IX

D'après ce que nous avons trouvé dans les §§ IV, V et VI, on conclut qu'en général le nombre de termes logarithmiques qui suffit pour donner la valeur de l'intégrale f^-^ est ï — X-t- 1, où l indique le degré

r fx dx J ~Fx A

de F x,&i\ le nombre des équations (4). De plus, nous avons vu que l'intégrale J^-^ peut être réduite de manière que, dans l'équation

Jft? = 4.1ogin-*-AlogTF,H-^,logTF,-H...,

tous les termes soient de la forme

où n^ est un nombre entier non c

est du degré M^. n^, et, pour toutes les valeurs finies de x, reste en rapport fini avec la fonction

r M/ Ml" Mi'" Mp—^'> "1»(

\{x^x) .{x—x") (x—x") ...(a;— a^-") . (a;— iB<*-^")J ■

Quant aux nombres ilf^, M^, il//', ilf/", ..., iIf/^~''', ils sont connus d'après les équations (4).

Il n'est pas difficile de s'assurer que, d'après cela, chaque terme de la valeur de l'intégrale f^^-x ''''^^ complètement déterminé, c'est-à-dire que si l'on trouve les nombres

et les fonctions

qui puissent remplir les conditions mentionnées, la somme

-^ log TFo -t — ^— 'og 1^1 H — ^ — log Jr^ -I- . . . -+- ^— : log Ir ,^

sera la valeur de l'intégrale f^-x» lorsque celle-ci peut être exprimée à l'aide des termes logarithmiques.

En effet, si cette somme n'est pas la valeur de l'intégrale J^-^, s que

Bo log W\ B, log W, B^ log W", ..., B. log TF''»

soient les termes qu'il faut ajouter à celle-là pour la rendre égale ^ [ ^ x* On aura

C fxdx J Fx à

^log PTo-i--^ log fFi-^--^ log TTj H- ..,-+- ^^^ log W[^ -H l?o log F^H- 5^ log PT' -+- B^ log T'F" H- . . , -i- B, log W-'K

Pour cette valeur de l'intégrale J-^-^ les équations (2) et (3) donnent

où v^., P/, P^", P^"' ... , pf^ sont les nombres complexes de a qui jouent le même rôle par rapport à la fonction W-*' que les nombres [a^, A',', ^j", ^,-"', ... , A',.''' par rapport à la fonction W^.

Mais pour les valeurs trouvées de [j,^, JV/, J/'/', ^/", ... , JV/^' (§ V), on a, comme il n'est pas difficile de s'en assurer, les égalités suivantes ;

Par conséquent, les équations précédentes donnent

qui doivent être identiques par rapport à 5^, i?^, iîj, ... , B^, lorsque la Bo log W-t-B, log PF' -4- B, log W"-i- . . . -t- B, log TF"'

est réduite au plus petit nombre de termes (§ II). Donc on aura

v. = 0, P/=0, P/'=0,..., ^,.'"=0, ce qui, d'après le § VI, nous fait conclure que chacun des termes

B, log TFo, -Si log W^, B, log TF,, . . . , B^ log W^ ne peut être que coustant.

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