II
D'après ce que nous Tenons de trouver, on voit qu'il y a plusieurs
formes à déterminaDts positifs dont on peut se servir pour examiner si un nombre donné est premier ou non. Quant aux limites de x, y, dans lesquelles on doit chercher la représentation du nombre examiné par la forme ± {^ — -Oy'), elles ne sont pas toujours plus étendues que celles qu'on trouve par rapport à la forme 3? -+- By^. Ainsi, on voit d'après la Table précédente, qu'en cherchant la représentation du nombre 2^ par la forme ^y^ — 3?,
on ne doit pas aller au delà de ^= Vy, et, comme y ne peut pas être évidemment plus petit que l/y, on cherchera la valeur de y entre les limites l/y, I/t- -^^ '^ même manière nous apercevons que, pour trouver la représentation du nombre N par la forme x^ — 3 y^, on cherchera z entre les limites y iV, l/|-^; pour la forme x^—2y^, ces limites sont 'VN, V2N, etc.
Nous allons maintenant montrer par un exemple qu'à l'aide de la forme rt {x^ — ^V^), convenablement choisie, il n'est pas difficile d'examiner si un nombre donné est premier ou non, même quand ce nombre est considérable. Nous choisissons le nombre 8520191; Legendre {voyez sa Théorie des Nombres, tome II, page 150), en cherchant deux nombres  et B, tels que chacun d'eux soit égal à la somme des diviseurs de l'autre, celui-ci non compris, a trouvé que
vérifieront cette condition si le nombre 8520191 est premier. Mais jusqu'à présent on ne sait si ce nombre est premier ou non.
En remarquant que le nombre 8520191 est de la forme 12 n-t- 11, et que tous les nombres premiers de cette forme peuvent être représentés par3^* — a;^, nous allons chercher la représentation de 8520191 parla forme Zy' — x'. D'après le procédé exposé plus haut, nous allons chercher la valeur de y entre les limites
c'est-à-dire entre les limites
Pour que la forme Zy"^ — o? représente un nombre impair, on prendra x impair et y pair, ou bien x pair et y impair. En faisant, dans le premier cas,
a; = 2n-i-l, y=2ny,
nous trouvons que 3 y ^ — x^ se réduit à
ce qui ne peut être égal à 8520191, qui est de la forme 8 m— 1, si «j est impair. Donc
et, par conséquent, on aura, dans le premier cas,
En passant au cas de x pair et y impair faisons
a; = 2 w, y ^ 2nj -I- 1 .
Pour ces valeurs de x, y la forme 3 ^^ — 3? devient
et, eu égalant cette quantité à 8520191, nous trouvons l'équation
Or, comme cette équation se réduit à
nous en concluons que « est impair.
Faisant donc
w = 2m -t- 1, l'équation précédente devient
6"''"^-^^'— 8'"'"'^'^^'— 1=2130047, et, par conséquent,
ce qui suppose
. divisibilité du nombre -
- par 4. Mais, pour que
soit divisible par 4, un des deux nombres n^, «j -+- 1 doit être multiple de 8. Donc on aura
ou n, = 8^ ou «,^ = 8^" — 1.
En prenant la promière valeur de «„ nous trouvons
^=16^-1-1, et la seconde donne
y=iei"—i.
Ainsi y ne peut être que de l'une de ces formes:
y^Al, y=lGl'-i-l, yz=iei"—l.
De même, il n'est pas difficile de trouver les nombres auxquels y peut être congru suivant différents modules, et ensuite, au moyen de ces nombres, de trouver toutes les formes possibles de l, l', l" . Ainsi nous trouvons que pour
N=bm-*-\ = 7m'-i- 1 = Um"-i-9 = 13m"'H ce qui est justement le cas de l'équation
suppose
%if — x^ — N z 2 (mod. 5),
y=±\, ±2 (mod. 7),
y=±\, ±2, ±5 (mod. 11),
î/=0, ±1, ±3, ±6 (mod 13),
y=±\, ±2, ±3, ±4, ±1 (mod. 17).
De là il est facile de conclure que équations
y^il, y~lGl'-t-ï,
doivent avoir les formes :
nombres ï, l', l", liés à y par les
ï = ll«-i-3,4,5,6,7,8
i'=lltn-0, I, 3, 4, 6, 9
î"=ll»-i-0,2, 5, 7, 8, 10
(" = 13«H-{Û'jS'''8, 9. 10
'="-{hM,V'''-
( — l't-^ ^ 12, 13, 14, IB
D'après ces formes de l, l\ l", il est très-facile de trouver toutes les solutions de l'équation
dans les limites
Dans les cas de
nous trouvons que l doit être compris dans les limites 421 et 516. Si l'on prend, dans ces limites, tous les nombres de la forme
et qu'on rejette, d'après l'équation
( = 5ti-)-0, 2, 3,
tous les nombres dont le dernier chiffre est 1, 4, 6, 9, on ne trouvera que ces trente nombres:
D'après l'équation
on supprimera de cette Table tous les nombres qui, divisés par 7, donnent des restes égaux à 0, 1, 6, et l'on n'aura alors qu'à examiner dix-sept nombres parmi lesquels on reconnaîtra très-aisément ceux qui, divisés par 1 1 , ne donnent pas les restes 3, 4, 5, 6, 7, 8; tous ces nombres, d'après l'équation
doivent aussi être rejetés; alors il ne restera que les huit nombres suivants:
De plus, dirisant ces nombres par 17, nous n'en trouverons que quatre:
qui s'accordent avec les formes
d'ailleurs, comme ces nombres conduisent à des valeurs de y qui ne vérifient pas réquatioa
nous en concluons que, dans les limites énoncées plus haut, cette équation n'a point de solution pour laquelle y serait de la forme 4 1. En passant au cas de
î/=16r-Hl,
nous trouvons que les limites de t sont 105 et 129 , et que, dans ces limites, les nombres de la forme
qui, s'accordant avec les suivantes:
se terminent par 1, 2, 4, 6, 7, 9, sont
En rejetant de là, d'après l'équation
tous les nombres qui, divisés par 7, donnent des restes différents de 0, 2, 4, 6, et, de plus, tous les nombres qui n'ont pas l'une des formes
Un-nO, 1, 3, 4, 6, 9,
il ne reste que les deux suivants:
En cherchaut, d'après ces valeurs de l', celles de
î/=i6;'~hi,
en substituant ces valeurs dans l'équation
3^i> — a:3= 8520191, nous trouvons que la seconde donne
^^=1937, qui vérifie l'équation
3;^» — «3 = 8520191, en prenant
Quant au dernier cas, c'est-à-dire celui de
nous trouvons 105 et 129 pour limites de t; dans ces limites, d'après les équations
nous aurons les nombres suivants:
dont il ne restera qu'un seul,
quand on aura rejeté tous les nombres qui ne s'accordent pas avec les formes
r'=r7w-i-0, 1, 3, 5, r=lln-i-0, 2, 5, 7, 8, 10,
et comme le nombre 126 est de la forme
et, par conséquent, ne s'accorde pas avec les formes
nous concluons que ce nombre doit aussi être supprimé.
Ainsi nous ne trouvons qu'une seule représentation du nombre 8520191 par la forme 3 y^ — a^, en prenant y non supérieur à y — -^— , et comme, dans cette représentation, les valeurs de x et y^ nommément 1654 et 1937, n'ont point de commun diviseur, nous en concluons avec certitude que 8520191 est un nombre premier.
La méthode qui nous a servi à l'examen dn nombre 8520191 à l'aide de la forme Zy^ — x^ peut être étendue à tous les nombres, en faisant usage de certaines formes quadratiques. Ces recherches, comme on a pu le remarquer d'après l'exemple précédent, pourraient devenir très expéditives, même pour des nombres considérables, si l'on avait des Tables des sohitiens de la congruence
Ax'^±By^ = G (mod. iî),
pour les valeurs les plus simples de p, telles que
Ces Tables seraient peu nombreuses si l'on se servait des formes à déterminants négatifs et en même temps de celles à déterminants positifs, car alors on n'aurait pas besoin de recourir à plusieurs formes différentes. Ainsi, par exemple, on pourra examiner tous les nombres au moyen de ces trois formes
x'-i-y^, x^-t-2y^, x^ — ly^.
La première servira pour examiner tous les nombres de la forme
la seconde pourra être employée dans le cas du nombre
8W-I-3; et enfin la dernière pour ceux qui ont la forme
Ou verrait de la même manière que tous les cas possibles pourraient également être traités au moyen de ces trois formes
x^-i-^, x^-i-Zif, 3)/^ — x^.
NOTE
8iia
JUiJiJBJ&JaJliiAXAJao oJeiJftiao.
(Journal do matliomatiques pures et appliquées. I série, T. XVI, 1851, p. 837—346.)
Note sur différentes séries.
On parvient à des formules très-intéressantes, comme, par exemple au développemeat de e~^ en produit d'une infinité de facteurs, à l'expression de sin x et ces x par des séries dont le calcul ne demande que la mnltiplicatiou de x par différentes constantes, et encore à plusieurs autres relations curieuses, en cherchant la valeur de/'(l), f [x) étant une fonction liée à une autre F {x) par une équation de l'une de ces trois formes:
F{x) = f{x) -H /-(a X) -H /-(S X) -t- /■(4 X) H- f{5 x)-^f (ex) -*■... F{x) = f(x)-t-f{3x)-i~f{5x)~^-f{7x)-t-f(Qx)-t-f(Ux)-i-... F{x)=^f(x)~f(Sx)-t-a6x) — f(7x)-^f{9x)^f{Ux)-t-...
Pour y parvenir, nous allons chercher quelle est la loi des séries qui déterminent la valeur de ^{1} dans ces trois cas.
Commençons par le premier où. f (x) et F (x) sont liées par l'équation
(1) Fix) = f(x)-^f(2x)-i-f(Sx)-t-f{4:X)^f{5x)^f{ex)-^...
Il est évident qu'en vertu de cette équation, la valeur cherchée de /'{l) sera exprimée par une série de la forme suivante :
(2) f{l) = A,Fi\)-i~A^F{2)-t-A^F{S)-^...-t-Â^F{m)-t-. , .
où Aj, j4j, A^. . ., â^ sont des coefficients numériques indépendants des fonctions f (x) et F (x). Pour trouver ces coefficients, supposons
r étant une quantité quelconque supérieure à 1. Pour cette forme par-
ticulière de f{x), la fonctiou F {(f), d'après l'éqaation (1), sera déterminée par réquation
^ w = jf -^ (sV -^ piV' * (w -*- (ïï)' * w * • ■ • •
ou bien, ce qui revient au même,
Or, comme cette expression de F (a;), conjointement avec doit vérifier l'équation (2), nous conchiOQs que
et, par c
D'après cette équation, et en remarquant que les coefficients A^, A^, A^,. . ., A^, . . . sont indépendants de r, on conclut qu'en général A est égal au coefficient de — ^ dans le développement du produit
Or, en examinant ce produit on s'aperçoit de suite qu'il n'y entre point de termes de la forme ^ toutes les fois que m est divisible par un carré; donc, pour de telles valeurs de m, le coefficients A^ sera égal à zéro. Quant aux autres valeurs de m, le coefficient A„^ se réduit à 1 lorsque m a un nombre pair de diviseurs premiers, et il est égal à — 1 quand le nombre des diviseurs premiers de m est impair. Ainsi nous trouvons la loi de la série (2) qui donne la valeur de /'{!) déterminée par l'équation
De la même manière nous trouverons que, la fonction /" (3;) étaiit déterminée par l'équation
la valeur de f(ï) sera égale à
où j?,,^^,^^, B^,..., 5^ sont lescoufficientsde 1, ^, ~^, p,..., -r, dans le développement du produit
Nous concluons de là que
quand m est divisible par 2 ou par un carré, et que
i?„ = -Hl ou —1,
suivant que le nombre des diviseurs premiers de m sera pair ou impair. En passant au cas de
F{x) = f{x)-f{3x)-^fiôx) — f(7x)-^-f(\)x) — f(Ux)-i-...,
nous trouvons
f{l)^C,Fil)-t-C,Fi2)-t-GsF(d)-i-C^F{4:)-i-. . .-t-G^F{m)-t- . . .,
où Cj, Cj, Cg, 6\, . . ., 0^ sont égaux aux coefficients de 1, ^r, ^, rf,.. , —^ dans le développement du produit
Donc,
dans le cas où m est pair ou divisible par im cai'ré; O. = 1
si m a un nombre pair de diviseurs premiers de la forme 4 « -h 1 , et enfin
si le nombre de ces diviseurs est impair.
D'après ce qui vient d'être établi, il est visible que pour chaque formule connue de l'une de ces trois formes:
F{x)=^f(x)-^fi2w)-t-f(5x)-t-f{Ax)'^f(5i^)-t-f{6x)^..., Fix)^fix)-i-f(3a!)-i-f(6x)-t-fi7x}-^f{9x)-i~f{nx)^..., F(x}=fix) — fidx)-Hf(5x)-fi7x)-i-f{9x)^f(Ux)-^...,
on aura une formule nouvelle.
Ainsi, de la formule connue
Le développement de log (1 — a^) nous donne une formule qui peut être mise sous cette forme:
gd-"^)
d'où nous tirons, en cherchant la valeur de — — pour x=l,
a = '"gC-") log (1 - a') log (1 -a3) log (1 - ai)
log(l~a«) log(l~a') log(t-a">) 6 7 lu
et, par conséquent,
(l-a)(l-aV(I-
Ml-
En partant
de la formule connue
qui
arc tang a^ = (C^ donne
arc tang w' «^
al"
nous trouvons
o = arc tang a-t-jurc tang a^ — -g- arc tang a^ -h y arc tang à' ~ Le développement de cos ^ en produit de facteurs donne
d'où l'on conclut
log (cos i) = log ( 1 - AJ) -H log (l - ji^)
et, d'après cette équation, nous trouvons
log fl — -^ j = log (cos a) — log (cos -|-] — log f cos y] — log (cos y) — log (cos ^) — log (cos ^) -H log (cos^) — log (cos^) — log (cos^) -Hlog(cos^)-...,
ou, ce qui revient au même.
coa-.c0s-3-.cosy...
Voyons maintenant ce qu'on peut tirer de la valeur connue de la série
C03 2 TC 1 3; eoai.^TcXie cos 2.611X3: cos2.7nix
lî ~'" 3» *" 62 "■* ^"7« •- ■ ■ ■
Pour
oii m est un entier, w une quantité positive qui i trouvons cette série égale à
expression qxn- nous pouvons mettre sous la forme
eu dénotant par le signe \'Kx\ la plus petite quantité qu'il faut ajouter à "kc ou retrancher de Ix pour avoir uu nombre entier. On aura donc
cos 2 7i:X,i; cos 2.811X3; cos 2.5)[).jt cos 2.7it!.x n* ,, . r , i>
— ïî ' 3^—-^ 5^ -« ifi H... = -g-(l — 4{Xa;j).
Eu faisant dans cette formule x^O, nous trouvons
lH-p-Hp-l-p-H...= g.
Cette équation, combinée avec la précédente, donne
2 ] - QQa 2 lï X 3^ 2 1 C03 2 d it X X \
2 1 — C03 a.5Tt).i 2 1 — eo3 2.7ala: «^ {5x)ï "*~Ki (7x)»
nous trouvons
j (1— cos 2tcX) =
et, par conséquent,
1 îil LiU tj±i ilM (lU} 1
cos2t:X^1 ^{ J
Voilà une expression de cos 2 izk dont le calcul ne demande que la multiplication de X par 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15,. . , Nous trouverons une expression pareille pour sin 2 %k, en remplaçant dans la formule précédente X par X — -j, ce qui donnera la série
-tI
qui, par la propriété de la notation j }, se réduira h
La même méthode nous conduira aussi aux valeurs (
d'après colles des séries suivantes :
Pour y parvenir, nous remarquons que le produit
i réduit à cette série-ci:
(—ir 1 (-ir j (— ir
■iin "•" gm "+~ 77(1 ""^ gm "-*- | jm
et, par conséquent,
= l„g(l!=^)log(i jij)i„g(i tf") -loWl-<^n-log(l-J,)-...
B»-^Ti
-is^
*'ir*
1 (- l)^- 5 Vï'"'
-h'TT*
1 (- ip™
1 (^ i)sm 5 11*™
-if.-i
îi.-!
; isam -*- 4 134M
De là nous tirons la formule
en dénotant la somme
par Sj^, et les sommes de la forme
en général, par 2^. Eu changeant dans l'équation précédente m en mx et divisant ensuite tous ses termes par x, nous aurons
- log S^^ = - 2„^ -I- i 2,„^ H- ^ 23„^ H- /- 2,„^ H- i 25„, -1- . . . ,
d'oîi nous tirons, pour la valeur de 2^,
K =^ l«g ^m — I log «2^ — j log S,.„ - -i log Â'^
Ainsi uous parvenons à déterminer la valeur de la série 2.^ de la forme (4), composée seulement de nombres premiers, au moyen des valeurs des séries S^, 8^^, 8^^, 8^^, S^^,S^^,. . . de la forme (3), composées de tous les nombres impairs. Dans le cas particulier de
la formule que nous venons de trouver donnera
2, = logS,-ilogS,— |logS,— |logS5-l-|logS. 2, = log S, - i log S, - i log S, — i log S„H- 1 log S„— 2, = log S, — i log S, — i log i% - i log S„H- 1 log S„-
logS, H logS„^
lOg^lH
Mais on sait que
61tt' " 184320»
Doue, d'après les formules précédentes, nous aurons
2, = logf-il««l-il<'«|-il»«
960 7 ^S ïi
ce qui donne
2, = -i-Hi—i-i-,-i-Hi-i-H...= -0,33498...,
THEORÎE DES MECANîSMES
SOÏÏS Ll HOM DI PMiLLILOSRAMMlS.
(Mi'moiri>a présentés à l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétcrsbourg par div savants, VIT, 1854, p. 539-668,)
(Lu le 3S janvier 1853.)
Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes.
§ 1. QiiaQil il s'agit d'assurer la direction du mouvement rectiligae d'une pièce soumise à un effort oblique, il no suffit pas de rendre les inégalités des guides peu sensibles à la mesure; les déviations, qui ne sont pas appréciables à l'oeil nu, se manifestent clairement par les résistances passives qui en résultent. Eu guidant la tige du piston de la machine à vapeur à l'aide de coulisses ou glissoires, on prend un soin particulier de les exécuter avec une perfection aussi grande que possible. Eu remplaçant ces guides par le parallélogramme, on est de même obligé k augmenter le pins possible la précision de son jeu, et cela d'autant plus, que même dans les CLTConstances les plus favorables il présente des déviations bien plus grandes que celles qu'on ne saurait jamais admettre dans le mouvement de la tige guidée par les coulisses ou glissoires. Les efforts latéraux qui résultent du défaut du jeu du parallélogramme se manifestent souvent même par la formation d'une certaine ellipticité dans la boîte à étoupes.
Or, dans l'état actuel de la Mécanique pratique, on n'a pas de régies sûres pour trouver les éléments les plus avantageux du parallélogramme. Faute d'une méthode directe, on détermine ses éléments d'après les conditions qu'on croit être nécessaires pour la précision du jeu de ce mécanisme. Ainsi l'on trouve la longueur de la tige-guide et le lieu de son axe d'oscillation, en cherchant à rendre la direction de la tige du piston tout-à-fait verticale au commencement, au milieu et à la fin de la course. D'après cela, et en supposant données les brides du parallélogramme, tout se réduit à déterminer convenablement la position normale de la tige par rapport au balancier. On trouve cette position, en cherchant à placer la tige de telle manière, que son prolongement passe par le milieu du sinus-verse de l'arc décrit par l'extrémité du balancier. Ici, ainsi que partout dans la suite, nous
prenons pour l'extrémité du balancier son point d'attachement à la bielle latérale.
Si l'on trouve qu'il y ait un avantage particulier de donner à la tige du piston la direction tout-à-fait exacte au commencement, au milieu et à la fin de la course, la tige-gnide qu'on trouve d'après la méthode dont nous venons de parler, est évidemment la seule qui remplisse cette condition. Mais ce cas, comme nous le verrons, n'est pas le plus favorable pour la précision du jeu du parallélogramme dans les autres points de la course du piston. Quant à la position la plus avantageuse de la tige du piston par rapport au balancier, le principe précédent ne nous la donne pas. D'après la théorie que nous proposons dans ce mémoire, enverra que la tige du piston doit être plus ou moins rapprochée du centre du balancier, selon les dimensions du parallélogramme, et, dans les cas les plus ordinaires, sa direction ne passera pas par le milieu du sinus-verse de l'arc décrit par l'extrémité du balancier. Ainsi, dans le cas où le parallélogramme de Watt est construit sur la demi-longueur du bras du balancier (comme Watt l'a fait lui même, et comme on doit le faire, si l'on est maître de disposer des dimensions du parallélogramme) on diminue notablement la limite de déviation de la tige de sa direction normale, en l'approchant du centre du balancier plus qu'on ne devrait le faire d'après le principe dont nous venons de parler, savoir: 1) si, dans le cas oîi l'on cherche à rendre la position de la tige tout-à-fait verticale au commencement, au milieu et à la fin de la course, on prenait pour sa direction la ligne qui divise le sinus-verse de l'arc décrit par l'estrémité du balancier dans le rapport de 2 à 1 , et 2) dans le cas, où l'on ne cherche pas l'exactitude absolue dans les deux positions extrêmes de la tige, on prenait pour sa direction la ligne qui divise ce sinus-verse dans le rapport de 5 à 3.
Dans le dernier cas, la tige-guide ne sera plus déterminée par les positions limites du balancier; on doit pour cela prendre les positions qui les précèdent à peu près d'un quarantième de l'amplitude de l'oscillation. Quelque petites que soient les modifications dans la construction du parallélogramme de Watt que nous venons de mentionner, et qui ne sont que des résultats approximatifs tirés de nos formules, elles augmentent notablement la précision de son jeu. A l'aide d(! l'analyse on peut s'assurer facilement qu'avec ces modifications la limite de déviation de la tige par rapport à la ligne verticale diminue plus que de moitié.
Cela nous prouve clairement que le principe qui est la base de la théorie actuelle du parallélogramme est loin de réduire au minimum la limite de ses déviations, si nuisibles par les efforts latéraux qui en résultent sur la tige du piston, et par conséquent, que non seulement pour la théorie,
mais aussi pour la pratique elle même, il est très important que, daDS les
recherches sur le parallélogramme, ce principe, qu'on ne cherche à vérifier qu'à l'aide des considérations inexactes, soit remplacé par une méthode directe; ce but atteint, on pourra, d'après la nature de ce mécanisme et sons les conditions qui se présentent dans la pratique, donner les éléments les plus convenables pour la précision de son jeu. C'est cette méthode que nous nous proposons de donner dans ce mémoire; elle embrasse le parallélogramme de Watt et toutes ses variétés qui sont en usage dans la pratique.
§ 2. Lorsqu'on développe une fonction fx suivant les puissances de X — a, la somme des premiers termes nous donne un polynôme qui, parmi tous les autres du même degré, s'approche le plus près de fx dans le voisinage de x^a. On prend ce polynôme pour la valeur approchée de fx, quand on la cherche sous la forme d'une fonction entière. Mais pour l'évaluation de fx sous cette forme, on doit préférer un autre polynôme à celui-ci, si, au lieu de s'approcher le plus près possible de fx dans le voisinage de x = a, on cherche à augmenter la limite de précision de sa valeur approchée dans l'intervalle donné de a;: ce second polynôme sera déterminé par la condition que la limite de ses écarts de fx, dans l'intervalle donné, soit moindre que celle de tous les autres polynômes du même degré. A mesure que cet intervalle diminue, la seconde valeur approximative de fx s'approche de celle qu'on trouve par le développement de fx suivant les puissances de X — a, (ï étant convenablement choisi. Mais tant que cet intervalle reste fini, les coefficients de ces deux valeurs approximatives de fx diffèrent entre elles, et ces différences, même dans le cas où elles sont petites, ne peuvent être négligées dans la théorie des mécanismes dont nous nous occuperons. Nous avons déjà remarqué combien il était important de déterminer avec une approximation suffisante la position de la tige du piston par rapport au balancier, ou, ce qui revient au même, les angles du parallélogramme dans sa position moyenne. Or, ces angles ne s'écartent que bien peu de 90°, et ces écarts ne sont que le résultat de la différence entre les coefficients des deux valeurs approximatives de la fonction, dont nous venons de parler; savoir, de la valeur qui donne le minimum de l'erreur dans le voisinage d'une valeur de x, et de celle, dont la limite des erreurs, dans l'intervalle donné de X, est un minimum. Si on ne tient pas compte de ces différences, on trouve 90° pour la valeur des angles du parallélogramme dans sa position moyenne, et l'erreur qu'on commet ainsi, quoique d'un petit nombre de degrés, suffit cependant le plus souvent pour diminuer de plus de dix fois l'exactitude du jeu de ce mécanisme.
D'après ce que nous venons de dire, on voit que la théorie des parallélogrammes que nous nous proposons de donner, est impossible à l'aide des
formules approximatives qui ne sont déterminées que d'après la condition de donner le maximum d'exactitude dans le voisinage d'une seule valeur de la variable; cette théorie demande des méthodes d'approximation, qui puissent fournir le maximum d'exactitude par rapport à toutes les valeurs de la variable entre deux limites données. C'est en cela que consiste la difficulté de cette théorie.
Relativement à la méthode d'approximation, dont nous venons de parier, nous n'avons que des recherches de M.Poncelet, qui a donné des formules linéaires pour révaluation de ces trois expressions
V {j? -+- y\ y if — f), V (x^ -t-y--*- s^),
formules d'un grand usage dans la Mécanique pratique. Dans les problèmes de M. Poncelet, les équations qui déterminent les coefficients cherchés se résolvent facilement. Mais cela n'a lieu que dans des cas très particuliers. A plus forte raison, leur solution exacte est impossible, si l'on cherche la valeur générale de ces coefficients pour l'évaluation d'une fonction quelconque; car alors ces équations, d'une forme très compliquée, contiennent une fonction arbitraire. Donc on ne peut donner des formules générales pour cette méthode d'approximation qu'à l'aide des séries. C'est ainsi que nous avons cherché à résoudre la question suivante :
«Déterminer les modifications qu'on doit apporter dans la valeur appro- «chée de fx, donnée par son développement suivant les puissances de x-^a, «quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre x=a — h «et X = a -t- h, h étant une quantité peu considérable».
La théorie des parallélogrammes que nous proposons ici, est fondée sur la solution de cette question dans le cas, où le développement de fx s'arrête au terme suivi d'un autre plus élevé d'un degré; c'est le cas qu'on rencontre le plus souvent dans l'évaluation des fonctions.
§ 3. Soit fx une fonction donnée, V un polynôme du degré n avec des coefficients arbitraires. Si l'on choisit ces coefficients de manière à ce que la différence fœ — U, depuis x:=a — h, jusqu'à x=a-i-]i, reste dans les limites les plus rapprochées de 0, la différence fx — U jouira, comme on le sait, de cette propriété :
«Parmi les valeurs les plus grandes et les plus petites de la différence afx — XI entre les limites x = a — /;, x=a'+-li, on trouve au moins tt-i-2 «fois la même valeur numérique».
Les valeurs que fx — U prend pour x^a — A, x^a-i-h sont con- 3 comme maximum ou minimum.
D'après cela on trouve facilement les équations que les coefficients de
U doivent vérifier. Si uous convenons de dénoter par L la valeur uuinérique commune des n -h 2 maxima ou minima de fx — U qui doivent avoir lieu entre les limites x = a — h, x^a-i-Ji^ l'équation
(1) {fx—Uf — L^ = (i
doit avoir n-\~2 racines comprises entre a — h et a-t-h^ et toutes ces racines doivent vérifier l'équation
qui est la condition du maximum et du minimum, ou bien se réduire aux valeurs a — h, a-i-h; en un mot, les n -i- 2 racines de l'équation (1), comprises entre a — A, a-i-Ji, doivent vérifier celle-ci
\ HJ^snID-
Cela nous donne un nombre suffisant d'équations pour trouver les n-t- 1 coefficients du polynôme V et la valeur inconnue L; car chacune des n-i-2 racines communes aux équations (1) et (2) suppose une équation entre les coefficients de U et la quantité L, ce qui fait en total n-t-2 équations. La résolution de ces équations n'est évidemment possible que dans le cas, oii l'on donne à la fonction fx une forme déterminée. Mais si la quantité h est assez petite, on peut laisser fx arbitraire et chercher les coefficients de U en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de cette quantité. Nous ne chercherons ici ces coefficients que pour les cas qui se présentent dans la théorie des parallélogi'ammes, mais notre méthode peut être étendue à tous les cas, oii /"(«-i-^), dans les limites j^ — h, s=~i~h, peut être développée d'après la série de Taylor, ce qui sera l'objet d'un autre mémoire.
Pour simplifier nos formules nous dénoterons par
f(„\ flM />)
et par conséquent le développement de fx par la série de Taylor donnera fx = k^-t~k^ (x — a) -•- fcg (x — ffl)^ -+-
De plus, nous ferons x — a^hs^ ce qui réduira le développement de fx à.]a forme
\-t-kj ks-t-h^h^z^ -i- ,
et les limites
se changeront en celles-ci:
Cela posé, le polynôme cherché U sera déterminé par la condition que dans les limites g^ — l^ ^^-h1 la différence
(3) k^-i~k^ h z -i-lc^ h' 3' -i- . - .— U= Y
s'écarte le moins possible de zéro.
Or, si l'on ne tient compte que des quantités de l'ordre moins élevé que fe""^', la valeur de F devient
fco-H^i Jt3-t-\ Wz^ -i- . . .-i-hjf 3" — Z7,
et son minimum est évidemment zéro; car le polynôme cherché JJ étant du degré w, on peut réduire T à zéro, en prenaut
(4) U = k^-t-k, h3-i-k^hH^-i-. . .-t-^^^^".
Donc la valeur de U, exacte jusqu'aux quantités de l'ordre fe""^', sera égale à
Il n'est pas difficile de s'assurer que l'ordre de précision de cette valeur de U sera encore plus élevé, si dans la série
k^-i-k, Jiz-t-kji^s^-i-. . .-«-A„A"5"-i-A„^, h"-^' £"-^'-1-. . .,
le terme k^h" z" est suivi d'un certain nombre de termes égaux à 0. En effet, s'il arrive que
(5) ^„^, = 0, k^^.^ = 0, . . . fc„^„ = 0, la valeur de cette série peut être remplacée par
^D -I- &, hz-h-k^ h^s^-i-. . -+-k^h"z" même dans le cas où l'on cherche le polynôme U avec une précision
jusqu'à l'ordre Â""^"*"^'. Donc en géoéral, la valeur exacte de £/ sera de cette forme
(6) U=:U^-t-rh"'-^"^\
où
V étant un polynôme du degré «, dont les coefficients ne deviennent pas infinis pour k:=:0, et m le nombre des équations (5). Ce nombre ne différera de 0 que dans le cas où k^^^ = 0, ce qui n'a lieu que pour a égal à une des racines de l'équation f""^' a: = 0; car nous dénotons par ft^^ la valeur de /g in^u- ^'^'^^ "ï"^^ *^^ nombre soit 2, 3, ...etc., il faut que cette racine de l'équation f*'^^ x = 0 soit double, triple, . . . etc.
D'après (6) on voit que la valeur exacte de V sera composée de deux parties: U^ et FA"*"^""^\ La première partie n'est évidemment que la somme des « -i- 1 premiers termes du développement de f(a -i-hz) suivant les puissances de 3; quant à la seconde, elle détermine les changements qu'on doit faire dans les coefficients de cette valeur approchée, lorsque l'on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs dans l'intervalle donné de la variable. Eu passant à la détermination de cette partie de U, nous mettons la somme f/„ -+- ■jr/j"'-^""*'' à la place de U dans la valeur de 3^(3); d'après les équations (4) et (5), la valeur de Y devient.
c'est cette valeur que nous devons chercher à rendre la plus proche possible de zéro entre les limites ^ = — 1, ^=^-1-1.
Si l'on supprime ici le facteur constant ^""^'""^i et qu'on ne tienne compte que des quantités de l'ordre moins élevé que h, la valeur de F, exacte jusqu'à ce degré, sera déterminée par la condition que V soit celui des polynômes du degré n, pour lequel la différence
s'écarte le moins possible^de zéro depuis 3 = — 1 jusqu'à ^ = -i- 1,
Or, d'après le § 3, cela se réduit à un système de 2 w -i- 4 équations de cette forme
(',„*■ ^°""^' -rf-e = o, ""■^"-r""""''' (^' - 1) = 0.
La résolution de ces équations à l'aide des méthodes ordinaires de l'Algèbre demande des calculs tout-à-fait impraticables par leur prolixité, tant que «, degré du polynôme cherché, n'est pas un petit nombre. Nous allons montrer qu'à l'aide du calcul intégral, ou peut remplacer ces équations par d'autres dont le nombre, pour toutes les valeurs de n, ne surpassera pas 2 m, et même trouver leur solution générale dans le cas de m = 0 et m ^l, chose très importante pour la méthode d'approximation dont nous nous occupons; car, d'après ce que nous avons dit plus haut par rapport au nombre m, il n'aura une valeur considérable que dans des cas exceptionnels, très rares; sa valeur ordinaire est zéro. Ce dernier cas est celui qui se présente dans la théorie des parallélogrammes.
§ 4. Eu faisant pour abréger
les équations qui déterminent F se présenteront sous cette forme
Ces équations, d'après les conditions du minimum que nous clicrchons, doivent avoir n-i-2 racines communes, comprises entre s ^= — 1 et s^-t-1. Or, ij étant un polynôme du degré n-H«i-i-l, cela suppose, comme nous allons le montrer, que la fraction
se réduit à celle-ci:
où P et $ sont des fonctions entières, la première du degré 2 m, la second du degré m.
En effet, soient
les » -H 2 racines communes à ces deux équations; parmi ces racines il y en aura au moins n qui, étant différentes de — 1 et n- 1, ne pourront vérifier l'équation
qu'en réduisant ^ ^ 0- Ov, si s =s^ est une de ces racines, la différence - L^. De plus, il est facile de s'assurer que ï/^ — L^ sera divisible par le carré {s — ^^f; car l'équation ^ = 0, qui a lieu pour s=s^, suppose la multiplicité de cette racine dans l'équation /— i2 = 0. Donc, si
sont les valeurs de ^ qui vérifient les équations
sans réduire s^ — la zéro, les fonctions (^] , y'^ — J? sont divisibles par
et par conséquent, la fraction
se réduit à —,, où F^ est un polynôme du degré 2 {n-t-m-t-l)—2n=2m-t-2, et Q du degré n -+- m — n = m. Il nous reste à montrer, que le polynôme P„ est réductible à la forme P (z^ — 1). Pour cela nous remarquons que les équations
se vérifient encore pas deux valeurs de 2, savoir:
Si ces valeurs ne réduisent pas ^ à zéro, elles sont égales à -i- 1 et — 1, et par conséquent, y^ — L^ est divisible par (^^-+-1) (s — 1)^^3^ — 1. Mais II étant différente de zéro pour ^ = ± 1, cela suppose que dans la fraction ^, égale à ^'7vb'. le numérateur Pq contient le facteur s^ — 1, et
par conséquent,
On peut réduire à la même forme le numérateur Pq, si une des valeurs ^,__, , ^-.j.,, ou toutes les deux, vérifient l'équation ^ ^ 0. En effet.
ai 3' =
(s — ^„i if sera le diviseur commun des focctions y^ — L^, i^f, et par conséquent de celles-ci: P^, Q^. Or si l'on supprime ce facteur dans la fraction ^, et qu'on y introduise à sa place s-t- \ ou s — 1, on aura une fraction, dont les deux termes seront du même degré que ceux de Û, et le numérateur aura pour facteur 0-*-! on s — 1. Cela nous montre qu'on aura, dans tous les cas possibles, cette équation différentielle
lit à la forme
où P et § sont respectivement des degrés 2 m et m.
Comme le premier membre de cette équation a pour intégrale
-log!
nous concluons que la différentielle
sera du nombre de celles dont l'intégrale est réductible à un seul terme logarithmique de la forme log ^^^y^' ^^ -^' ^ "° facteur constant près, sera la valeur de y, et par conséquent, d'après (7), la fonction ^ doit être du degré « h- m -«- 1 et ne pourra contenir de termes avec les puissances
^""^"*, 5:"'^"'"'^ 2""^'. D'après cela la méthode ingénieuse d'Abel pour
l'intégration des différentielles de la forme %^ à l'aide d'un seul terme logarithmique nous donne 2 m équations entre les coefficients du polynôme P, ce qui est suffisant pour le déterminer; car il n'est que du degré 2 m, et un de ses coefficients peut être choisi arbitrairement. Les équations qui déterminent P sont les suivantes: 1) m conditions d'intégrabilité de y{z^ — i)P ^^ P'*^ '^ formule log ^^~p^, p étant du degré n-^-w^-^- 1; 2) m équations qu'on trouve eu égalant à zéro les coefficients de 2"'*"'",
5" *""') 2""*"' dans la valeur de p. D'après la méthode d'Abel les
conditions d'intégrabilité de y ^^?l.\)f P^i" ^^ formule log -^- y^, p étant d'un degré déterminé, ainsi que le polynôme p sont donnés en fonctions des
seuls coefficients de P; donc, pour trouver ces coefficients et la valeur dep, on n'aura qu'à résoudre un système de 2 m équations avec 2 m inconnues. La valeur de p qu'on trouve ainsi nous donne le polynôme y, & un facteur constant près, qui sera déterminé d'après (7) par la condition que le coefficient de ^"-*''""^' soit égal à A„^^^j .
De cette manière la détermination du polynôme y, et par conséquent de F (7), se réduit à la solution de 2 m équations, tandis que, d'après (8), les coefficients de ces polynômes sont donnés par un système de 2 n -h 4 équations. D'après les méthodes de l'illustre Jacobi, toutes ces recherches se simplifient notablement, dans certains cas, à l'aide des fonctions elliptiques. L'importance de l'équation différentielle que nous venons de trouver pour déterminer y se manifeste sur le cas de m^O, où cette équation s'intègre facilement et nous donne la valeur générale de y pour n quelconque. D'après cette intégrale on trouve aussi la valeur générale de y pour m =3; 1.
§ 5. Les fonctions Q et P, dans l'équation différentielle
sont, comme nous l'avons vu, respectivement du degré m et 2m. Donc, si OT = 0, ces fonctions se réduisent à des constantes, et notre équation devient
Hy
j quoi l'intégration donne
L constante G est zéro; car pour g = ±l on aura y^=±L. Donc
et par conséquent,
ï-HKi/s-i') (n-Vi^'^m
a-Vly'-L') \,-Vi,'-l}j '
ce qui donne
Pour déterminer les quantités T^etX, nous remarquons que, d'après (7), m étant zéro, le polynôme y doit être du degré « -1- 1 et avoir pour
premier terme \^^ s'*'^\ Mais dans le développemeut de la valeur trouvée de î/ le terme affecté de la plus haute puissance de :3 a cette valeur
qui ne peut être idcutique avec k^^^ 3""^^ à raoius qu'où n'ait
D'après cela nous trouvons pour l'expression de p, vérifiant les équations (8), dans le cas de m = 0, cette valeur
et par conséquent, d'après {7),
C'est ainsi que pour »î = 0, et à l'ordre h près, nous trouvons la forme générale de F qui (§ 3) détermine les différences entre los coefficients d(! la valeur approchée de fx, trouvée par son développement suivant les puissances de x — o, et celle dont la limite des erreurs dans l'intervalle x^a—k, x^a-i- h est minimum. Le cas de «î = 0 est celui où a: ^ o ne vérifie pas l'équation /'""^'{3;) = 0, n étant l'exposant de la plus haute puissance de x dans la valeur approchée de fx qu'on cherche. Dans le cas oà x^a est une racine simple de l'équation f"'^^x:=0,etpar conséquent, M=l, on trouve avec la même facilité la fonction F, exacte jusqu'aux termes de l'ordre h. En effet, pour m=l l'équation {7) nous donne
et comme Fest du degré n, nous concluons que y, outre le terme \^^s'*^'^, ne contiendra que des puissances de s moins élevées que s"'^^; parmi les polynômes de cette forme, y est celui qui s'écarte le moins de zéro dans les limiteb z = — 1, ^^-i-l Or, d'après (10), on voit que parmi tous les poljnomes, dont le teime affecté de la plus haute puissance de 3 est it„^j «"^^, le minimum des écarts a lieu pour celui-ci:
et comme dans ce polyDomc le coefficient de s"^^ est égal à 0, nous concluons que c'est la valeur cherchée de y = ^„^2 ^'"'^' — V. Donc, pour m = 1 , le polynôme F sera déterminé par cette équation
Dans le cas où m surpasse 1, la valeur de 2/ = ifc„+„^.i a"^"^' — F, et par conséquent F, peut être déterminée, comme nous l'avons vu, par un
système de 2 m équations.
C'est ainsi qu'on trouvera, dans tous les cas possibles, la fonction F exacte jusqu'aux termes de l'ordre h. Pour ce qui regarde une plus grande approximation de la valeur de F, elle ne demande que des opérations élémentaires d'Algèbre, comme nous le ferons voir dans les §§ suivants sur le cas de w^O.
Avant de passer à ces recli(Tch(!S nous nous ari'êterous un moment sur la formule (10) pour montrer le parti qu'on peut en tirer par rapport aux propriétés des fonctions entières. Nous avons trouvé cette valeur de y, en cherchant celui des polynômes du degré n-i-1 qui, ayant la forme 7i'„^^ s"~*~^ — F, s'écartait le moins de zéro dans les limites 3:^ — 1 , ,ï= -H 1. Or, lorsqm; F est un polynôme arbitraire du d<^gré n, la différence fe^|, j""^^ — F est la forme générale de tous les polynômes du degré H -+- 1, OÙ le coefficient de s^'*'^ est égal à i„^,. Donc, parmi tous ces polynômes, celui qui est donné par la formule (10) s'écarte le moins possible de zéro dans les limites s= — 1, s^=-i-\^ et comme L, désignant le maaÂmttm de ses écarts, est égal à ± -^-' (9), nous concluons que tous les autres polynômes de cette forme, depuis z^ — 1 jusqu'à 2 ^ -i- 1, présentent des écarts plus considérables, et par conséquent, leurs valeurs, comme celle de (10), ne peuvent être comprises dans des limites plus étroites que ceUes-ci:
nous déduisons le théorème :
Tiiéorème.
Le coefficient de la plus haute puissance de x d^une fonction entière
du degré l étant A, cette fonction, depuis x=^ a jusqu'à x = h, ne pourra être comprise dans les limites plus étroites que celles-ci:
§ 6. Nous avons vu dans le § 3, que si l'on cherche le polynôme du degré n, dont la limite des écarts de f{x] depuis x=a — h jusqu'à x=a-i-h est minimum, et que /■^""^'' (a) n'est pas zéro, on trouve ce polynôme égal à
où U est la somme des k -i- 1 premiers termes du développement de f{x) suivant les puissances de ic — a, et V un polynôme du degré n, détenniné par cette condition: pour a; — a^hs, F devient un polynôme qui, dans les
liraite8^ = — 1, s^-t-l^ s'écarte de A^^^ 5"'^'-i-S;jj^ fes""^^-i-
moins que tous les autres du même degré. Quant aux quantités
k^^, fc„^^,
elles sont égales respectivement à
Dans les §§ 4 et 5 nous avons cherché la valeur de F exacte jusqu'aux quantités de l'ordre h, et noua l'avons trouvée égale à
Nous allons donner à présent une méthode pour trouver le polynôme V avec une précision aussi grande qu'on le voudra.
*) Ce théorème nous conduit à pluaieura autres par rapport k la aolution dea équations, par exemple;
1) Sif(x)^^3^-t-Sx^ — ^-t-Cx^ *+■ , on trouTera entre les limitea h et h±iV±\/{h)
au moins une racine de ces deux équations: f[x)=^<),f'(x) = 0, On prendra le radical avec le aigne — ou -•-, selon que /(ft) et /' (ft) aont de même signe ou de signes contraires.
2) L'équation (x^-t-Bs^—^-^Cé—^-^ -i-Hxf—K^=0 a au moins une racine entre
les limites — 2 y'\K, -t-2 p^K.
S)h'éqas,tionse''-'-i-t-Ba^^~^-t-Ci<M~->^....-*-H3Zt.K=^0tismmoma nne raciue entre
ai+i ^/±1 « 2 ^/ 9^ — "27'"
les limitea —2V\K, -1-2/5^; c'est ainsi qu'entre les limitea — - — ô-l/'*'— ôtS-t-'S"''!
— o- -"- -5- 1/ "* — -^ lï!' -f- -5- " se trouvera nécessairement au moins une racine de l'équation
cubique x^ ■+■ ax^ -t-bx-t-c^^O.
Si l'on fait pour abréger
la valeur de Y, que nous veuoiis de trouver aux quantités de l'ordre h près, peut être mise sous cette forme
et par conséquent, sa valeur exacte sera
(12) F = È„^, 5"-^' — y H- Fo /i,
où F„ est un polynôme du degré n dont les coefficients restent finis pour ft ^ 0. D'après la propriété du polynôme V, ou trouvera ces coefficients, en clierchant à rendre minimum la limite des valeurs de
dans l'intervalle s^^ — 1, s = -t-l, ce qui suppose, comme nous l'avons vu dans le § 3, que les équations
ont « ■^- 2 racines communes entre les limites ^ ^ — 1 , ^^ t^ -1- l .
Si l'on ne tient compte que des quantités de Tordre moins élevé que^^, ces équations deviennent
(1 3) [&„, h 5"-^^ -^y-V,hf~ L,^ = 0,
(14) (5^—1) ■^[^W.ft^"2^^y-^o''] = 0.
De plus, chose très importante pour nous, ou peut remplacer la dernière équation, avec le même degré de précision, par celle-ci:
En efi'et, comme cette équation n'a pas de racines multiples (ce qu'on voit d'après la forme de y) on n'influera sur leurs valeurs numériques que
de quantités de l'ordre h, si, au premier membre de cette équation, ou ajoute le terme
h iz"^ 1) ''^^"-'-^^2^'"^"',
après quoi elle deTieudra identique avec l'équation (14). Donc, les racines de cette équation qui ne deviennent pas infinies pour fi=; 0, et par conséquent, toutes celles qui restent comprises entre les limites — 1 et -i- 1 pour h fort petit, sont données par l'égalité
avec une précision allant jusqu'au premier degré de h. Mais si dans les racines de l'équation (14), autres que a = ± 1, on fait une faute de l'ordre A, l'erreur de la valeur de
\K-^t '' ^""^' -^-y—Vo ^']' — -^^'i -
pour ces racines, est de l'ordre 7*^ ou plus élevé; car, d'après (14), sa première dérivée, pour ces valeurs de z. est zéro au moius aux quantités de l'ordre h près. Quant aux racines
pour lesquelles cette dérivée peut différer de zéro, elles sont exactes dans l'é(
Donc, aux quantités de l'ordre h^ ]irès, la valeur de Vf,h sera déterminée par la condition que n-t-'l racines de l'équation
vérifient celle-ci:
IK^^ hJ^^-i-y— V^hf — L\ = 0, qui se réduit à
tf-^'i'J (*„+, «"*'— F,) ;î-7A = 0,
si roû supprime ses termes contenant h^, et enfin à
Is'- — L,') s * 2 y" (i„^, s"-" ~V,)h = 0,
quand oq la multiplie par y. Mais, d'après ce que nous avons trouvé dans le § 5, le polynôme y, détermÏDé par la formule
vérifie l'équation if — U'={) pour toutes les racines de l'équation
L étant égal à ± -^' ; donc, pour ces valeurs de ^, on peut dans l'équation } remplacer y"' par L^, ce qui donne
(L^ — L{) y-^2h- {l„^,^ z'^-^ — F,) 1\ = 0. Or, cette équation mi peut être vérifiée par les n h- 2 racines de l'équation
que dans le cas où ces deux équations sont identiques entre elles; car elles sont du même degré « -i- 2 (ce qu'on voit en remarquant que y est du degré «-4- 1, F^ du degré w). Doue, leurs premiers membres sont égaux, à un facteur constant près, et par conséquent,
{V — 7V) y -t- 2 7.^ (fc^^, ^"-^^ — F„) h ~ C (s" — I) Jf = 0,
où G est une constante.
Mais comme y est du degré n -i- 1 , manquant du terme avec la puissance s", et que ie degré de V^ n'est pas supérieur à n, on voit que dans cette formule le coefficient de ^"'^' «e se réduit à 0 que daus le cas où
et par conséquent, L étant égal à ± -|;,''' , (15) £, = ±'^1-^.
D'après cela, l'équation précédente nous donne
Nous trouvons la coostaute ôttï) ^-^ observant que Fy ne doit pas contenir de ternie avec s"'^^. Comme dans la valeur de {z^ — 1) ■£, où
nous trouvons le tenne (ïh- 1) ft„^, s"~^^, cela suppose et par conséquent
En mettant cette valeur de ^wî *i™8 l'expression trouvée de Vf,, nous obtenons
(n-.-l)fc„+, rf^,
C'est ainsi que nous trouvons la valeur de Vg, exacte jusqu'au premier degré de h, ce qui, d'après (12), nous donne cette valeur de F, exacte jusqu'à ¥,
où, comme nous l'avons vu, y a cette valeur
§ 7. Sans nous arrêter sur cette approximation de F, nous allons montrer en général comment on trouvera sa valeur exacte jusqu'au degré A^', quand on a sa valeur aux quantités de l'ordre h' près.
Si nous dénotons par F, cette dernière valeur de F, sa valeur exacte peut être mise sous cette forme
Fj étant un polynôme du degré n, dont les coefficients restent finis pour h^O. D'après la propriété de F{§ 5), le polynôme inconnu V^ sera déterminé par la condition que les équations
a ft^ ^"-*-3 -^ , . . — Fi - F; ;>']
aient n -h 2 racines cominuues comprises entre les limites z^ — 1 et ^ == H- 1, Mais, si l'on ne tient compte que des quantités de l'ordre moins élevé que h^', on peut supprimer dans ces équations les termes qui contiennent h^\ ^''"^', h^^'^^ et présenter le reste sous cette forme
en faisant pour abréger
Quant aux équations qui déterminent Fj, valeur de F exacte seulement jusqu'à /(', nous pouvons les tirer des formules (17), en rejetant les
termes qui contiennent ft', A'"^', /î'"'*'', Ainsi, à la valeur de fe' près,
nous aurons pour
y^ = \^^ 2"-^' + li^^^ h 3""^^ -I- h^^^ ]f s"-^' -H ... M- k^^^ K~' 2"-^'— F, les équations suivantes:
dans lesquelles L^ est la valeui' de L^ exacte jusqu'à h^\ ce qui suppose l'équation
(19) L, = L,-t-lh\
En passant à la détermination de F^, nous remarquons, comme dans le § précédent, que dans les conditions qui déterminent V^}i\ aux quantités de l'ordre Jf près, la dernière des équations (17) peut être remplacée par celle-ci;
et comme dans ces conditions il ne s'agit que des racines qui restent finies pour A = 0, cette équation, à son tour, peut être remplacée par une autre de la forme
(^3— 1)ÏF=0,
W étant une fonction entière choisie de manière à ce que l'équation TF^O,
à h' près, contienne toutes les racines de l'équation -^ = 0 qui ne devienûeiit pas infimes quand on fait h^O*). Comme ces racines ne sont qu'au nombre n, car, pour h=::0, le polynôme y^, que nous considérons maintenant, devient égal àcelui trouvé dans le § 5 (10) et qui n'est que du degré »-*-!, nous concluons que le degré de l'équation W^Q peut être abaissé jusqu'à n. Dans ce cas l'équation
(z^—l) PF=0
sera du degré w -h 2, et d'après les conditions qui déterminent V^ et y^ , toutes ses « -f- 2 racines doivent vérifier ces deux équations
[î/i H- Sh' — F, h'f — L^^- 0,
la première avec une précision allant aux termes de l'ordi'e fe' , et la seconde jusqu'à h .
En mettant dans la première de ces équations la valeur L^ d'après (19) et en supprimant les ternies qui contiennent }i^\ nous obtenons l'égalité
y,^-^2y, {S— Fg) }/—L,^ — 2lLJi'^0
qui, étant multipliée par y^, nous donne
(y^^ — L^^)yy ^2y,^ {S- V^) A' — 2 XL, h'y, = 0,
équation qui, à A'' près, sera vérifiée par toutes les n h- 2 racines de l'équation
(£»— 1)TF=0.
Mais pour ces racines, à h' près, nous avons aussi l'équation
*) Voici comment on peut séparer les racines de l'équation «-i-A»=0, qui, pour ft=0, ne deviennent )jas infinies:
Si l'éqnatioa tt:=On'a pas de racines égales, les racines de l'équation u-i-kv'=0, qui ue deviennent pas infinies pour h=0, sont données par celle-ci: it-=0, avec une précision Jusqu'an premier degré de h. Pour avoir ces racines exactes jusqu'à fi', on prendra «-i-AB:^0, où B est le reste de la division de v par m; pour l'approximation jusqu'à 7»*, on prendra jt-t-hBi^O, où £[ est le reste de la division de v par u-^-IiB, et ainsi de suite. Dana le cas où l'Équation u^^O a des racines égales, la même méthode est applicable, seulement l'approximation ne va pas si
qui, étant raiiîtipliée par 2 {S — V^} h' et retranchée de l'équation que nous Tenons de trouver, nous donne, avec une précision jusqu'à h^ , l'équatiou suivante :
{y,^ ~ L,^) !/, -H 2 L," (5 - FJ ;»' — 2 X L, h^y, = 0,
ou, ce qui revient au même.
Comme cette équation, aux termes de l'ordre hr^ près, a lieu pour toutes les racines de l'équation
avec le même degré de précision, son premier membre doit être divisible par (^^ — 1) W, et par couséqueut, si on dénote par B^ et M, les restes qu'on trouve en divisant y^ h' et S^'-i-'-^^!-^^-i^P^r(^*— 1) TF,rexpression
dont les termes sont d'uu degré moins élevé que (z^ — 1) W, doit être identique avec zéro, aux quantités Jf^ près. Donc, avec ce degré d'approximation, on aura
ce qu'on peut mettre sous la forme
en dénotant par t; et r le quotient et le reste qu'on trouve eu divisant B^ par Zî(|.
Or, il n'est pas difficile de s'assurer que cette équation ne peut être vérifiée qu'en prenant
et par conséquent,
F, fe' = T.
En effet, le polynôme cherché V^ est tout au plus du degré w; la même
chose a lieu par rapport à r: cette fouction est le reste de la division de B^ par i^o, et Bf,, lui même, est le reste de la division de y^li par {f-~\) W; donc le degré de r est inférieur au moins de deux unités à celui de {b^ — 1) W, qui est du degré «h- 2. Au contraire, le reste Bu est nécessairement d'un degré plus élevé que n; car, si l'on fait A ^ 0, comme nous l'avons remarqué plus haut, le polynôme y, se réduit à y, donné par la formule (10), et alors {z^ — 1) W devient {z^ — 1) ^; mais, d'après la valeur de y, on voit que le reste de la division de y par (s^ — 1) ^ confient un terme avec la puissance s""^'.
Donc, pour trouver la fonction F^fc' exacte jusqu'à h^ , on procédera de la manière suivante : on divisera les fonctions
par (s^ — 1) W; on divisera le second reste par le premier; le reste de la dernière division est la valeur de V^ k'. On trouve facilement le polynôme F d'après la fonction F^ h', en remarquant que V^V^-i-V^ II.
Le quotient de la dernière division nous donne aussi une valeur très importante; ce quotient, que nous avons dénoté par q, est égal, comme nous l'avons vu, à. la fraction y-; par conséquent X = gi^, et d'après (19),
Nous trouvons ainsi la constante L^ de l'équation (17), qui nous donne la limite des écarts du polynôme F relativement à la fonction
k . , ^"-*-' -+- fc . , hz^-^^ -t-k„., h^z^-^^ -+■ ,
entre z^ — 1 et£;:=-i-l.
D'après la méthode que nous venons d'exposer, on peut toujours passer d'une valeur approchée de F à une autre plus précise.
§ 8. Nous allons maintenant appliquer cette méthode à la solution de cette question, très importante pour la théorie des parallélogrammes:
«Trouver les modifications qu'on doit apporter aux coefficients de la valeur approchée de fx
f(«)-H-i-° r(«)H-'-^" rw^^'-ïjf rw+fe^ f("),
«pour que cette valeur, depuis x^a — h, jusqu'à x^=a-i-'k, s'écarte le «moins possible de fxn.
Nous supposons la quaLtité h assez petite pour qu'on puisse déyelopper les corrections cherchées des coefficients suivant les puissances ascendantes de k; de plus, nous excluons le cas, où f'{x) devient zéro ])OUTX=:a.
D'après ce que nous avons dit dans le § 3, ces corrections seront données par la formule
où F, comme fonction de 0 = -—, sera déterminée par la condition de représenter un polynôme du quatrième degré, pour lequel la différence
s'écarte le moins possible de zéro depuis 3 = — 1 , jusqu'à 2 = -i-l. Les coefficients &5, feg, A:,, sont respectivement égaux à
L'équation (16) du § 6 nous donne la valeur de F exacte jusqu'à h^ sous cette forme
D'après ces formules nous trouvons
Quant à la valeur de ii qui détermine la limite des écarts de V et
de la fonction fcs^^-i-fcfl A ^^-t-fc, /i^^'-i- , d'après (15), nous obtenons
En passant à la détermination de F, exacte jusqu'à /;*, nous remar-
quons que les fonctions désignées dans le § précédent par Fj, y^, 8 ont maintenant les valeurs suivantes:
D'après les valeurs de Fj, î/j, S, la méthode du § précédeut donne
où Fj est un polynôme qu'on trouvera à l'aide des procédés suivants:
1) On cherchera l'équation du 4-ème degré qui, exacte jusqu'à h^, contient toutes lés racines de l'équation
qui restent finies, quand on fait Ji^O. Comme le reste de la division de
fte(6/— 7s^-i-^^) par ft,(5^* — ^^»-i-^) est égal à fe^^-^^^n-^ ^), d'après la note du § 7, nous concluons que l'équation qui remplit ces conditions est la suivante :
et par conséquent, la fonction que nous avons représentée dans le § précédent par Wj a cette valeur
2) On cherchera le reste de la division de y^h^ par (s^ — 1) W. Pour les valeurs de y^ et W que nous avons, et en supprimant les termes qui contiennent fe*, fe^, , on trouve ce reste égal à
3) On divisera la fonction
par (s^ — 1) W] dam le cas que nous traitons, le reste de cette division, exacte jusqu'à h*, a cette valeur
r7 k, fc, -I- ftgZ s 13 fc ft, -H 6 tfi^ , fcs t, -I- 2 ffi* "1, n
L A, ^ 16A, ^ -^ lUfc, ^>
4) On divisera ce dernier reste par le premier
Cette division fournira le quotient et le reste
36Vfc,-<-ii/c5^jfc, — V p i ■Î2k^kj--k^ j ^ 3 87 1,-^'' k,-t-10 k^kf,k, ~ àk^,^ j^^ 5
d'où l'on conclura :
1) La quantité V^h^, exacte jusqu'à h^, aura pour valeur
lt>V lo«5 64 V Slt^jj', — 3V ,j
et par conséquent, on obtiendra, avec le même degré de précision,
F=F,-HF,r = *.(|..-Ji,)H/i.(|^-!|.'-Hi)»H-F,4'
st.;"
7v;-,-t-2fc5i-67iT— V ,.,
2) La valeur de la constante L^ qui détermine la limite de la déviation du polynôme F de la fonction
}:^s'^h^hs'''^k,lâz' ■+- ,
entre ^^^l,^=:-4-l,est égale à
A (1 ->- -»î^ *') = =t îl (1 + ^5^ »■).
En multipliant la valeur trouvée de V par Iv' et remplaçant z par
'^-^, nous obtenons la formule fi '
(t^«^ -^' — 16V ){x~af
/ 5 , ,5 237c.i- — SflS \ , ^o
-4-(^ft,fe^H- y^^ ^ fe^-t- ](a;-«)^
— (ïê^^^^ -^ Va, ^"^ ) (^-«)
H- jg fcd ft" H g^^./ — ^ /r -H ,
dont les coefficients de (a; — af, (x — af, déterminent les corrections qu'on doit faire dans ceux de la valeur approchée de f(x)
/■(«) H qi) (^ «) + Ç|) (^ af ^ g^^ (X - < -H /Jgj (rc - a)S
quand on clierche h diminuer le plus possible la limite de ses erreurs entre x=a — h, x^a-t-h. Quant à la valeur de cette limite, d'après ce que nous avons trouvé relativement à V, elle est égale à L^ h^= zb ^ ( 1 h — Vf 2— ^"1 ^^■
§ 9. Jusqu'à présent nous n'avons cherché la valeur approchée des fonctions que sous la condition du minimum de la limite des erreurs dans l'intervalle donné. Mais souvent il est très important que l'erreur, pour les limites de l'intervalle, se réduise à zéro. Or, il n'est pas difficile de s'assurer que ce cas, tant que l'intervalle est assez petit, se résout aussi par les méthodes que nous venons de donner.
Soit fx une fonction dont on cherche la valeur approchée sous la forme d'un polynôme u du degré n, assujéti entre les limites x^a — y, x^a-i-y, aux conditions mentionnées plus haut. Comme la différence f{x) — u doit se réduire à zéro pour x=^a — y, a; = a h- y, il ne restera dans le
polycome « que n — 1 coefficients ai'bitraires qui, d'après la propriété du minimum que nous cherchons, seroiit déterminés par cette condition:
"Parmi les valeurs les plus grandes et les plus petites de la différence «fx — u, entre les limites x=:a — y, x = a~i-f, on trouve au moins w «fois la même valeur numérique», ce qui suppose (§ 3) que pour certaine valeur de l les équations
ont n racines communes, comprises entre les limites x^a — y, a;:=a-i-y; par conséquent, si l'on remplace ces limites par d'autres plus étendues, x = a — h, x = a-i-h, et choisies de manière à ce que pour ces limites la différence fx — m devienne égale à -i-ï ou — l, les équations
(20) (fœ — uf~l':=0, (a; — a-H/i) (a; — «— /;) ^i— =^ = 0
auront n -+- 2 racines communes entre les limites w=^a — h, x^a-\-h. Donc, pour ces limites, le polynôme U^u donne la solution des équations (2), dont nous nous sommes occupé dans les §§ précédents, et par conséquent, vice versa, la solution de ces équations nous donnera le polynôme u pour certaines valeurs de a — y, a -i- y, qu'on trouvera facilement en remarquant que, d'après la propriété du minimum cherché, les valeurs x = a — y, a;^a-Hy, comprises entre a — h, a-t-h, vérifient l'équation
fx — u = 0,
et, entre ces deux valeurs de ic, il y a w racines communes des équations
Pour montrer une application de ce que nous venons de voir, nous allons chercher le polynôme u qui, étant du degré n, donne la valeur exacte de fx = fc^|j 3:"'^' pour x = a — y, a; =^ a -h y, et ne s'écarte, entre ces limites, que le moins possible de la fonction fx = k^^^ x"^\ Pour cette valeur de fx, et p=^"-^)^^i' ~ "^ , xt=a-+-}iz, L=ji^^, les équations (20) deviennent
dont les n-t-2 racines communes seront comprises entre z= — 1, ^=-i-l. Ot,i/= "-^--^+1 — ^^ étant un polynôme du degré w-+-l, dont
le coefficient de «"*' est égal à fc^^^ , on voit, d'après (10), que cela ■ peut avoir lieu à moins qu'on n'ait
dou, en remplaçant y par -^ — j^n^z, , z par — ^, // par ^n^^i, i
obtenons
En passant à la détermination des valeurs de a — y, at-t-y, pour lesquelles ce polynôme donne le minimum cherché, nous remarquons que l'équation
a+y(x-a]^-ft^\"--' /a^^a-Zl^-^j'-ft^
qui se réduit à celle-ci:
cos (« -I- 1) ç =; 0,
quand on fait x — a = h cos ç, aura les racines suivantes:
a — ftcos„— ^-^, rt— ftcos^--^, a-t-h cos " ■ , a-t-hcos^-^.
Or, comme dans cette série on ne trouve que les deux valeurs a — A cos 2"'^) a-*- h cos o—ôi entre lesquelles sont comprises les n racines de l'équatiou
rf[W.."--'-«]^'''"--Ll 2 ) -"(- 2 ) J Q
dx dx '
qui se réduit à — --'"^tJ.5' := o pour î-^^cos 9, nous concluons que « — Y, a -•- Y ne peuvent avoir d'autres valeurs que celles-ci:
a — Y = fï — A cos '^ , a-i-Y^«H- Acos 2-^qr2'
et par conséquent, a = a, ft :=; ^i — .
'^"^ 2 tn-2
En mettant ces valeurs de a et A dans la valeur trouvée de u, l'on a
Telle est la forme générale du polynôme du degré n qui devient égal à &„^| a;""^' pour a; = a — y, ï^ot-t-y et s'écarte le moins possible de cette fonction entre ces limites, Quant à la limite de ces écarts, nous avons trouvé
donc, la constante l, qui détermine cette limite, a la valeur suivante:
Comme la dift'érence &„^, 3;""^'~«, où u est un polynôme arbitraire du degré n, est la forme générale d'une fonction entière, dont le terme affecté de la plus haute puissance de x est égal à fe„^j œ"^', les formules que nous venons de trouver nous conduisent à ce théorème:
Théorème.
Entre deux racines de Véqmtion
/"a: = ^a;""^'-i-Ba;"-i-C!c''~'-i- = 0
a; = a, ûo = h, la valeur numérique de fx ne peut rester inférieure à
En traitant de la même manière le cas de fx=pa:^-t-qx\ y étant très petit, nous trouvons, d'après les formules du §8, que, à la quantité y* près, le polynôme u du quatrième degré qui devient égal à px^-t-qx' pour a; := — y, a; = -I- y, et s'écarte le moins possible de cette fonction, entre a: ^ — y, a; ^ H- y, a la valeur suivante:
C08" 18» qy j^
Vie COB* 180 T
Quant à la limite de déviation de ce polynôme de la fonction px^-+-<ix', entre x^ — y, a; ^ -i- y, on la trouve égale à
§ 10. D'après les formules que nous venons de trouver, il est facile de déterminer les éléments les plus avantageux du parallélogramme dans tous les cas possibles. Mais ce n'est pas le seul résultat qu'on puisse tirer de nos formules. Nous avons vu qu'elles donnent certains théorèmes d'Algèbre dont la démonstration serait, peut être, impossible à l'aide des méthodes ordinaires. H y a aussi des questions de G-éometric dont la solution demande des méthodes d'approximation telles que celle dont nous nous sommes occupé.
En voici un exemple. Soient deux courbes données, l'une contenant n paramètres arbitraires qui permettent, par leur choix convenable, de disposer à volonté des abscisses de n points d'intersection de ces deux courbes dans l'intervalle x^a — A, x = a-\-h. Il est évident que, dans cet intervalle, les courbes seront plus ou moins rapprochées l'une de l'autre selon la position de leurs points d'intersection. Quel est donc la disposition des points communs des deux courbes, entre x^^a — h, a; = o -h ft, qui rende minimum la limite de leur déviation dans cet intervalle?
Cette question tient évidemment à la méthode d'approximation dont nous nous sommes occupé dans les §§ précédents. L'application qu'on peut faire ici de nos formules donne des résultats très intéressants.
Soit
l'équation de la courbe avec tous ses paramètres donnés, et
celle dont les n paramètres arbitraires sont choisis d'après la condition du minimum que nous cherchons, entre les limites x^^a — h, x = a-t-h.
Si l'on prend A^^O, la dernière courbe devient osculatrice h la première, au point x^a, et excepté certains points singuliers le contact ne sera que de l'ordre n — 1 , de sorte qu'on aura
(21) :!:^^)__^^}==à mie valeur finie,
en même temps que les équations
Fix,h) = f(x), pour a: = a, h = 0.
dF{x,h) djj^ d"-ip(a:,?t)
da;"-i
D'après cela, en supposant que les fonctions
I *■ ■'' rfœ ' rffliî ' da;» '
Fix h) ^^^^'''^ d''Fix,h] d" F{x, h)
* ' " dx ' dx^ ' (te"
restent continues dans le voisinage do A = 0, x=^a, nous concluons que, pour h assez petit, et pour une valeur de x entre les limites x = a — h, x = a-\-h, les fonctions
^' dx ' d'j? ' dx^
ne deviennent pas infinies. De plus, on peut mettre la fonction
àV'iY — y) __ d^F{x,h) â'^fix) dx" dx'^ dx"
sous la forme
en faisant pour abréger
d" Fja, o) d" f{a)
D'après cela, pour x pris entre x^=a — h et x = a-*~h, h étant assez petit, la série de Taylor noua donne
où les quantités A, B, G,. . .H, N sont indépendantes de x et dont, do plus, la dernière
d'après (21), diffère de zéro. Quant à la fonction <!)(« -h i' {x — o)), pour les valeurs de x que nous considérons, elle devient infiniment petite en même temps que h.
Cette formule nous montre que pour x entre les limites x^=a — h et a; = ((-+- A, à l'ordre de grandeur k" inclusivement près, la valeur de T—y sera égale à celle du polynôme
A -I- B (x^a) -t- C(x — af-i- . . .~i-H(x—af '-^îXTTTi'^-
et par conséquent, d'après le§ 5, le minimum cherché n'aura lieu que dans le cas, où le polynôme précédent, avec ce même degré de précision, se réduit à
ce qui suppose qu'entre les limites a; =^ a — A, x = a-t-h la valeur de Y — y a cette forme
-^ N rjx-a-i-Vlx — af — h^x" jx^n —V(x-a)^ — h''\*~\ ,,,„
Y~'J = T:^-il[ ÎH — ) +( tH — ) J^^* .
OÙ Z est une quantité qui devient infiniment petite en même temps que h.
D'après cette valeur de Y — y, les abscisses des points d'intersection des deux courbes que nous considérons sont données par l'équation suivante:
Or, si l'on fait
cette équation devient
cos ( tt 9) H ^j^ - - = 0 ,
d'où, en supprimant le terme — '■' ■j^l-" -', nous tirons
cosfn<p)=0, ce qui donne
m étant un nombre entier quelconque.
La valeur de ç que nous trouvons ainsi, en supprimant le terme
tités de l'ordre Z, car l'équation cos {Kcp)=:0 n'a pas de racines égales. D'après cela nous concluons que, aux quantités de l'ordre Zh près, les valeurs cherchées de œ seront déterminées par cette formule :
et par conséquent,
Telle est l'expression générale qui doDiie, avec une exactitude allant jusqu'à h inclusivement, les abscisses des n points d'intersection des deux courbes dans le cas de minimum que nous traitons; l'expression trouvée conduit à cette construction très simple:
«Du milieu de l'intervalle x^a — h, x:=a-\-'h, pris sur l'axe des «abscisses, avec un rayon égal à la moitié de cet intervalle, on tracera un «cercle; on inscrira dans ce cercle un polygone régulier de 2n côtés, en le «disposant de manière à ce que deux de ses côtés soient perpendiculaires à «à l'axe de x\ les sommets de ce polygone, aux quantités del'ordre Ainclu- «sivemeut près, détermineront les abscisses des points, où les deux courbes «doivent se couper pour que la limite de leur déviation, dans l'intervalle «ar^ffl — ft, x^=a-i-h soit minimum.»
Si l'on veut que les deux courbes passent par les mêmes points aux limites de l'intervalle, où l'on cherche à les rapprocher autant que possible, la même construction (§ 9) aura lieu, avec la seule différence, qu'au lien du rayon h, il faudra prendre le rayon ■ ■ - - .
Tels sont les deux résultats, qu'on tire de nos formules relativement k la. disposition des points communs de deux courbes, dans le cas où l'on cherche à rendre minimum la limite de leur déviation dans un intervalle donné; ces points sont d'une grande importance dans plusieurs questions de la pratique.
Dans les §§ suivants nous montrerons l'usage des formules que nous venons d'exposer pour trouver les éléments des parallélogrammes qui vérifient les conditions les plus avantageuses pour la précision du jeu de ces
