IRRATIONNELLES

(.Tournai de maf.hiimatiques pures et appliquées. I séviu, T. XVIII, 18&3, p. 87 — 111.)

Sur l'Intégration des différentielles irrationnelles.

Si la différentielle j^ ^^, composée d'une fraction rationnelle ^

■p^ =^j composée d'une fraction rationnelle 4^

0^ i/fla; ^0^

et d'une racine d'une fonction entière Ûx, s'intègre à l'aide des signes algébriques et logarithmiques, nous savons, d'après les recherches ingénieuses d'Abel et de M. Liouville, que l'intégrale fi^^^seprésentera sous la forme suivante:

tr-H^MogF''-H^'logF'-t-^"Iog ?'"-!- . . .,

où U, V, V', V",. . ., sont des fonctions rationnelles de x et y^ ûx; A'*, a', A'\ . . . , sont des quantités constantes.

Le terme algébrique U peut se déterminer facilement. On sait qu'il

est de la forme -^{Û x) "" , oà P et Q sont des fonctions entières que l'on trouvera à l'aide des procédés suivants *):

1°. On cherchera le plus grand commun diviseur entre les fonctions Ff^xôx Gt - d^" ' ce diviseur est le dénominateur Q du terme algébrique.

2". Si les degrés des fonctions

tient pas des facteurs d'un degré pliiâ élevé que

'} Nous supposons que la différentielle ^— —^ eat réduite de nianiùre que 6x

Qz ■ I [B,,-+'n^x-t-B^x'^'^ . . . -t-B^a-r-]

sont inférioiirs à — 1, le tcrnift algébrique est 0. Dans le cas contraire, en désignant par « le plus petit nombre supérieur au degré de ces fonctions, on trouvera le numérateur P d'après la formule

où B^, B^^ B^,. . ., B^ sont des coefficients constants, dont la valeur se <léterminera en cberchant à rendre le polynôme

/o*'— ^^ [7?, ^ 2 J5,a;-f- . . . -^nB^x'-']

divisible par -^ , et avec cette condition que le quotient ne soit pas d'un

degré plus élevé que -~^' , J) étant le plus grand commun diviseur entre les fonctions ûx et O'x.

Si ces conditions ne peuvent être remplies, on en conclura que l'intégration de -^ ^ à l'aide des signes algébriques et logarithmiques est impossible. Dans le cas contraire, on trouvera le terme algébrique, et si

l'on ôte sa différentielle de ^ ^, le reste doit devenir intégrable à

■'"^ Vdx l'aide des seuls termes logarithmiques. C'est de cette intégration que nous allons maintenant nous occuper.

Voici les questions dont nous donnerons les solutions dans ce Mémoire:

1". Déterminer le nombre de termes logarithmiques dans la valeur de l'intégrale donnée.

La solution de cette question, dans un cas particulier, donne la démonstration du théorème énoncé par M. Abel en ces termes:

«... le théorème suivant très-remarquable a lieu :

«Lorsqu'uve intégrale de la forme f^j où i^ et R sont des fonctions

entières de x, est exprimable par des logarithmes, on peut toujours l'exprimer de la manière suivante:

oit A est constant et p et q des fonctions entières de x.» (O'^uvres compl. tome I, page 65, éd. 1839).

2". Trouver les conditions analytiques qui déterminent chaque terme

On verra, en outre, d'après la solution de ces questions, quo les cas connus d'intégrabilité des différentielles binômes de la forme

a;* {a-^lx")'" dx,

sont les seuls où l'intégration de ces différentielles est possible par les signes algébriques et logarithmiques, s, s', s" étant rationnels.

Nous avons vu que les termes logarithmiques dans la valeur de l'intégrale f ^ ^— sont de la forme

A log r,

où V est une fonction rationnelle de x et ^Z Ox. Donc on faisant, pour abréger,

V~6x = A, et en désignant par

<PoW, 9i(A), %{^l 9s(A), ■■■,

des fonctions rationnelles de x et A, nous aurons l'équation suivante:

f^f = ^»log9o(A)-H^'log<p,(A}-Hnog9,(A)-H . . .,

lorsque la valeur de l'intégrale J^ x ^*^ contient plus de termes algébriques.

Si nous remplaçons dans cette équation A par aA, a^A, . . ., a™"' A, et si nous multiplions les résultats respectivement par 1, a, aV ■ -, «""', a étant racine primitive de l'équation

nous trouvons une série d'équations, dont la somme sera

«f ST = ^°MvM) ■ <P;(»i) • «'("'A) . . . «'"'(«— A)] H- A log [9, (4) . t! («A) . < (a' A) . . . Tî""' («""' A)]

et, par conséqueLt,

où PTo, Tfi, TTg,. . ., sont des fonctions de la forme

9(A)9"(aA)9"(tt3A) . . . 9-"~\a"-*A),

Afi, Aj, A^,. . ., des constantes.

C'est sous cette forme que nous allons examiner la valeur de l'îuté-

Nous commencerons par prouver que la valeur de l'intégrale [^ ~ étant réduite au minimum de termes, les coefficients A^, A^^ A^,. . ., ne peuvent vérifier l'équation

NaAa-i-N,A^~i-N^Aj-t- . . .=r=o,

dans laquelle Nq, N^, N^,. . . sont des nombres complexes de a. En effet, si cette équation a lieu, nous trouvons

et, eu substituant cette valeur de At^ dans l'expression de l'intégrale I^ T> nous la transformons dans celle-ci:

A, log W, Wo "° -t-A, log W^W, "'-*-...,

qui contient moins de termes que l'équation (1); et chacun de ces termes, comme nous allons le démontrer, peut se réduire aussi à la forme

^log[.>(A).4.''{aA).4."'(tt3A) . . . <l>-"'"'(a"-^A)],

où il" (A) est une fonction rationnelle de x et A. Pour réduire ainsi le terme

A,\ogW^W, "', noua mettons ^ sous la forme

oà n, n", n, «',..., sont des aombres entiers réels (ce qui est toujours possible). D'après cela, le ternu;

peut s'écrire ainsi:

^ls[W1.Wr°-W^-'\W;;""^'' . . .],

où la quantité mise sous le signe log se décompose en facteurs et diviseurs de la forme

et que l'on réduit à celle-ci;

9 (A) 9" (ai) ©'' (a^ i) . . . ,

en remplaçant 9 (A) par 9 (a' A).

La même forme subsiste également après la multiplication et la division de ces quantités.

Donc, à l'aide de l'équation

on peut diminuer le nombre de termes dans la valeur de l'intégi'ale f ^ -^ sans altérer leur forme principale, et, par conséquent, cette équation ne peut avoir lieu dès que la valeur de l'intégrale J"^ -^ est réduite au minimum de termes, ce que nous supposerons toujours dans nos recherches.

Soit x une valeur de x qui rende W^ égale à 0 ou 00, Il n'est pas difficile de s'assurer qu'on trouvera une puissance de x — x, dont le rapport à TF^ sera fini pour x := x', et que l'exposant de cette puissance sera en général un nombre complexe de a. En effet, la fonction TFo, comme nous l'avons vu, est égale au produit

<Po(A).%''(*'i)-9o*^(a'^) ■ ■ -.

où ipo est une fonction algébrique. Or, si l'ou développe les facteurs

?(.(A)> <Po(«A), 9i.(a'A), . ■ .

selon les puissances de x — x, et qu'on désigne par n", n', n\. . ., les exposants de a; — x dans les premiers termes, les nombres n", w', n", . . ., sont rationnels, et la somme

est l'exposant de x — x dans le premier terme du développement de TFo- D'où il suit que iV'o, étant égal au nombre complexe

le rapport %7- reste fini pour x^=x.

Soient N\, N'^,. . ., les nombres complexes qui jouent le même rôle par rapport à PF, , W^,. . . . En prenant

= ^olg(3; — a;'f °H-^jlg(2; — a:')* '-i-^lg(3; — a:'/''-+- . . ., et retranchant terme à terme de celle-ci,

nous trouvons

Le second membre de cette équation étant finie pour x^=x', nous concluons que cette valeur de x ne rend pas infinie l'intégrale

ce qui suppose que la limite de

(=" *'LïS5 x-.- — J.

pour X = x', est égale à zéro, et, par conséquent,

Cette équation nous prouve que les termes de la valeur de l'intégrale f ^ ~K ^^ peuvent devenir infinis que pour une valeur de x égale à l'une des racines de l'équation

Fx=0; car, d'après le § II, la somme

sera différente de zéro, taudis que lim j • ^^^'^ | ^'^ diffère de zéro que

dans le cas où Fx contient le facteur x — x, le facteur A ne pouvant contenir X — x qu'à un degré inférieur à 1 (§ I, note).

Cette équation nous prouve aussi que la limite de • X^^a ' P**"^ X = x', ne peut être infinie.

Supposons maintenant qu'on désigne par x, x", x"\ . . . , x"" toutes les racines de l'équation

Fx = 0,

et par K', K", K'",. . . . , K''> la valeur de

limp-yi

pour B = x\ x", x", . . . , a;*''.

L'équation que nous venons de trouver et celles qu'on obtient de ia même manière en examinant les cas où x^x", rc'", . . , , x''', pourront s'écrire ainsi :

où t+\ est le nombre de termes de la valeur de l'intégrale fv^ -^; N,!, NJ',...,N(}'K iVi', -iV,", . . . , iV^*", etc., sont les nombres complexes choisis de manière que les rapports

restent finis pour x = x, x", x"\ . . . ,a:"', et, par conséquent, pour toutes les valeurs finies de x; car, comme nous l'avons remarqué, les racines de l'équation

Fx = 0

sont les seules valeurs finies de x qui peuvent rendre les fonctions

W„ PT,, T^B, . . ., infinies ou 0.

En changeant, daus l'équation

Jjf = ^ologTFo^-^,lûgTFi-f- JjlogTFa-i- . . .,

X en —, et eu traitant le cas de ^!;= 0, nous trouvons de la même manière l'équation

(3) ^ViA, = K\

où K" est la limite de ^^ pour x=:oo, et ^^^ \x^, [t^,. . ., les degrés

des fonctions Wa, W., W„,. . .

fx Cette équation nous prouve, en outre, que la fonction -^^-^ ne peut

être d'un degré plus élevé que — 1; car, autrement,

serait infinie, ce qui ne peut avoir lieu d'après l'équation trouvée.

§ IV

Supposons maintenant qu'en désignant par M", M', M", . . ., les nombres complexes de a, on cherche à vérifier les équations de la forme

et que l'on ne trouve que X équations de cette forme qui ne soient pas identiques entre elles par rapport à K'^, K\ K", . . . , £'''.

D'après ces équations, on pourra évidemment exprimer X quantités de la série