SUR LES FORMES
[Journal du mathématiquoa purta ut appliiiiiijes, 1 séviu, T. XVI, 1851, p. 257 — ■2S2.)
Sur les formes quadratiques.
Eulor nous a déjà donné plusieurs exemples du parti que l'on peut tirer de la représentation des nombres par des formes quadratiques à déterminants négatifs pour reconnaître s'ils sont premiers ou non. Je vais, à présent, montrer que, dans ces recherches, on peut aussi bien se servir de certaines formes à déterminants positifs, ce qui est nécessaire pour rendre cette méthode tout à fait générale et même avantageuse pour des nombres d'une grandeur considérable. En effet, quand on se borne seulement aux formes quadratiques à déterminants négatifs, les différents nombres exigent l'emploi de plusieura différentes formes, et chacune d'elles demande des procédés particuliers pour trouver facilement la représentation du nombre donné. De plus, le nombre de ces formes propres à distiagucr le cas d'un nombre premier de celui d'un nombre composé étant limité, on peut rencontrer des nombres qui ne peuvent prendre aucune de ces formes. On écarterait toutes ces difficultés si l'on pouvait considérer les nombres d'après leur représentation par des formes quadratiques à déterminants positifs; car alors, pour embrasser tous les cas possibles, il suffira d'un petit nombre de formes convenablement choisies, telles que, par exemple,
on
iî^-Hî/^, x^-t-B^, By^ — a^; etc.
D'ailb'urs il ne sera pas difficile, en traitant chacune d'elles, de construire des tables qui faciliteront considérablement ces recherches.
La totalité des représentations du nombre N par la forme Ax^ -+- By^
étant limitée, on distingue le cas de N premier de celui où il est ci en cherchant le nombre de résolutions de l'équation
Nous verrons que la même chose a lieu par rapport à l'équation
x^ — Dy^~±N,
si parmi ses solutions, qui sont en nombre infini, on ne compte que celles oà X et y ne surpassent pas certaines limites, ce qui revient à ne compter que le nombre de certains groupes que présentent toutes les solutions possibles de l'équation
3^ — Df^±N.
Soient a, p les plus petites valeurs de x, y qui, étant au-dessus de zéro, vérifieut l'équation
x^ — Vf — l,
et a, h des nombres positifs qui vérifient celle-ci.
Par la multiplication des équations
nous trouvons
(oa — bpDf ~~D{a^ — ba.f ^±N,
ce qui prouve que les nombres
a; = =h (aa — b^D), y^±(a^ — ba),
vérifient aussi l'équation
x^ — Dy^==±N.
De cette manière on pourra toujours passer d'une solution de l'équation à une autre, et, par conséquent, trouver plusieurs valeurs de a; et de y qui
la vérifient. Examinons maintenant dans quel cas les nombres positifs x, y, donnés par les formules
(1) x=±i (aa. — h^B), y = ± (op — 6a),
seront plus petits que les nombres a et 6 dont ou est parti. Dans ces recherches, il faut faire attention aux signes ± qu'on doit prendre dans les formules (1) pour rendre x, y positifs, et pour cela nous traiterons séparément deux cas,
(È' — Df = N, a^ — Dy^= — N.
Dans le premier cas, nous aurons
ce qui donne
de plus, d'après l'équation
a? — 1)^^=1, on trouve
En mettant ces valeurs de o et a dans l'équation
x = ±{aoc~-b^D), on obtient
x=±{Vm^-*-N.yD^'-t-l—b^l)),
d'oùil est clair quea; sera positif quand on prendra la formule ±{aa.—b^D) avec le signe -+-. Mais, pour que cette valeur de a; = oa — b^D soit plus petite que a, et, par conséquent, y plus petit que 6, nous trouvons cette condition
aa — b^D<Ca.
Cette inégalité donne
et, en y mettant les valeurs de & et ^ tirées des équations
a^ — Db^ = N, a^~I)^^=l, nous trouverons
et, par conséquent,
Donc les nouvelles yaleurs ie x et y seront toujours plus petites que celles dont on part, si la valeur de a surpasse 1/ ■^~^^—— ; par conséquent, en tirant à l'aide des formules (1) successivement d'une solution de l'équation
une autre, on parviendra nécessairement à de telles valeurs de a; et y que la première ne surpasse pas 1/-"^^-- -, Quant à la limite de la valeur de y, nous la trouvons égale à y ^'' ~ ^ ; car, pour
l'équation donne
De cette mauièi'e se trouve établi le théorème suivaut: Théorème. Si Véfptation
est possMe, on trouvera dans les limites
dus valeurs entières de x et y qui la vérifient, z:=^a étant la plus petite solutiim, supérieure à l'unité, de l'équation
a? — iy=i.
En passant au cas de
x' — Dif'=: — N,
nous remarquons que, d'après les équations
a' — DV=^ — N, a'— D|3'=l,
a^VOV — N, a = yBp -1-1,
et, par conséquent, la valeur de
ï/ = ±((ïp — H pourra être mise sous cette forme,
ou, ce qui revient au même,
De là nous concluons que y est positif quand on prend la formule ±{a^ — ba) avec le signe — , et que, par conséquent, pour rendre y inférieur à h, nous devODS vérifier cette condition
— (a^ — la)<b.
Cette inégalité donne
«—1 <yî (a— 1) <-^,
et, en y mettant les valeurs de a^ et p^ d'après les équations
a^ — BW=~N, a'' — Dp'' = 1 , nous trouvons
ce qui donne définitivement
Donc, toutes les fois que, dans la solution connue de l'équation
a? — Ihf' = ~N,
la valeur de y surpasse ]/- Tn -■, **° pourra en tirer, à l'aide des formules (I), une solution plus simple, et, par conséquent, on parviendra nécessairement à une solution telle que y ne surpassera pas y ^n ' *^* suppose, d'après l'équation
qua X ne dépassera pas la limite l/^' ^^ ■■ De cette manière nous parvenons à ce théorème:
Théorème. Si Vêqmtim
a^ — Dy^'^ — N
est possible, on trouvera dans les Imites
des valeurs entières de x et y qui la vérifient, x = a. étant la plus petite solution, supérieure à Vunité, de Vé
Les limites entre lesquelles, d'après les théorèmes qui viennent d'être démontrés, on est sûr de trouver des nombres xeA. y qui vérifient l'équation
quand elle est possible, jouissent de cette propriété remarquable :
Si x^=a, y = h, a; = a„ î/ = ii, , sont deux systhnes de valeurs de x et y qui m swrpassmt pas les limites trouvées plus haut et vérifient Vu/ne des éqvMions
les nombres (û\ -+- a^ b, a\ — a^b ne seront pas divisibles par N, tandis que leur produit (ab^ -+- a^ b) (ab^ — o, b) sera un multiple de N.
Pour établir cette propriété, observons d'abord que le produit des deux équations
«a — J)b^ = ± N, o? — Dbl^± N,
peut être mis sous la forme
(aoj ± mbj' ~ D {a\ ± a,hf = N\
Cela posé, si nous admettons que (â)^±a^b pris avec l'un des signes ■+- ou — soit divisible par^, le nombre aaj±iJi6j pris avec le même signe devra
nécessairement, d'après l'équation précédente, être également divisible par N; on aurait donc, dans cette hypothèse,
— '■ .; — -, " ^ J^ étant des nombres entiers. Mais, comme nous supposons que a est la plus petite valeur de x, autre que l'unité, satisfaisant à l'équation
a? — Dy'' = \,
la formule précédente sera impossible si l'on établit l'inégalité
Or nous allons démontrer que ceci a toujours lieu quand on prend pour a et a-^ des nombres qui ne surpassent pas 1/ ^"~^ ■ et pour !», 6, des valeurs non au-dessus de l/' "|"j ■■■ (Les signes supérieurs se rapportent au cas de x^ — Dy^ = N, et les signes inférieurs à celui de x^ — By^ = — N). Pour prouver notre assertion, nous remarquerons que, a et a^ étant compris
entre les limites 0 et j/^^'^^, b et fe, entre 0 et l/^^^^» la valeur de /oaj±^66,\9 ^^ ^Qarra. surpasser celle qu'on trouverait eu admettant le signe -+- dans la formule, et en y supposant de plus
Or, comme dans cette hypothèse la valeur de (--'■ ^ — -j se réduit à a^, nous en concluons que, dans les limites données plus haut, le maximum de |?^J^^ — LJ est a^, et que ce maximum n'a. Heu que pour a = a^, ^^\- Donc, dans le cas que nous examinons, où a et & sont différents de lïj, \^ OH aura nécessairement
ce qu'il s'agissait de démontrer.
Nous venons donc d'établir qu'aucun des deux nombres a\^i-a^), <û)i — Ojïi n'est divisible par N. Quant à leur produit
(oJj -I- ûjl)) {ab^ — a^b) — a^h\ — a\ W,
il est évidemment divisible par N; en cifet, en substituant dans la formule a^ &^j — a\ b^ les valeurs de a^, a\, tirées des équations
fl3 — m^^± N, a\ — Dhl^± N,
nous trouvons de suite
Doue, si a, ffl, i, è, sont des valeurs entièr(^s de a; et ic y comprises dans les limites
et qui vérifi(mt l'équation
on trouvera uécessairement deux divis(;urs de N en cherchant les facteurs communs à iVetaux nombres abj -t- afi, ah, — ajj. De là nous tirons ce théorème:
Tbéorènie. Si Véq>/aUon
dans les limites
peut être vérifiée par deux systèmes différents de valetirs de x et y, le nombre N est composé.
Quant à a, ce nombre a ici la même signification que dans les théorèmes précédents.
D'après les théorèmes que nous venons de prouver, la représentation du nombre N par la formule ± {x^ — Dy^) nous conduit à reconnaître que JVest un nombre composé dans les deux cas suivants:
1". Si, N étant de la forme des diviseurs linéaires de ^ — J)if susceptibles d'être représentés par la forme ± (x^ — I^y'), on ne trouve pas dans les limites
des valeurs entières de a;, y qui rendent l'expression ± {^ — D\f) égale à A"; car alors, d'après l'un des deux premiers théorèmes, l'équation
sera impossible, et ceci n'aura lieu que pour iV composé;
2". Si, dans ces limites, on trouve deux représentations différentes du nombre A; d'après le dernier théorème, ceci suppose que i^ est composé.
Donc, le nombre iV ne peut être premier que dans le cas où l'équation
dans les limites
n'a qu'une seule solution dans laquelle évidemment x doit être premier à y et à D. Mais toutes les fois que ceci a lieu, peut-on en conclure que le nombre 1^ soit nécessairement premier?
En examinant sous ce rapport les formes
nous remarquons qu'elles se divisent en deux espèces. Les unes, dans les limites énoncées x étant premier à ^ et à D, ne donnent une seule représentation de iV"que dans le cas où ce nombre est premier; telles sont, par exemple, les formes
±{é^1 f), ±{x' — Z y"), ± (a;^ ^ 6 y\ etc.
Les autres, au contraire, donnent une seule représentation non-seulement pour des nombres premiers, mais aussi pour plusieurs nombres composés quand on prend les nombres x, y dans les limites
X étant premier h. y ci k D. Par exemple^ en cherchant la représentation du nombre composé 371 par la forme x^ — 37 î/^, nous trouvons que les limites de a; et de y sont
. = 0, ^ = ^II£iiLîn, , = 0, y:=Y
car la solutiou la plus simple de l'équation
x^ — S7y*=l est la suivante :
x=7Z, îf=ï2.
Or, dans ces limites, nous observons que l'équation
3^ — 372/"= 371 ne peut être vérifiée qu'en prenant
ir=36, )/=5.
Nous ne donnerons pas ici une méthode générale pour distinguer à
laquelle des deux espèces appartient une forme donnée it {a^ — Ihf% comme Euler l'a fait par rapport aux formes Ax^ -+- Bif\ nous nous bornerons quant à présent à assigner plusieurs formes de la première espèce, qu'on reconnaît très- aisément.
Nous avons vu, dans le § II, que si l'équation 3? — T)f = ±N est possible, on eu trouvera au moins une solution dans les limites
Nous allons démontrer maintenant que, dans ces limites, l'équation
étant susceptible d'être vérifiée par
aura au moins deux solutions, si les nombres Im -+- l'm, Im — l'm ne sont pas divisibles par N.
Pour parvenir à cette conclusion, nous remarquons d'abord qu'en général, si X, y, X, Y vérifient l'éq
et que les mmbresxT-t-yX, x¥ — yX ne soient pas divisibles par N, la
même chose aura lieu quand on aura rcmiilacé x, y par les nombres x,, y^ tirés des équations
(2) x,^±{ftx—^yD), y, = ±{^x~(ty),
dont nous nous sommes servi dans le § II. En effet, nous avons prouvé dans ce paragraphe que les valeurs de a;,, y^, déterminées par les formules (2), vérifieront l'équation
x\ — I)y\ = ±I^, et comme
X^ — DY^=±N, nous trouverons
ou hien, ce qui revient au même,
{x^ X±T)y^Tf—I) {x^ Y±y^ Xf = iV' ;
il est clair de là que si x^ Y^/y, -X, pris avec l'un des deux signes rh, était divisible par N, le nombre x^ X±Dy^ Y, pris avec le même signe, serait également divisible pariV. Mais cela ne peut avoir lien; pour le faire voir, observons que xY-\-yX, xY — yX, d'après les formules {2}, peuvent être mis sous la forme
±{x,Yziiy,X) a.±^ ix.X^Dy.Y).
Or, si les nombres a;, Y± y^ X, x^ X± By^ F, pris avec l'un des deux signes ±, étaient divisibles par N, il s'ensuivrait aussi qu'un des nombres xY~*-yX, xY — yX serait également divisible par 'N, ce qui n'est pas. Donc aussi les nombres a;, Y-*-y^^ X, x^ Y — y^ X ne pourront pas être divisibles par N.
D'après cela, nous concluons que si les nombres Im -t-lm, Im — îtn ne sont pas divisibles par iV, et que x = a, y = h soit une solution de l'équation
a? — Dif = ±N dans les limites
qu'on trouve, d'après le § II, en partant dex=^l, y^m, et en passant successivement d'une solution à une autre à l'aide dos équations (2), les
numbres (im'-*-hl\ ain — bl' ne seront non plus divisibles par A'. De la même manière nous conclurons que si a^, ôj est une solution île l'équation
œ^ — jy = =t iV, dans les limites
.=0, .=y^^, .=0, y^yT^W'
qu'on trouvera en partant de x = l', y = m\ on ne rendra pas les nombres am-i-W, am — W divisibles par N. en remplaçant t, m par a^, 6,. Mais ceci suppose évidemment que les nombres a^, b^ ne sont pas respectivement égaux aux nombres a, b; car, autrement, am — bt, se réduisant à
àb — ba^ 0,
deviendrait divisible par N. Donc, dans les limites
on trouvera nécessairement deux solutions de l'équation c^ — Df = ±N,
si elle est susceptible d'être vérifiée par deux systèmes de valeurs
x^l, î/ = m, 3;=:Z', y = m', et que les nombres Im -i- l'm, Im — l'm ne soient pas divisil)les par N.
D'après ce que nous venons de prouver, nous allons montrer que toutes les fonnes ± (x^ — Dif\ dont tous les diviseurs quadratiques ont la forme Ix^ — [t-y^, peuvent servir pour examiner si un nombre donné est premier ou non.
Théorème. Soient x^ — Dy^ une forme dont tous les diviseurs quadratiques ont la forme Xa^ — [jty*, N un nombre premier par rapport à B et ayant la forme des diviseurs linéaires contenus dans une seule forme quadratique ± {x^ — Dy^). Le nombre N sera premier si l'on trouve, dans les
une setde représentation du nombre N par la forme =t {x' — TJy^), et que, dans cette représentation, x et y niaient point de facteur commun, a étant la phts petite valeur de x supérieure à V unité parmi les solutions de Véqimtion
Dans fous les mitres cas le nombre N sera composé.
DéniOlISlratioil, Pour établir le théorème énoncé, nous allons faire voir que lorsque N est uu nombre composé, l'un des trois cas suivants aura nécessairement lieu;
1". On ne trouvera pas de représentation du nombre N par la forme =t (x^ — By^) dans les limites
2'^. On trouvera dans ces limites une représentation de N pour laquelle X, y ne seront pas premiers entre eux;
3". On trouvera dans ces limites plusieurs représentations du nombre N.
Si parmi les facteurs du nombre N on trouve des nombres qui ne soient pas diviseurs de x^ — By^, l'équation
x^ — By^ = ±]Sl
ne sera pas possible, à moins que ces facteurs ne divisent x^ et y'^. Donc, dans ce cas, ou bien la représentation du nombre^ par la forme ±(3;^ — By^) sera impossible, ou bien dans la représentation du nombre W les nombres a; et !/ ne seront pas premiers entre eux.
En passant au cas où tous les facteurs de iVsont diviseurs de x^ — By^, supposons que
Tous les diviseurs quadratiques de x? — By^ ayant, par supposition, la forme Ix^ — \i.i/, nous concluons que les nombres ^j, N^ pourront être rej ainsi:
(3) Ny = \x\~ II, y\, N^ = \xl~^y\,
et comme leur produit JVa la forme ± {x^ — By^), on trouvera
\~\, f^a = f*i dans le cas de
N=^x^ — By^,
et
''1 = — ^, 1*8 = — h dans le cas de
Donc
-Wi -K, = ± (X, xl — ]hvi)(\Â — fh '!&,
on bien, ce qui revient au même,
■Wi W, = ± [ft % a;, ± (1, y, 1/,)" — ),, 11, (a;, y, ± y, x^f] .
D'après cette équation et en remarqnaut que
nous concluons que l'équation
sera vcritiée par deux systèmes de valeurs de x, y.
En cherchant, d'après ces formules, les valeurs de XT^ -t- ¥X^, XY^ — rX,, nous trouvons
X 7, -t- rX, = (X, 3^ Ij -t- (», yi y,) (i, y, — y, x,) -l-(X,a:,a:, — (t,y,y,) (a;,y,-i-y,i,) = 2 «, y, (X, if — (», yî) = 2 ï, y, i\fj ,
Xr, — rx, = (X, X, X, H- n, y, y,) (ai, y, — y, rc,) — (X, I, «, — Jl, y, y,) (X, y, -I- y, I,) = — 23!, y, (X,3;|-n,!^) = — 2ï,y,iyj.
D'oii il est clair que si x, y, est premier par rapport à ^j, et x^ y^ est premier par rapport à N^, les nombres XY^~+- rX„ Xr, — TX, ne seront pas divisibles par
ce qui, d'après le § V, suppose deux solutions de l'équation
dans les limites
. = 0, . = ^EMÎ, , = „, , = y/^M,
Quant au cas où x^ j/, aurait un commun diviseur avec N^, ou feien x^ 3/3 avec N^, il n'est pas difficile de s'assurer que les solutions (4) de l'équation
ainsi que toutes les autres qu'on en pourrait tirer à l'aide des formules (2), contiendront des valeurs de x, y divisibles par un même nombre.
C'est ainsi que nous nous convainquons que, dans les suppositions énoncées plus haut, on ne trouvera jamais un nombre composé N qui puisse avoir, dans les limites
une seule représentation par la forme ± [x^ — Dr/'), pour des nombres x, y premiers entre eus. Donc ceci ne peut avoir lieu que pour J/ premier; dans le cas contraire, d'après ce que nous avons vu dans le § V, on conclura que N est composé.
vn.
C'est de cette manière qu'on pourra reconnaître la nature d'un nombre donné d'après sa représentation par la forme quadratique x^ — Dy"^ ou — {o!? — Dy^) si tous les diviseurs quadratiques de :r^ — By" ont la forme "kx^ — [1^^. Nous allons maintenant présenter une Table de ces formes les plus simples, avec les limites de x, y^ déterminées par les formules
ainsi que des formes linéaires des nombres qui peuvent être examinés au moyen de ces formes.
Formes quadratiques
Limite
de œ, y.
Formes linéaires de N.
N^Sn-,-1,7
N= 12 m -h- 1 A'=12M-t-ll
JY=20n-i-l, 9, 11, 19
x^VlN,
N = 2in-t-\, 19
j;'=28tt-+-l,9,25 îr=28»n-8, 19, 27
-(a!>-IOs>)
.A^-=40 n-Hl, 9,31,39
l'-lly'
.V=44n-i-l, 5, 9, 25, 37 Jf=44M-H7, 19,36,39,43
x = V~3ÛN,
X = VSN, x^V^\
JV=:56«^-1,9, 11,25,43,51 N=mn-t-5, 13,31,45,47,56
^^Yi-
'J'Yi"
W=60«-t-l, 49 iV'=CO w-t-U, 59
quadratiques de jV.
=y 2âw,
-V'27Ïf,
Formes linéaires de W.
2?= 76 M JV=76«
jr=84n
= y 99 Jf, = y 98W,
=:-y'26iV, = y25S',
^ V 4901Jf,
x^—^Oj,'- - (a;*— 30i(2)
= y6JV, =y5i^.
JV^124»
JV=I24»
JV"=132n
