VI

D'après ce, que nous venons de trouver par rapport aux fonctions

il n'est pas diflicile de s'assurer qu'elles se réduisent à des quantités cuustantes.

En effet, si la fonction W ne devient ni 0 ni oo pour x^a, l'exposant de ic — a dans le premier terme du développement de W, selon les puissances de a; — o, doit être zéro. Or, pour

pr=tp(A).o''(aA).<p°^(i^A). . .9='"'"\a'"-'A),

cet exposant (§ II) est égal à la somme

où n^, ii\ n", . . , «""~" sont des nombres réels rationnels, désignant le degré de a; — a dans les premiers termes du développement de

et a une ratine primitive de l'équation

Or cette somme ne peut se réduire à zéro, à moins qu'on n'ait

c'est-à-dire à moins que le développement de

ç (A), ?(aA), o(a*A), ..., cp (k""^' A)

ne contienne dans ses premiers termes la même puissance rie x — a; et alors nous trouvons que pour a: = «, g et ^ étant des nombres entiers, le

Donc, si la fonction W reste finie pour toutes les valeurs finies de x, la même chose doit avoir lieu pour la fraction —■»■.■!•

De la même manière on parvient à conclure que le degré de la fonction ''' "^ ' est 0 et, par conséquent, qu'elle reste finie pour a: = oo.

D'après cela, nous trouvons que le produit

reste fini pour toutes les valeurs de x.

Mais ce produit se réduit à ^—-^ — , où S est une fonction entière de X qui ne dépend pas de a; car

S=(p(A).(p(«A).tp{a*A). ..(p(«"-^A)

est une fonction symétrique des racines de l'équation

A*" = à une fonction entière,

et fp{A), comme nous avons vu, est une fonction entière de x et A. Quant à qj"' (a'' A), cette fonction sera évidemment de même forme que cp (A). {Voir § IV).

Donc, en faisant

(7) s:w = 4,(»fA),

nous trouvons que ^ (VA) est une fonction déterminée par l'équation

OÙ S, Xa, Zj, Zg.. . ,, X^__^ sont des fonctions entières de x, — qui reste finie pour toutes les valeurs de x. Or nous allons prouver que cela ne peut avoir lieu, à moins que tous les termes de la valeur de ^ («''A) ne soient constants.

En effet, d'après la valeur de <^ (a^i), pour i < m, nous trouvons

41 (a^ A) -+- «-* i[j (a*^' i) H- «-"■ (Jj {aP+^ A) -f- . . . -f- a-''"-'"9 (a'+"'-^ A)

= w Ç A*, et, par conséqueiit,

Le premier memlire de cette équation étant composé de la fonction i]/ reste fini pour toutes les valeurs de te; mais le second «*"'{-^) A"", tant qu'on ne le suppose pas constant, sera infini ou pour certaines valeurs de X ou bienpoura;^oo, selon que la fonction rationnelle »>'^{-é] ^"" se réduira à une fraction simple ou à une fonction entière.

Donc on ne pourra supposer aucun terme de la fonction i|/ (k^ A) variahle, et par conséquent, d'après (7), on aura

où G est une constante et S une fonction qui ne dépend pas de aP. Or, si l'on forme, d'après cette équation, les valeurs des fonctions

ç(A), 9 (a A), cp(a^A),..., 9 (a^-^),

et qu'on les porte dans la formule

Tf — (p (A) . tp° (a A) . (?"' {ofl A) . . . 9""~* («""' A), on trouve

Mais la somme

se réduit à 0; donc W a une valeur constante.

§ vn.

Ayant démontré que dans la valeur de l'intégrale j ^-| toutes les fonctions

ne peuvent être que des constantes, nous eu déduisons que les seuls termes variables sont

et comme, d'après (6), les coefficieuts de ces termes sont de la forme

où n^ est un nombre entier, nous concluons que leur nombre ne peut surpasser celui des termes de la série

K°, K\ K'\ . . . , ff <",

différents de zéro.

En remarquant que l est le nombre des racines de l'équation

et que

se réduit à, 0, si le degré de ^p—. est inférieur à — 1 , nous parvenons à établir les théorèmes suivants :

Théorèiue I. — Soient ~- une fraction rationnelle, 0 x un polynôme dont les fadeurs sont d'un degré moins élevé que m. Si la valeur de l'intégrale fp S" "^ contient que les termes logarithmiques, Vintégrale \^~i est égale à une somme de termes de la forme suivante:

A log [tp (Vûx) . tp" (a yox) . tp"' (a^ Vox) . . . 9"""' (a"-' V ''>a;) J'

où 9 (v'êî) (^st une fonction entière de x et ^ôS, « ^si une racine primitive de Véqmtion

d le nombre de ces termes, suffisants pour dmner la valeur de Vintégrale r~^-§^, ne surpassera pas le degré de Fx, la fonction -^ — étant d^un

degré moindre que — 1; doâis le cas contraire, le nombre de ces termes ne

surpassera le degré de Fx que d^une unité.

Dans le cas où Fx= 1, le théorème précédent se réduit à celui-ci: Tbéorènie U. — Les fonctions fx, 6 X àant entières, si 0 x ne contient

que des fadeurs de degrés inférieurs à m, Vintégrale \ ~ dx s'exprimant d'ailleurs par les seuls termes logarithmiques, sera réductible à la formule

A log [tp {Yox) . ip' (a Vox) . <f (a^ Vox) . . . 9''""'(a"~^ Vox)} ■

où 9 {'pèx) esi une fonction entière de x et y'éî, et a est une racine primitive de l'équation

ic" — 1 = 0.

Dans le cas de »i^2, nous obtenons le théorème d'Abel, cité dans le § I.

Tbéorème III. L'intégrale f ^ dx n'est pas réductible aux fonctions

algébrique et logarithmique, si Ox rCapas de facteur multiple d'un degré flus élevé que m — 1 , et si la fonction fx est d'un degré moins élevé que

En effet, si l'on suppose que f^ dx soit réductible aux fonctions

algébrique et logarithmique, d'après le § 1, on parvient à conclure que sa valeur n'a point de terme algébrique. La même chose a lieu par rapport aux termes logarithmiques; car la différentielle ^^ dx n'a pour dénominateur que y'ôi, et le degré de ^ est moins élevé que — 1 : mais dans ce cas, d'après le théorème I, le nombre de termes logarithmiques suffisant pour

donner la valeur de \ i~ dx est 0. Donc, si l'on suppose que l'intégrale

■' Vbx

1 - — dx est réductible aux fonctions algébrique et logarithmique, on sera

■' Vëx

forcé de conclure que sa valeur est une constante.

Dans le cas de m ^ 2, cela se réduit au théorème donné par M. Lionville.

§vm.

A l'aide des théorèmes que nous venons de donner, on peut résoudre eutièremeut la question de l'intégration en termes algébriques et logarithmiques des différentielles binômes

x' {a-t-bx"}*" dx,

où s, s', s" sont des nombres rationnels.

L'iiitégraic de ces différentidles se réduit facilement à la forme

\ x^-' {1 -I- xY dx,

où p, q, m, m' sout des nombres entiers et 3 > 0, et l'on trouve, par lea méthodes connues, la valeur de cette intégrale, si l'une des deux quantités |- ^-t-^ est un nombre entier. Dans le cas contraire, cette intégrale se réduit à la forme

où C/fl est une fonction algébrique, p est le plus petit nombre positif congru à^ selon le module g, et m" le plus petit nombre congru à — m selon le module m, ce qui suppose

Pour trouver le terme algébrique dans la valeur de l'intégrale f ^ dx,

d'après le § I, on cherche le plus grand commun diviseur entre lea fonctions {l-f-x''f" et '''^X^'" ■ Ce diviseur étant {l-t-x''f'~\ on conclut que le terme algébrique doit avoir pour dénominateur la fonction

(l-HiC*)™""'.

Mais, en examinant les fonctions

aP'-l(l-,-a;g)''"--^ (1 -I- x9f"-^

où, comme nous avons vu, p < 3, m" < m, p' > 0, on trouve que leur degré est au-dessous de — 1; ce qui, d'après le § I, prouve qu'il n'y a pas de terme algébrique dans la valeur de l'intégrale f ^, dx.

, C je''"'

1 intégrale ^, t

Donc il ne reste plus qu'à cliercher l'expression de sa valeur à l'aide des seuls termes logarithmiques. Mais une telle expression, d'après le § UI,

n'est possible que dans le cas où le degré de ^, ne se trouve pas

(1-1- itï)"" au-dessus de — 1, et, en vertu du dernier théorème que nous venons de démontrer, ce degré ne doit pas être au dessous de — 1. Par conséquent,

7 dx, à l'aide des termes algébriques et loga- (i-t-afl)""

rithmiques n est pas possible, à moins que la fonction ■ ^. ne soit

précisément du degré — 1 ; ce qui (mtraine cette équation entre les exposants y, g, — :

Mais en passant aux nombres p et m', dont le premier est congru kp' selon le module q et le second à — m" selon le module m, nous trouvons que l'équation précédente suppose que - -i- — est un nombre entier. Donc, outre ce cas et celui où p est divisible par q, l'intégrale

ja^-' {l-i-x''fdx

représente une transcendante particulière ; c'est ce qu'il s'agissait de démontrer pour être sur que les méthodes ordinaires de l'intégration des différentielles binômes avec les exposants rationnels, comprennent tous les cas où cette intégration est possible en termes algébriques et logarithmiques.