coefficient de log a dans le second membre, il est égal à la plus haute puissance de o, qui divise 1.2.3... [x]. Or, il se trouve que cette puissance est aussi égale au nombre des termes des séries (1) qui ne sont pas plus petits que a; car le nombre des termes de la série
X, -f-, ~, ^, etc.
qui ne sont pas plus petits que a, est égal à celui des termes d(^ la série
qui sont divisibles par a.
Le même rapport existe entre le nombre des tcrmcîs de cette série divisibles par a^, iï^, a*, etc. et le nombre des termes des séries
(xf
lY, etc.
-)*, etc.
qui ne sont pas plus petits que a.
Donc, les deux membres de notre équation sont composés des mêmes termes, ce qui prouve son identité.
L'équation que nous venons de démontrer peut être présentée sous cette forme
en faisant pour abréger
Kq passant à l'application de ces formules, nous remarquerons que, d'après ce que nous avons dit par rapport à la valeur de Û {z) quand s est inférieur à 2, la fonction ''^{s) devient zéro quand on fait iî < 2, et par conséquent l'équation (2) ne présentera aucune exception dans les limites x=<d, a:=2, si on prend zéro pour la valeur de T{x) quaad x est inférieur à 2.
§ 3. D'après cette équation, il n'est pas difficile de trouver plusieurs inégalités que la fonction 'i/{x) vérifie. Celles dont nous nous servirons dans ce mémoire sont les suivantes;
W) > m + 2'(|,) - r(f )- r(|)-r(f ), + W - + (-1 ) < m - ni) - 2(î) - r( f ) - r(f ).
Pour prouver ces inégalités, nous clicrchons d'après (2) la valeur de ce qui nous conduit à cette équation
^m^l{l^-li$)-Ti$)-Tl$j,
dont le premier mcrabro se réduit à
^. 'Ha:) H- ^3 4. (f ) -H ^, .}) (f ) -H ^, 4. (f )-K- . . . -.- J^„ 4. ( ;; ) H- etc.,
Aj^, A^, Ag, A^, . -A^, etc. étant des coefficieBts numériques. Or, en examinant la valeur de ces coefficients, il n'est pas difficile de s'assurer qu'en
^^=1, siîi = 30m-i- 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
^„=0, si n=30»i-i-2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 21, 22, 25, 26, 27, 28,
A^=— 1, si n = 30mH^6, 10, 12, 15, 18, 20, 24,
A^= — 1, si w= 30JW-I-30.
En effet, dans le premier cas, n n'étant divisible par aucun des nombres 2, 3, 5, on ne trouve le terme 41 (^) que dans la première ligne de l'équation (4). Dans le second cas, n est divisible par un des nombres 2, 3, 5; donc, outre le terme 4^ (— ) de la première ligne, l'une des trois dernières contiendra — 4^ (^)) ^t, après la réduction, on trouvera 0 pour coefficient de 4* f^l- Dana le troisième cas, n est divisible par deux des nombres 2, 3, 5. Donc, les trois dernières lignes de l'équation (4) contiendront deux termes égaux à — 4* ("f")i ^t comme la première ligne contient ^ (— }, pris positivement, il ne reste dans le résultat que — 4* {^)- On arriveàlamème conclusion dans le dernier cas, où n est divisible par 30; car alors le terme — 4^ (4) se rencontre dans toutes les cinq lignes: deux fois avecle signe -h et trois fois avec le signe — .
Donc, pour
n=30»tn- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,
nous trouvons
~ 57 — ce qui prouve que l'équation (4) se réduit à
'K=')-+(f)-t-+(f)-+(râ)-"*(fr)->l'©'-*- = r(x)-^r(|,)-r(f)-T(f)-T(f),
OÙ tous les termes du premier membre ont pour coefficient 1, altemativemeut avec le signe h- et — . De plus, comme d'après la nature de la fonction "l" {^), la série
4,(.)-4.(f)-t^ + (f)-+(^) + +(i^)- + (i)*eto.
est décroissante, sa valeur sera comprise entre les limites 'J*(x) et ^(x) — <}) /-|-]. Donc, d'après l'équation précédente, on aura nécessairement
■}. w g m -H r(f„) -i%~ T(f ) -t{Î)- +W-'Kô)iî'W-î'(l,)-î'(|)-T(f)-r(î).
§ 4. Examinons maintenant la fonction T{x) qui entre dans ces formules. D'après (3), et en dénotant par a le plus grand nombre entier contenu dans la valeur de x, que nous ne supposons pas inférieure à 1, nous avons
T(a:) = log 1.2.3 a,
ou, ce qui revient au même,
r(a:) = log 1.2 3. , .« (a-Hl) — log (a-Hl). Or, on sait que
log 1.2.3.. . ([ < log y2TE -I- a log 0 — a -t- ^ \og a -i- y^, log 1.2.3...fl((tH-l)>logl/27rH-(«-i-l)log(o-Hl)— {a-i-l)-+-^log(a-Hl); donc
T{x) < log ySTC -+- a log o — a-4- Y log «-I- ^.
T(x) > log V2tz -+^ {« -t- 1) log {ffl -H 1) — (a -f- 1) — \ log {a -+- 1),
et par conséquent
T{x) < log y 27r -4- 3; log a; — a; -1- ~ log x-^^^,
T(x) > log y2-K -H a: log ic — X — -i- log 0!;
car o étant le plus grand nombre entier contenu dans la valeur de x, que nous ne supposons pas inférieure à 1, nous trouvons
a<x<i (IH- 1, a>l,
ce qui entraine évidemment les conditions
xiogx — x-i- l- |oga;+-j~>a loga — «n-^ log «-+-—,
a; log œ — X— ^ log a;: < (a -H 1) log ((H- 1) — (a -h 1) — l log {« -1- 1).
Les inégalités, que nous venons de prouver par rapport à T{x), nous donuent
-t- log rc — ]- log 30, r(3:KT(|,)>21ogl/27,-H!|J.i;logi— rtlog30*-|x-logi-H 1-log 30,
-I- |- log a: — i log 30, ï'(|)*r(|)*r(|)>31ogy2K*|»iIog»;-.,;log2Î3Î5Î-J>-?k,g^H.ilog30.
Combinant ces inégalités par voie de soustraction; savoir; la première avec la dernière, la seconde avec la troisième, nous trouverons
T(.Kr(i)-r(|)-T(|H|)>.log?H5^-5.og.*ilogl|'-i
ce que nous écrirous sous la forme
î'f^') -l'IIS) -I'(l)-î'(l) -î"© < ^^ -^ ' 1»»»^ - ^»8 1800,. + A,
en faisant pour abréger
L'analyse que nous avons employée pour démontrer ces inégalités suppose a;^30; car, en traitant T{x)j nous avons pris x^ 1, puis nous avons remplacé X par
Mais il n'est pas difficile àt- s'assurer qu'on aura des formules applicables à
toutes les valeurs de x plus grandes que 1, si l'on remplace les inégalités précédentes par celles-ci, plus simples:
'/•W * T(i) - ''tf ) " ^(î)- y(l-) > ^^ - 1 log =^- 1;
car, en examinant ces inégalités pour les valeurs de x prises dans les limites 1 et 30, on reconnaîtra très aisément qu'elles ne présentent aucune exception.
§ 5. En combinant ces inégalités avec celles que nous avons déduites plus haut par rapport à 4> (x) (§ 3), nous parvenons à ces deux formules
<H^')> ^'''—l loga;— 1, <Ka')— il'(|)<^a;H-| logx,
dont la iireniièr(! nous donne une valeur qui reste inférieure à ^{x).
Quant à la seconde, elle nous servii'a pour assigner l'autre limite de 4" (i^)- Pour y parvenir, nous remarquons que
fx=^^ Ax-i- ^^ log^a: ~i-| log X
est une fonction qui vérifie l'équation
f{^) — fii) = ^a; -H y log œ.
Or, cette équation, retranchée dé l'inégalité donne
ou bien, ce qui revient au même.
En changeant successivement dans cotte formule x en -|-, ^, . ..-^, nous trouverons
Si nous supposons actuellement que m soit le plus grand nombre entier qui vérifie la condition ^ > 1, la quantité t^ tombera entre 1 et y, et en examinant la valeur que prend ^jj (s) — f{z) dans les limites a ^ 1, ^ = --, on reconnaîtra que <]j (s) =: 0, et que — f{s) reste au-dessous de 1 . Donc ^ (ë^) — /"(ë^)^ '^' ^^ d'après les inégalités précédentes
Enfin, en substituant pour f{x) sa valeur, nous aurons
-i- (3;)< I ^a; -+- j~^ log^ a: -.- ~ log j: -i- 1 .
D'après les formules que nous venons de trouver, il ne sera pas difficile d'assigner deux limites entre lesquelles tombe la valeur âGâ{a:), c'est à dire la somme des logarithmes de tous les nombres premiers qui ne sur-
En effet, d'après (3) nous trouvons
i^{x)—^ixf = tf (œ) ^- 0{xf-i- ti{xf -+- etc.,
^{x) — 2if{xf = â{x)~[Û{xf — 0{xf] — {0(iii)i—0{xy''\~Qic.,
ce qui prouve que
(6) 0(x)^^{w)~^{xf, 0{x)^^{x) — 2^{xf,
car les termes
sont évidemment positifs ou zéro.
Mais uous venons de trouver
•l-W <! -l^-i-iT^ log' ''-^ v- log.i-t-1, ^{x)>Ax — ^ log a: — 1. ce qui donne
<Ki)7< ^Ax' -*- jj^ log' ï -i-|- log a:^- 1, '^{x)'>Ax'—~ log a; — 1, et par conséquent
t (a;) — + (a:)î- < I A: - A;î- -.- ji^ log' I -t- 1 log 1 -.- 2, ^.{i)- 2>Ka;F> Ax~^Ax:i- -i, log> a)-^ log a.-3. Donc d'après (6)
Ainsi nous arrivons à la conséquence que la somme des logarithmes de tous les uombres premiers, qui ne surpassent pas x, est comprise dans les limites
Ax - fAx-^ — ^^ log^ a; - H log 3;— 3.
§ (î. Voyons maintenant ce qu'on peut tirer de ces formules sur la totalité des nombres premiers compris dans des limites données. Soit L et l les deux limites en question, et supposons qu'il y ait m nombres premiers plus grands que l et ne surpassant pas L: la somme des logarithmes de ces
nombres sera comprise daus les limites m log l, m log L. Donc, d'après la notation que nous employons, on aura
û{L)—â{l)>m\og l,
0(L) — Ô(l)<:m iogL, et par conséquent
m-nç) ^8m-»(i)
Mais, d'après (7), uous trouvons que la valeur ^> (L) — û (l) est inférieure à j(?L-i)— ^( ri— f(^)-<-8^,(21og'L^-log>i)->-|(21ogi+31ogi)-t-5, et surpasse
^(x__l;)^(|iy;F)__^^(lo.^Z:H-21og^O-|-(31ogL-.-2logO-5. Donc
,. , ■. , 8 log 6 «<-^ ~ ^ — — —
log'
4 ( i ^ ij ^ ( -^ iS „ ,3l ^ ^logî X ^ 2 IokM) - ^ (3 log i H- 2 iofî 0 - 5 ^ > — ^i^ ^ logX "
Ainsi, nous trouvons deux limites entre lesquelles tombe la quantité m, qui i combien il y a de nombres premiers plus grands que l, mais qui ne s i. — La dernière de ces formules nous prouve que, dans les limites l et L, on trouve plus de k nombres premiers, si k, L et l vérifient cette condition
et comme l <CL, on vérifie cette condition en faisant
aIl-^i]-^^ ^7/--r^(logî7.-i-2Iûg2 7.j-|(3 log 7, h- 2 log /,) - 6
fc =
et par conséquent eu prenant
7 5 T n il 25 log'Z 5/25 , \ , j-
Donc, si l'on prend cette valeur de l, ou est sûr de trouver plus de h nombres premiers dans les limites l et L. Il faut y joindre encore la condition que ? et i ne sont pas plus petits que 1, ce que nous avons supposé par rapport à x, en traitant la fonction â{x).
Dans le cas particulier de ft = 0, nous concluons qu'il y a nécessairement un nombre premier compris dans les limites l et i, si l'on prend
Ceci nous conduit très simplement à prouver rigoureusement le postulatum cité de M. Bertrand. — Il n'est pas difficile de s'assurer que les limites a et 2a — 2, dans le cas de fl> 160, comprennent ces deux limites
, 5 y 97-5 25 log^ L 125logZ 25 ^ * — T^— ''■^' — i64îog6 20 63' ^^
L étant une valeur convenablement choisie. En effet, pour que ces limites tombent entre
on n'a qu'à vérifier ces conditions
n ^ ^ 1 oÀ 25 log' X 125 log L 25
Or, on vérifie évidemment la première en prenant Z.=; 2 a — 3. Quant à la seconde, elle devient pour X = 2 a ^ 3
0<g-(2(ï— rf) — 2y(2(î — dj 16 A log (i 24 4 " 64'
ce qui est juste pour toutes les valeurs de o, qui surpassent la plus grande racine de l'équation
j— 5 (-g- O) gVrgr ^1 261og'(2»-3) 125 log (2a:- 3) 25
et cette racine, nous la trouvons comprise entre les limites 159 et 160.
Donc, toutes les fois que a surpassi; 1 60, on peut assigner entre a et 2a — 2 deux nouvelles limites
, 5 y- ^ j\ 25 1ogïi 125 log L 25 j
*~T -^"''■^ 16 4"log6 2O 62' ^'
tit comme celles-ci comprennent nécessairement un nombre premier, on sera certain de trouver un nombre premier qui surpasse a et reste inférieur à 2 a — 2, ce qui prouve le postulatum de M. Bertrand pour toutes les valeurs de a qui surpassent 160. Quant aux valeurs de a qui ne sont pas plus grandes que 160, ce postulatum se vérifie directement à l'aide des tables des nombres premiers.
§ 7. Au moyen de la"" fonction Û(x) que nous employons pour désigner la somme des logarithmes de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas X, on peut facilement exprimer la somme
Fin) -H F(p} -I- F{y) -h ... h- F{ç) = U,
où a, ^, Y) • ■ ■ p sont les nombres premiers compris dans les limites données. En effet, si a, p, Yj ■ ■ ■ P sont compris dans les limites l et L, cette somme peut être exprimée ainsi
car, en général, la fonction ■■~. *^~ ■, pour x entier, se réduit à 0, si aï est un nombre composé, et à 1 , si a; est un nombre premier. Donc
ou, ce qui revient au même,
rr M! •-."in ^ri'if) J'('*')1/-,rn . r^"^" ^"-^"'l/;!/, n ^ Liog i 108 (i * i)J " '-^^ ^ log (i -- 1) " >-^'-
Or, si nous supposons que la fonction j-^, dans les limites x^^î — 1 et ir^ X-+- 1, reste constamment positive et décroissante, le signe de d(l — 1) dans l'expression de U sera — , et le signe de chacune des fonctions
sera -i-. Par couséqueut, d'après (7), et en faisant pour abréger
",(") = i^—^'^-^rêili l»g' »^-^ï log an- 2, (8) ,
\o„(x) = Ax-'-lAxi-~^^ log>i-^logi-3,
nous aurons une valeur inférieure à U, si, dans son expression, nous remplaçons
0(1—1) par tf,(i-l), et 0(1), »(i+l),...«(i) par «„((), tf„(i+l),...ô„(L).
An contraire, en remplaçant 0(1 — 1) par 0^^(l — 1), et 0{î), 0 {l-i-l),...0 (L) par 0^(1), 0^{l-t-l),...0,{L), nous trouverons une valeur plus grande que U. Donc
rr, 011 i^-^w, P'''' ^''-^''"Ig m ■ r''''-" ^''*''' 1 g ff . n . U'-o^ii-i)^--,-^^,~-l-j;;^^:^iyj,^(i)-t-\j^^^,^^^—j^^if^^^ja,^(i*i)-<-...
-*- Ltoîï ~ loi;(i*l)J '■'n (-''' ■*- log(7^1) "nW.
t/<~»„(r-i) ^,-H Liip iSîfr^J "iW *Liog (iH-i) los (i-f2)J "iV+'K • ■ ■
+ LiiSï ^ iog(i.^-.)J *■ (^> •*■ EST^TT) ". W. et comme les seconds membres sont identiques avec les sommes
nous en conclurons
g<^.('-i)g"^..('-i)g^SVw°-'";:;f-'.
D'après les formules que nous venons do trouver il n'est pas difficile de démontrer ce théorème;
— 6fi —
Théorème.
Si la fonction F(x), passée tme certaine limite de x, reste positive^ la convergence de la série
Fm f(3) F(i) F{5) F(6)
log 2 log 3 log 4 log 6 log 6 ■ ■
est une condition nécessaire et suffisante pour que la série
Démonstration.
Supposons que l soit la limite de x au-dessus de laquelle F(x) conserve le signe -h, —, représentant une fonction décroissante, et que a, p, Y, . . . p soient des nombres premiers compris dans les limites l et L. En faisant
S=F{^)-i-F{Z)-^~F{5)^ . . .^F{fL)-i-F(^)^F(^) -t- . . ,^F{<}) =
S, +- F{a.) -+- F(p) H- ^(1-) -H . . . -f- F{p), nous conclurons d'après (9)
Ces inégalités fout voir que, dans le cas où les expressions
..^ ^ ' log a; ' .^ ^ ' log œ '
pour 1,= oo, restent finies, la série
^■(2) -1- i^(3) -I- ^(5) H- Fil) ■+- etc.
sera convergente; au contraire, si la supposition de L :^ co rend la valeur de ces expressions infinie, la série
Fi2) -4- F(3) -t- F{5) -h- F{1) -h etc. sera divergente.
La substitution des valeurs de Û^{x), 0^^{a^ d'après (8) dans les exprcss précédentes les réduit à
2[l^-^("^^-"^("^-l')*4T|r6('<^l<(^-l))*l(l»8»^-'»8(^l))]EFi.
et comme les fonctions
Va; — V [x—\), log^ X — log^ (3: — 1), log 3; — log {x — 1).
pour des valeurs très grandes de x deviennent intiûiment petites, nous coiiclaona que dans le cas, où
iogic
a une valeur finie, les expressions
X=i it—l
pour L = CX3, seront également finies; au contraire, pour £ = 00, elles seront infiniment grandes, si la somme
avec l'augmentation de L, converge vers l'infini. Mais le pr(™it;r cas a toujours Heu, si la série
^■(2} F(%) F(i) F(6) ^(6) log 2 log 3 log 4 log 5 log 6
est convergente, et le second suppose la divergence de cette série, ce qui prouve le théorème énoncé. Ainsi, nous concluons de là que les séries
2 log» (log 2) 3 IogS(log 3) r, logï (log f>) 7 log» (log 7) 1 1 log^llog 1 1)
soQt convergentes, tandis que les deux suivantes
21og(log2) 31og(log3)^ 51og(log5) 7log(log7) niog(logll)
§ 8. Quand la série
F{2) -f- F(3) -I- F(5) -+- F{7) -+- etc.
est convergente nous trouverons sa valeur, avec une approximation aussi grande qu'on le voudra, en calculant la somme de ses premiers termes. En dénotant par 8^ la somme de tous les termes qui précèdent /''(a), a étant le plus petit des nombres premiers contenus dans la série
l, l-t-l, r+-2, etc.
et i! ira nombre entier au-dessus duquel toutes les valeurs de x rendent j— positif et décroissant, nous mettrons la série
Fi2) -H F{d) -i- F(5) H- F{7) -t-FiU)-*- etc. = S
sous cette forme
8=S„-t- F(a) •+- Fi^) -+- Fiy) -+- etc. = 8, ~i- U.
Cela posé, nous chercherons les limites entre lesquelles tombe U, eu faisant L = oo dans les formules (9). De cette manière nous trouverons
La demi-somme de ces expressions donnera une valeur approchée de V, et leur demi-différence sera la limite de l'erreur de cette valeur. Cette limite sera d'autant plus petite, que le nombre l et, par conséquent, le nombre de termes de la somme S^ sera plus considérable.
Pour donner un exemple de ces calculs, nous allons chercher la valeur approchée de la série
* ~ 2 log 2 "*" 3 log s "^ 5 log 5 """ 7 log 7 "■" 1 1 log 11 ~'"
En prenant
"0 2 log 2 ~*" 3 log 3 "*" 5 log 5 "^ 7 log 7 """ U log U "'" • • ■ "*" 97 log «7 '
U étant déterminé par la série
101 log 101 103 !og 103 107 log 107 '
nous trouverons, par les tables des nombres premiers, So= 1,42,
et les inégalités (10) pour F{x) ^ ^^ , 1= 100, nous donneront
„ flii(99) fli(!)9) ^fln(3!)-ei,(a;-l>
^ '^ lOOlog* 100 lOOlog' 100 ^ a^log^a: '^ "jJ-*)
jj- 0,{^9) %(99) 'y;'e,(a;)-flj(^-|)
'^ ^lOOlOgMOO JOOIogMOO ^ 3!l0g33! -^",^0.
D'après ces inégalités nous concluons que la valeur do U ne diffère de
1,42-1-0,21 = 1,63 sera la valeur de la série
2 iog 2 "•" 3Tôg"3 "•" 5 log 5 "*" 7 log 7 *** 11 log 1 1 ""^
exacte à 0,1 près.
§ 9. La totalité des nombres premiers, compris dans les limites données, se déduit comme cas particulier de la valeur de la série
JF'W-i-i?©-Hy(T)-i-...-4-P(p)
— Toque nous avons examinée dans les paragraphes précédents. En effet, si l'on prend
F(x)=l, la somme
FioL)-^F{i^)-i-F{y)-H...-HF(ç}
se réduira à autant d'unités qu'il se trouve de termes dans la série des uombi'es premiers
Donc, les formules (9), dans le cas de F{x) = 1, détermineront les limites entre lesquelles tombe la totalité des nombres premiers, compris entre l et L. Ces limites sont plus étroites que celles que nous avous trouvées daas le paragraphe 6, en vertu des inégalités que la fonction û{x) vérifie. Dam le cas particulier de ï = 2, nous trouvons que
ML) Mi) ^ V ai(a')-Qi(a^-i)
log 2 log 2 ^j log X
sont des limites entre lesquelles tombe la totalité des nombres premiers de 2 à L, ou bien, ce qui revient au même, la totalité des nombres premiers qui ne surpassent pas L. En calculant la demi-somme de ces limites (11) nous aurons une valeur approchée de la totalité des nombres premiers qui ne surpassent pas L. Quant à l'eiTeur de cette valeur, elle ne pourra surpasseï' la demi-dilïérence des expressions (11). Par des calculs très simples on parvient à reconnaître que le rapport de la demi-diflFérence des expressions (H) à leur demi-somme devient égal à tt-, quand onfaitZ = oo. Donc, pour de très grandes valeurs de i, ce rapport sera inférieur à ^, et par conséquent si Ton calcule, d'après nos formules, la totalité des nombres premiers qui ne surpassent pas une limite donnée, très grande, l'erreur sera inférieure à jr de ia quantité chei'chée .
