Z", K', K", . . . IC

en fonctions linéaires des autres, et ces fonctions auront pour coefficients des nombres complexes de a. Supposons donc qu'on parvienne a trouver

Comme les quantités K", K', K'\. . ., 7l''* uc peuv(mt vérifier plus de X équatiOES différentes de la forme

les quantités

prises séparément de

ne pourront vérifier une équation de cette forme; car, autrement, cette

équation et les X équations (4), évidemment non identiques entre elles, donneraient A -t- 1 équations de la forme (5), ce qui est contraire à la supposition.

D'après cela, il est facile de s'assurer que le nombre de termes, dans la valeur de l'intégrale J^^, ne peut être au-dessous de ? — X-v 1; car, dans ce cas, le nombre des coefficients

serait aussi moindre que l — X -h 1 ; et alore les / — X -i- 1 équations dernières de la série (2), après l'élimination de ces coefficients, donneraient au moins une équation entre K'-^\ ^'^"^",. . ., X''' qui serait de la forme (5), ce qui est impossible.

Le même résultat aurait lieu si Tune de l — X -i- 1 dernières équations (2) était identique aux autres par rapport à toutes les quantités A^j, Al, A^,. ■ ■ Donc, au moyen de ces équations, il est possible de trouver l — X -I- 1 quantités de la série

en fonctions des autres et des quantités K^\ K'^"^",. . ., K'-^ ces fonctions seront linéaires et auront pour coefficients des nombres complexes de a. Supposons qu'on parvienne ainsi à trouver les quantités

Ai,, ^1, . - ., -4,-i+,,

et qu'on porte leurs valeurs dans l'équation

Après cette substitution 'la valeur de l'intégrale jT^y contiendra plusieurs termes avec les coefficieuts

Mais si l'on rassemble dans uu seul tenue tout ce qui contient le même coefficient, ou n'aura que l termes, dont la forme générale sera

^«log^ ou ^;logZ, et dans lesquels

«1 Pi A

z=wj^\w^'^'.wj^% . . .,

Pg, P,, Pj,. . ., $u, Q^, Q^,. . -, étant des nombres complexes de a. Or, d'après ce que nous avons montré au§ II, il est certain que, quelque compliquée que soit la forme de ces termes, ils pourront être réduits à une forme telle que celle-ci:

^^logir ou flogPF,

où n est un nombre entier réel, et W une fonction de la forme

<\>{A).<\>''iaA).'\>"io?A) . . . 41'""' (a^-^A).

Donc, après la substitution dont nous venons de parler, la forme principale des termes n'est pas altérée; mais les l — X-t- 1 coefficients

-^Ol -^u - - - ) -^i-l

sont remplacés par

où w„, Wi, n^,. . ., î?;j^ sont des nombres entiers réels.

Dans la suite, nous supposerons toujours que cette transformation à été faite; et par conséquent, dans l'équation

nous prendrons

OÙ »o, «,, «i,;. . ., «,j sont des nombres entiers réels.

Jusqu'à présent nous n'avons rien dit sur la forme dos fonctions

9o(A), fjA), . . ., qui entrent dans la composition de W,,, W, ,. . ., et qui sont rationnelles par rapport à a; et A; dans ce qui suit, nous les supposerons réduites à la forme la plus simple, c'est-à-dire

X, -I- X, A -^ X, Aî -I

oùX(i, Xp X^,. . ., X^^, Tsont des fonctions entières de x. De plus, le dénominateur Y se détruit dans la valeur de

PF = 9(A).9"(aA).<(a^A) . . . 9"'""^(a"'-' A),

à cause de l'égalité

nous pouvons prendre Y^l.

Les équations (2), (3), (4) et (6), par i'élimiuation de

K\ K', K", . . ., K«>, nous donneut

ni^A,y = '^N«>A

où les nombres complexes désigaés par Jl// sont déterminés par les équations (4J, qui doimont K\K',K",...,K^^~'^ en fonction de }^^\K^^-*-'\...,JC'*; les nombres complexes désignés par N^'' sont inconnus et jouissent, comme nous l'avons vu, de cette propriété que le rapport

reste fini pour toutes les valeurs finies de a:; le nombre désigné par ^. détermine le degré de la fonction W^. Quant aux quantités «(,, «j,. . ., »;^, ce sont des nombres entiers réels, également inconnus. Or, comme les coefficients

ne peuvent vérifier aucune équation de la forme

Nç,, N^, N^,. . ., étant des nombres complexes de a, les équations que nous venons de trouver doivent être identiques par rapport à Jo, A^, A^,. . ., ce qui suppose les égalités suivantes:

NP-> = 0, iV/'-+" — 0, ... , Nf'-^'-'^ = 0, A^/"^" = n,., jV.('+.+i) = 0, . . ., iV/=0 pour «^0,1,2,...,/ — X, et

p.. = 0, iV; == 0, Nf ^ 0, Nf" = 0, . . .

pour «>■ ï — ?..

D'après cela, en ayant égard au rapport qui existe entre la fonction Wf et les nombres [J.;, N^', N^'\ . . . , nous concluons:

1". Toutes les fonctions IF,i+i, I^i-i+a, "FFi w37- ■ • sont dudegréO, et aucune valeur de x ne peut les réduire à zéro ou à infini.

2". Pour * = 0, 1, 2,. . ., l — \, le degré de W^ est M°n^; et la fonction dont le rapport à W^ reste fini, tant que x n'est pas infini, se présente sous cette forme:

lix—x) \(x—x) ' .(x—x) ' ...{a; — X** '*) ' . (ff— a:'*^")J ' expressiou où il ne reste d'inconnu que le nombre entier et réel n..

Telles sont les propriétés des fonctions

Wo, W,, W^, W^,.. .,

qui entrent dans l'équation

f ^ 5 = ^0 log Wo -H A, log ÏT, M- ^3 log Tî'; H- . . . ,

quand cette équation se trouve transformée par la méthode que nods avons donnée au § IV. De plus, les équations (6) nous donnent l'égalité

i étant égal à 0, 1, 2,. . ., l — X.