UNE RACINE CARRÉE D'UN POLYNOME DU TROISIEME 00 DO QOATRIÉHE DEGRÉ
(Mémoires de l'Acadéinie Impériale des Kcienocs de St.-Pétersliourg. Sixii^mc Sciences matiiématic[ues et physiques. Tome VI, 1857, p. ii03— 232.)
(Lu le sa janvier 185i.)
Sup l'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré.
Dans le Mémoire Siir l'intégration des différentielles irrationnelles, publié en 1853 dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées àe M. Liouyille, nous avons donué une méthode pour trouver la partie algébrique de l'intégrale f ^ -^, eu la supposant exprimable sous forme
finie, et déterminer séparément tous les termes logarithmiques à l'aide de certaines conditions qu'ils doivent vérifier. A présent, nous allons montrer comment on peut trouver, d'après ces conditions, les termes logarithmiques dans le cas le plus simple et le plus intéressant, savoir, celui où la différentielle contient une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré. Faute de méthode générale, on ne connaît que des cas très particuliers, où une pareille différentielle s'intègre sous forme finie; dans plusieurs autres cas, pour lesquels cette intégration a aussi lieu, on n'y parvient qu'en essayant différentes transformations, et le plus souvent on renonce à l'idée de chercher l'intégrale après avoir fait beaucoup de tentatives sans succès. Or, d'après nos recherches citées plus haut, les méthodes particulières et les essais de différentes transformations qu'on emploie dans cette intégration, seront remplacés par une méthode générale et directe dès qu'on sera parvenu à définir les termes logarithmiques dans la valeur de f à^ -;-—.■--■:-— ''...=: d'après les conditions que nous avons trouvées pour leur détermination. C'est ce que nous allons faire ici, en donnant la méthode, d'après laquelle la recherche de ces termes se réduit toujours à cette question résolue par Abel:
«Trouver toutes les différentielles de la forme ^, où p et J? sont des
«fonctions entières de 3;, dont les intégrales puissent s'exprimer paruiiefor- «mule de la forme log ^-^r^- {Oeuvres compl. T. I, pag. 33, éd. 1839).
Cette intégration sera donc due à Abel aussi bien par le principe fondamental, d'où nous sommes partis dans nos reclierches sur l'intégration des différentielles irrationnelles, que par la méthode de résoudre la question citée, à laquelle se réduit finalement la détermination des termes logarithmiques dans la valeur de [ ^ — ''^ =^ . Ainsi, nos reclierches,
comme noua nous plaisons à le croire, rempliront, sous un certain rapport, une lacune qui restait entre les Mémoires de ce grand Géomètre, où il donne la forme générale des intégrales des différentielles algébriques, en tant qu'elles sont possibles sous forme finie, et ceux où il cherche leur valeur, en faisant une hypothèse particulière.
La réduction de nos équations, dont nous venons de parler, est indispensable aussi pour simplifier l'intégration des différentielles plus compliquées. Quant aux différentielles qui ne contiennent sous le signe du radical carré qu'une fonction du premier ou du second degré, cette réduction conduit immédiatement à trouver la partie logarithmique de leurs intégrales. Outre cela, cette réduction est remarquable par différents résultats relatifs à la nature des intégrales qu'on peut en tirer, et cela nous fournit un rapprochement très intéressant de la construction des valeurs irrationnelles avec la règle et le compas et l'intégration des différentielles sous forme finie. Ainsi on verra que, la somme des nombres n^, n, «",.-.. étant impaire, l'intégrale
où nous avons fait pour abréger A (a;) = V ai* -i- ^x^ -t- -^x^ -v-hx-t-\ ne peut être exprimée sous forme finie, si d'après les quantités
et à l'aide de la règle et du compas, ou ne peut construire aucune des racines de l'équation
a^ -I- pa^ -H Y^;^ -H Sa; -H X = 0.
Par exemple, on reconnaît que les intégrales
i ya^-^2a^8a;-+-9 '^^' J
y il* -I- 2!c2 .
etc., etc.,
=^ dx,
sont impossibles sous forme finie, parce qu'à l'aide de la règle et du compas on ne peut pas iuscrire dans le cercle un polygone régulier de 7 côtés, ce qui est nécessaire pour la construction des raciues de l'équatioii x^-^ix^ — 8iC -1-9 = 0.
II y a d'autres questions de l'Aualyse transcendante, où la même méthode de réduction peut être ayantageiiseraent employée, savoir, quand on cherche à exprimer la somme des intégrales
] <i,ix-t-^,y^x] n.x-t-^.Vdx
par une somme d'un nombre déterminé d'intégrales semblables, en y ajoutant une certaine fonction algébrique et logarithmique.
Enfin, cette même méthode, appliquée aux nombres, nous donne un procédé à l'aide duquel on trouvera la représentation d'un nombre donné par la forme s^ — ny^, toutes les fois que ce nombre peut être mis sous cette forme et qu'on connaît la valeur de x. pour laquelle la forme s? — n est divisible par ce nombre. Dans le cas de « = — 1 , cela se réduit à la méthode ingénieuse que M. Hermite a employée pour démontrer que tous les nombres premiers de la forme 4ft -h 1 sont toujours décomposables en une somme de deux carrés, et pour effectuer en même temps cette décoraposition.
Si dans les formules de notre Mémoire, cité plus haut, on fait
m = 2, ^ = -V Ox = V Ox,
on trouve que l'équation
ic"* — 1 = 0,
dont l'une des racines primitives nous a servi pour composer des nombres complexes, se réduit à a^ — 1 ^ 0, et comme la racine primitive de cette équation est égale à — 1, les nombres complexes que nous avons d par
M/, Ml, M/',
deviennent réels et rationnels. De plus, la forme générale des termes 1 rithmiques
A log [9(A).ç"(aA).9"'(a^A). . .9"""' («"-'A)],
à cause de m = 2, A ^ V l'ya;, devient
^log [<f{V0x).<f-^ {-Vax)] = Al«g jje^|,
et comme 9 est une fonction entière, on aura
^(yûx)=x^i-i-xyâx, 9 (—yûx)=Xo-~xyûx,
où Xf,, X sont des fonctions entières.
Donc, les termes logarithmiques, dans la valeur de l'intégrale J s'écriront ainsi:
Fa; dx
En cherchant à déterminer ces termes, nous avons trouvé que le coefficient A sera égal à une valeur connue, divisée par un nombre entier inconnu.
sera exprimé par le produit n^.M^, où M^ est une valeur connue. De plus, cette fonction, pour toutes les valeurs finies de a:, sera en rapport fini avec la puissance n^^ de la fonction
dans le cas que nous examinons, sont réels et rationnels. En passant à la détermination des inconnus Kj, X^, X, nous remarquons que n^ doit être susceptible de réduire les produits
«,.M(^ n.Mf, ïifM", tifMf", n.Ml^^'^
à des nombres entiers: car le produit «^ ilf/ désigne le degré de °^y ,-, qui ne peut être fractionnaire, X,,, X étant des fonctions entières; ia même chose a lieu relativement aux produits
w,.3//, n^M", n^Mf" . . .n^M^~'^\
qui sont égaux aux exposants de x — x\ x — x", x — x", . . .x — iï;'^"^' dans les premiers termes du développement de y'^^-y-^ suivant les puissances croissantes de x — x', x — x", x — x'" . . .x- — ic'^"^'. Donc, n,. doit être divisible par le plus petit dénominateur, auquel les quantités
M.", Mf, M^'. ..If/^''
peuvent être réduites, et par conséquent, si l'on désigue ce dénominateur par <T, et le quotient n^ : a par -i- p ou — p, on aura
où nous prendrons celui des deux signes qui appartient à la valeur de M^". D'après cela, n^M^, le degré de ^^y ,^, sera exprimé par -^gM^i}, où dz o- M^ se réduira à un nombre entier et positif. En dénotant ce nombre par TC, et désignant, d'après la notation d'Abel, le degré de ^"^-^^^^ par S x^xyf)x'> ^'^^^ aurons, relativement à p, cette équation
1 rapport fini avec la fonction ^-zLx /^'< ^° '^'ertu de n^ ^ ± ps, elle se
Quant à la fonction qui, pour toutes les valeurs finies de 3;, reste dans ■appor réduit à
et comme les produits o-Jf/, ^M" (7 3//*~^*, d'après la propriété du
nombre c, se réduisent à des nombres entiers, la fonction
lix-d)"' .(x-x'f" .(x-x"f'" . . .(i-x*-')"'""". (a^-x»*")]-'
sera rationnelle. Donc, si nous faisons, pour abréger,
\(x-xf' . (x-x''f'' . (x-J'f" . . . (ï-x»->)*'"" . (^xO^%~\l i ;
OÙ tt, V sont des fonctions entières, et que nous convenons de désigner par la lettre T toutes les fonctions qui restent finies, tant que x n'est pas infini, la propriété de la fonction x^x-^^x ^^ <ï"^stion sera exprimée par cette équation
2o — xve*" U/ ' C'est d'après cette équation, combinée avec la suivante:
que nous devons chercher le nombre p et les fonctions Zp et X
Ces équations seront le plus souvent très compliquées à cause du degré
élevé des fonctious u et v, et de la valeur considérable de ■n. Or, uous allons montrer qu'on peut les réduire à la forme, où le degré de uv, plus le nombre tc, sera au-dessous du degré de Vùx.
Il n'est pas difficile de s'assurer, que û^, 6^ étant deux fonctious entières dont le produit est égal à Ox^ et ^ et g des fonctions entières quel-
en choisissant convenablement les fonctions entières P^ et Q^,. En eftet, le quotient
Xq -I- X y' Ox , /p y' Si -♦- g V Qa^e
(Xo — xyeic) (i.y ei-(-gyej)p~(X'o — -ïvex) (jiei-i-gy oa;)p'
expression qu'on peut mettre sous la forme -p~QY^i eu dénotant par P,, la partie rationnelle du produit {X^-^-X. Vûx) {pO^ — q VOxf, et par Qo Vôx celle qui a pour facteur Vax.
Mais, si l'on substitue dans les équations
,,. X)-i-zye« m/"\p î Xç,-i-xvf)x
^^ P^«^"^* (pyel-gyt)' Po-qI^^ * '^ P'**^^ "^^ il-xlt^ ^"^^ ^^ déduisent à celles-ci
et si les fonctions ^ et g sont choisies de manière à ce qu'elles vérifient les
équations
pV^i-t-qVh ii 1^ . ? jj y 6i -*- g y flg
pye, — gyôj i> *m" "^ p-^\ — qVb^ "
les équations qui déterminent les nouvelles inconnues P,, et Q,, deviennent
Ces équations seront plus on moins simples selon les valeurs de p et de2,qii'on emploiera dans la réduction dont nous venons de parler. Or, nous allons montrer que dans les équations réduites (2) la somme dn degré de u'v et de la valeur numérique de ;: — tc^ sera au-dessous du degré de V^a;, si l'on prend pouri? et q des fonctions qu'on trouve de la manière suivante:
1) On cherche une fonction entière S, pour laquelle les fractions 1 2^ ! 2 Qg deviennent pas innnies, tant que x reste nm.
2) On développe i en fraction continue, et parmi les fractions réduites on trouve une fraction dont le dénominateur est d'un degré moins élevé que "l/" '.^ ; mais qui est suivie d'une fraction dont le dénominateur est d'un degré plus élevé que "l/"" ' .'j^ ■ .
3) En dénotant cette fraction par -^, on prend
(3) 2 = -^, p~SN—Muv.
En effet, d'après les équations (3) et la propriété de !a fonction S, on voit que les expressions
jiyfli-4-gyO; pY ^i — qV Oj
restent finies pour toutes les valeurs finies de x. Donc, si l'on dénote par
les valeurs de x qui rendent ces expressions égales à zéro, et par
f, fj, fi, 1 9, .9,, ?2. !
les exposants de
X — a, X — ffj, X — aj, ,
rc — p, rc — (3j, x — %,
dans leurs développements suivant les puissances croissantes de ces différences, on aura
^}l?L^l2l^ = Tja:-a/(^-ayi(^-«/^ ;
Pl^J^Zll^=,T,ix-^fix~--^;f^ix-^,f^ ;
où r, , Tj désignent des fonctions qui restent finies pour toutes les valeurs finies de x.
Mais corame les ex^o&&ntsd(ix—a.,x—ai,x—a2,....,x—^,x—^,,x—^^,.... dans les développements de ^^ ''*"^ — -,, ~ — î-^^ — -^ ne peuvent contenir d'autres fractions que -j , ces équations se réduiront à cette forme
où «', v, w, w\ sont des fonctions entières, dont les deux dernières ne contiennent que des facteurs simples. Par la multiplication de ces équations nous trouvons
p*ei — g'et ^ rp rp
Cette équation prouve évidemment, que T^T^ est une constante; car, d'après la propriété des fonctions T,, 1\, leur produit ne devient ni zéro ni infini pour x fini, tandis que cette équation montre que le carré de Tj T^ est une traction rationnelle F--~l ' ; qui ne peut rester finie pour toutes les valeurs finies de x, à moins qu'elle ne se réduise à une constante. Donc
y, T^ = (', et par conséquent l'équation précédente devient
Or cette égalité suppose que w w est un carré parfait, et comme les fonctions w, w n'ont que des facteurs simples, cela ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait
D'après cela, en divisant les équations (4) l'une par l'autre, on trouve
en mettant, pour abréger, 2' à la place de ^.
Il nous reste maintenant à prouver que si l'on fait
5 j) y e, -»- g y e, '^'^^^yôprfyy;.
la somme de S (uv) et de la valeur numérique de tc — iCj sera au-dessous de S Yûx. Or, selon que tc — tc, est positif ou négatif, cette somme sera égale à 8 (u y') -h it — TCj ou à S {«' v) — ii -i- tîj . Nous allons montrer que ces deux quantités sont effectivement plus petites que BVfJx, tant que ^ et g sont déterminés comme nous l'avons dit.
Pour s'en assurer, nous remarquons qu'après la substitution de
''' pYbi — qVUt '
^ ' pV if-i-qy % ' ■• ' pV Oi—qV dj
Mais, d'après l'équation (5), nous trouvons
Donc, les quantités précédentes sont égales ou inférieures à celles-ci
Mais la première de ces quantités, par la substitution des valeurs de ^ et g d'après (3), devient
quantité qui est au-dessous de 5 yOx, tant que j^ , dans la série des fractions
réduites do '- , est suivie par une fraction dont le dénominateur est
d'un degré plus élevé que T/^.p'.'-— . Quant h la seconde quantité, nous remarquons qu'elle peut être mise sous cette forme
et par conséquent, qu'elle ne surpasse pas au moins l'une de ces deux valeurs
L '' "f J \ yuv J
28«;^'a;-î = 8y»-25.J-l/"-îV^,
V UV q y T ta
Mais comme nous venons de trouver que 2S^ — L-i — ?x^ est plus petit que ^Vûx, et que nous avons pris q = N, d'un degré moins élevé que , il s'en suit que ces deux quantités sont au-dessous de 5 Vûx.
Yt)x
Ainsi l'on parvient à s'assurer que les valeurs de p et q, déterminées d'après la méthode énoncée, sont effectivement susceptibles de réduire par la substitution
les équations
à ces autres
-XVOx~
= Trp,
T " V. s -^0 -*- Vu '"^ /„ ~ 1 ^■
où la somme du degré de u'v, plus la valeur numérique de -ir — Hj, est audessous du degré de Vax.
Nous montrerons maintenant que cette réduction sera toujours possible, tant que les équations primitives elles mêmes ne remplissent par la condition
5 (mp) -t-Tz <i^y âx.
n est facile de remarquer que la détermination de p et g, dont nous venons
de parler, ne suppose que l'existence de deux fractions réduites de — — — ^ telles que l'une ait pour dénominateur une fonction d'un degré moins élevé que l/— yg—-) taudis que la suivante a le dénominatt^ur d'un degré plus élevé que ]/^^.
Or nous verrons, que cela aura toujours lieu, tant que la condition B (uv) -t- iT < S Vûx n'est pas remplie et que l'on décompose convenablement
la fonction Ox en deux facteurs (^i.i'-'j; savoir: de manière que V""-,/!'^soit d'un degré fractionnaire. En effet, dans ces suppositions, le degré de y^Yiix ' ^^^ au-dessus de zéro et, par conséquent, si l'on commence la
série des fractions réduites de -- - — i par y, oîi le dénominateur est du
degré zéro, on est sûr de trouver parmi elles au moins une fraction dont le dénominateur soit d'un degré moins élevé que l/""yL'" ■
Mais alors dans la série infinie des fractions réduites de - y^f- on trouvera nécessairement deux fractions consécutives telles que l'une a pour dénominateur une fonction d'un degré moins élevé que l/— ^'^^ -, tandis que le dénominateur de l'autre est d'un degré plus élevé que y"^yl^ 'i si
toutefois aucune des fractious réduites de —~ — -' n'a son dénominateur du même degré que l/"" ''^ . Or cela n'aura pas lieu, tant que cette fonction est d'un degré fractionnaire; car, pour 6x de degré pair, toutes les fractions
réduitcs de — i = ne contiennent que les puissances entières
de X, et pour ûx de degré impair, le degré de l/'"''^'''^-- a la forme ft ± -r-,
'-Vf
tandis que les degrés fractionnaires de x dans la fonction ■■ ■ „ --' sont de la forme 'c-^-y-
Nous remarquerons encore que dans la série des fractions réduites de
- — — — - = ■ -— on ne rencontrera des puissances fractionnaires de x qu'après la fraction -s^, qui sert pour trouver les fonctions p et q. En effet, les puissances fractionnaires de x ne peuvent y entrer que dans le cas oii Ox est de degré impair. Mais alors toutes les fonctions de la forme £-^yvbx sont évidemment du degré 0 et, par conséquent, u ^ 0. Or, t: étant égal à zéro, d'après ce que nous venons de dire sur la détermination de p et de q, le
dénominateur N sera d'un degré moins élevé que "l/^-*, et avec un tel dénominateur la fraction réduite ne donne, en général, la fonction, d'où elle résulte par le développement en fraction continue, qu'avec une exactitude jusqu'aux quantités de l'ordre plus élevé que = ~ — =^ — y-^.
Mais la partie irrationnelle de ~ — ■' est justement de cet ordre.
Donc, dans ce cas, cette partie n'a aucune influence sur la fraction -jj,
de manière qu'on peut la supprimer dans la formule —^^ — i, et chercher -î^ par le développement seulement de — en fraction continue.
Nous allons montrer maiutfmant le parti que l'on peut tirer de la rédiictiOD, qui vient d'être exposée, pour la résolution des équations
dans le cas, où Ûx est du 3""° ou du 4"° degré. Après avoir trouvé les fonctions p et g, comme nous l'avons dit, et si l'on fait
Xo-t~XV6x /p V9i -+- g V6a\P F^ -t- Qg Vfte
Xft — XVGx [pySi — qVeJ Po— CoVÛa;'
on parvient à ces équations
Pour trouver la fonction -,, on divisera ^î^fVj — q^O^ par iw. D'après la méthode qui nous a servi pour trouver les fonctions p et q, il est clair que le quotient de cette division sera d'un degré moins élevé que Vûx, et par conséquent, dans le cas de ûx du 3""° ou du 4™ degré, ce quotient sera, en général, représenté pai' ax~t-b. Mais, d'après les équations (5), (6), ce quotient, à un facteur constant près, est égal à u'v'w. Donc, l'une des trois fonctions
sera égale à ax-t- h, et les autres se réduiront à des constantes, et par conséquent, l'on sera conduit à l'un de ces trois cas
^ = ^^-^17^, ~, = ax-t-b, ^^ à une constante.
Mais en faisant x^ — -- dans les équations (4),oùd'après(6)w'=:w, on voit que le premier cas aura lieu, si cette valeur de x rend
le second, si l'on a
enfin le troisième, si, pour x^ , on trouve eu même temps
j> VSt -♦- g Ve, __ ç. pV^i — q V\ __ q
Donc, si nous convenons de désigner par s une valeur qui se réduit h,
-1-1, —1, 0, eelon que, pour x^ — —, on trouve
pj%^-qy%
pySi — gj%___
ou, en même temps,
pVOi-i-q va^
la valeur de -, sera donnée par cette équation
» {aa:-^br
D'après cela, les équations qui déterminent Pc,, Q^ et p deviennent
Dans le cas, où a ne se réduit pas à zéro, on peut mettre ces équations sous une forme plus simple, en introduisant à la place de x une nouvelle variable s d'après l'équation
En effet, si l'on traite la valeur de j ^ p° y^ comme fonction de cette nouvelle variable, on parvient facilement à reconnaître, que, d'après les équations précédentes, la fonction j-^^^yj en s, sera déterminée par ces propriétés:
1) Elle reste finie, tant que s est fini et diffère de 0; car ces valeurs de z correspondent à celles de x diflFérentes de — — et finies.
2) Pour 2 ~ 0, la limite du rapport p^Tç'yfx '• ^''"'^^^^ ''^^^^ ^^"^ ' ^^ ce rapport n'est lui même que la limite de la valeur de p^^g^gj,:^''""''^ pour ic = oo.
3) Pour 0 = oo, le rapport j
Po-Qo'^"^"
est égal à — , quand on fait x^ — — .
Donc, en faisant aa: -h 6 = -^ , on peut remplacer les équations (7) par
Mais il n'est pas difficile de s'assurer que, a étant différent de zéro, on aura
En effet, comme tt, =^ 5^,,,'."^^„„-. on peut mettre les différences n — ic, , TC, — Tc sous ces formes
pVli — qVdx Vuv
Donc, si le coefficient a dans la valeur de égal à zéro, les différences
■n — TUj,
sont respectivement égales à
,,,VVjj^
Mais, d'après le g 3, on a
et comme Ûx n'est que du A'^" ou du 3°* degré, cela prouve que les différences Tt — 7T,, Uj — t: sont au-dessous de 1, ce qui ne peut être à moins qu'on n'ait ti = tc,. D'après cela, les équations qui déterminent P^ et Q^, en fonctions de s, deviennent
formules que nous mettrons sous la forme
pour délivrer la fonction radicale des puissances négatives de s.
Or, la première de ces équations ne diffère que par la forme de celle, qu'Abel a traitée dans son Mémoire «Sur Vintcgration de la formule différentielle pl^.Metç étant des fondions entières^, et d'après les recherches ingénieuses de ce grand Gréomètre nous savons que cette équation est impossible, sauf le cas de P(,= 0, ou Qa= 0, si la fraction continue résultante de ■i/a*â (^^^] n'est pas périodique, et dans le cas contraire, si l'on a
on vérifiera cette équation en prenant
Quant à l'équation
on la vérifiera, en choisissant convenablement ç, savoir en prenant
Donc, si l'on fait, pour abréger.
la valeur cherchée de f°^Q°^^, en fonction de «, sera
et d'après l'équatiou ax-i-b=—, nous auroos, en fonction de x,
Quant au nombre p, on le trouvera d'après l'équation
Cette valeur de p nous montre que la solution des équations (8), que nous venons de trouver, ne peut être employée que dans le cas, où e ne se réduit pas à zéro; car, pour £=0, cette valeur de p devient infinie, tandis que p désigne chez nous un nombre fini. Mais dans ce cas on vérifiera, évidemment, nos équations par une valeur finie de ç, en prenant une des solutions de l'équation
que nous avons exclues, savoir: Q^^O ou Po^= 0, ce qui donne
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Dans ces solutions, pour e = 0, le nombre p reste arbitraire, et l'on pourra prendre p = l. Remarquons que ces solutions qu'on pouvait aussi tirer de la formule (9), en prenant 9(2) égale à 0 ou 00, ne pourront être employées, à leur tour, que dans le cas de e = 0, car, autrement, p serait égal à 0, tandis que ce nombre doit être différent de zéro.
Ainsi l'on trouve la fonction p^n°y^ s* ^^ nombre p, si le quotient de la division de p'^0^ — fO^ par uv se réduit à aa; -+- fc, et que a ne soit pas égal à zéro. Mais s'il arrive que a = 0, les fonctions m', v , d'après ce que nous venons de dire relativement à leur détermination, se réduisent à des constantes, et par conséquent, les équations qui déterminent Pp, Çq et p deviennent
Or, comme ces équations sont de même nature que les équations (8),
et queseulementici/*(,,Ço)'^^^^''^— ■^i remplacent T\z^, Q^, l/^*''^{^^~)' e, nous concluons, d'après les formules précédentes, que la solution de ces équations sera donnée par ces formules
J'o ■*■ Ç„ ypa: __ iPo (3:) + VOx 1 g <?„ (x) ■+■ VOx
Po — Ç(^ Vll^ ~ 9u (*) - l'*'^ ' ^ - ti 9g m - ^''W! '
OÙ l'on prendra pour %{x) zéro ou l'infini, si
et dans le cas contraire, on développera VOx en fraction continue
et l'on prendra
Nous remarquerons encore que si les équations primitives
remplissent elles mêmes la condition
S (uv) -f- re < yâx,
on trouvera leur solution au moyen des formules que nous venons do donner pour résoudre les équations réduites
Dans ce cas, on prendra tc au lieu de t: ^ tUj , et l'on trouvera a, b, s, en égalant
D'après ce que nous venons d'exposer sur la solution des
ou peut prouver qu'elles sont impossibles, si, Ûx étant du quatrième degré et -r^ de degré impair, l'équation ûx :=0 n'est pas vérifiée, en prenant pour X une valeur composée des racines de l'équation uv = 0 et des coefficients de (Va; à l'aide des seuls, radicaux carrés, et que, par conséquent, on ne peut pas exprimer en termes finis toutes les intégrales, dont la détermination se réduit aux équations (10) de cette catégorie.
Pour le démontrer, nous remarquerons d'abord que dans le cas où ^^ est de degré impair ou peut exécuter la réductiou des équations (10), d'après le § 3, en prenant cette décomposition de âx eu deux facteurs
0,~1, Û^ — ûx,
et si avec ces valeurs de Oj, 0^ et en supposant connues les racines de l'équation î*t) = 0 on fait la réductiou des équations (10), et qu'on cherche leur solution, on ne rencontre que l'extraction des racines carrées et leg différentes opérations rationnelles. Donc, dans toute cette analyse, on n'aura
que des quantités qui ne peuvent vérifier l'équation ûx:=0 dans le cas que nous examinons. Or nous allons prouver que tant que cela a lieu, on ne peut donner une solution des équations (10).
D'après le § précédent, dans la solution des équations (10) on ne peut
se passer du développement de "l/g^tf 1°"^^ ^j ou Vox eu fraction continue que dans le cas, où l'on a s = 0, ou tc — -ïï:, =; 0, « = 0.
Mais nous savons (voyez § 4) que la quantité s ne se réduit à zéro que dans le cas, où la valeur a; = — — vérifie ces deux é
et comme le produit llh^lïl^ . iThz^h est égal à ^^^-^ =ax^h, cela suppose que Je développement de
suivant les puissances de 3; -i- -^ contient des exposants fractionnaires, ce qui ne peut avoir lieu, à moins que 0-^(}nO^ ne contienne le facteur a;-i-— , et par conséquent, cela suppose que la valeur x:= — — vérifie l'équation ^/''a "= ^^^ "^ ^1 <^^ 5"^ û^ P*^t^t ^^^^' admis, comme nous l'avons remarqué.
Le cas do « ^ 0, j: — t:, = 0 ne peut avoir lieu, car nous avons trouvé, dans le % précédent,
cela nous doune
Mais dans le cas que nous examinons la fonction *^^^- est de degré
impair et la fonction P'^J^'^'^ d'un degré entier: donc, si a = 0, la diffé-
rence v.^ — tc est de la forme 2&-i- 1; et, par conséquent, ne peut se réduire à zéro.
Il nous reste maintenant à prouver qu'oa ne parviendra pas non plus à la solution de nos équations par le développement de y ^*f> \~^) **'^ Vûx en fraction continue. Pour cela, nous allons montrer qu'en général, si aucune des racines de l'équation bicarrée K = 0 ne peut être exprimée à l'aide des seuls radicaux carrés, la fraction continue, résultante de VB, ne peut être périodique, de la forme
En effet, si cela avait lieu, nous savons, par les recherches d'Abel, qu'on parviendrait, par ce développement de y 5, à la solution de l'équation
où r^, Fsont des fonctions entières et Cuue constante; le tout, étant déterminé par le développement de YR, ne peut contenir que des quantités exprimables par les coefficients de R au moyen des seuls radicaux carrés. Or, une telle solution de l'équation
que
y^' — fR = C,
soit celle parmi elles dans laquelle ij diffère de zéro et soit en même temps du degré le moins élevé.
D'après l'équation précédente nous trouvons
{y<,-*-yà){y^—Vc) = y^B.
Comme y^ — yc, y^-^yc ne peuvent avoir de commun diviseur, cette équation ne peut être vérifiée à moins qu'on n'ait
(11) y,-*-Vc=y^^B,, yo^Vc^y^'B,, y,y^ = y, R,B^ = R,
et, par conséquent,
2i/c = î/,'-B, — îz/ïï^.
Or, on ne peut pas supposer que l'une des fonctions R,, R^ se réduise à une constante; car, en admettant, par exemple, que fi, =Cj, on trouve, d'après (H), B^=-, et, par conséquent, l'équation précédente devient
ou
ce qui donne, contre l'hypothèse, une solution de l'équation
oà Y=: y^ est d'un degré moins élevé que y.
Mais les fonctions fi, , R^ ne peuvent être non plus de degrés supérieurs à zéro; car, autrement, on parviendrait à décomposer la fonction bicarrée R en deux facteurs fi, . fij et, par conséquent, à trouver au moins une racine de l'équation fi = 0 au moyen des seuls radicaux carrés; car, d'après (11), pour trouver Jî, et R^ on n'a qu'à chercher le commun diviseur des fonctions y^~*-^/c et fi, y^ — \/c et fi.
En terminant notre Mémoire, nous allons faire le résumé des procédés qui, d'après ce que nous venons d'exposer, constituent, avec nos recherches citées plus haut, une méthode générale d'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynôme du 3"^ ou du 4°^ degré, en tant que cette intégration est possible sous forme finie.
Nous supposons que préalablement la partie rationnelle de ces différentielles a été séparée et que le reste a été mis sous la forme ^ ^t;^, où f^x, F^x n'ont point de commun diviseur; nous supposons ainsi que ûx, qui n'est que du S""" ou du 4™^ degré, n'a pas de facteurs multiples ; car, autrement, l'intégration de ^ y^- deviendrait très simple.
Pour trouver l'intégrale f^ ^ sous forme finie, en tant que cela est possible, on procédera de la manière suivante:
1) On cherchera le plus grand conmtun diviseur entre les fonctions F^x Ox et '^* f^ ■ Nous dénoterons ce diviseur par Q.
2) Ou déterminera les degrés des fonctions §^^^, ^y^- Si ces fouctions sont de degrés inférieurs à — 1, le terme algébrique dans l'expression de l'intégrale cherchée manque. Dans le cas contraire, on prendra n égal au plus petit nombre entier supérieur aux degrés de ces fonctions, et on cherchera les coefficients du polynôme
P = B^x''-t-B^^x"~^-t- -i-B^ay'-t-B^x-i-Bo
d'après cette condition:
la fonction f^x-^§-{~^ ^) P doit être divisible
par Q et avoir pour quotient une fonction d'un degré qui n'est pas plus élevé que celui de "^ ^ .
Si cette condition ne peut être remplie, on conclura tout de suite que l'intégrale cherchée est impossible sous forme finie. Dans le cas contraire, on trouvera les coefficients du polynôme P, et l'on conclura que la partie
algébrique dans l'intégrale cherchée a pour valeur ^ yOx. p
3) On mettra la fonction ^ — yûx ^ sous la forme j^, où fx, Fx sont des fonctions entières qui n'ont point de commun diviseur; on cherchera les racines de l'équation Fx^=Q et l'on calculera les quantités, £", K\ K'\ K"\ .... ff''' d'après les équations
où x\ x\ .... ic*'' désignent les racines de l'équation Fa; = 0 et F'x = -^ .
4) On cherchera les nombres entiers ]W,M',M",. . ■ .iW''' qui rendent
M''K''~t'M'K'^M"K"-i- -i-Jf'''/i:'''=0.
Soient X le nombre de toutes les équations de cette forme qui ne sont pas identiques entre elles par rapport à
et
les valeurs do X termes de la série
en fonctions des autres, qu'où tire de ces équations.
D'après cela ou conclura que la partie logarithmique de l'iutégrale cherchée est composée de ces ^ — X -4- 1 termes
log KKo -+- ■ log W^-t- ....-*- — log !>;*,
OÙ n^, «!,■■. -«-j-i. désignent des nombres entiers et PF„, W-^,. . . . Wi-^ des fonctions de la forme x"— xy&a:'
5) Pour trouver un terme quelconque — ;— log W^ ou cherchera le plus petit dénominateur auquel les quantités M^", ili,.', il/,.", .... MP'~'^ peuvent être réduites. En dénotant ce dénominateur, par c, on fera
en prenant celui des deux signes ± qui appartient à M^°, et l'on mettra l'expressiou
\Jx — X) * (x — x) * (a; — a;' "} (x — x'-^)]
sous la forme d'une fraction simple --.
6) On décomposera âx eu deux facteurs O^Jt^, de manière que l/""vfii~ ^"^ ^*^'*' P^® ^^"^ degré entier, on trouvera une fonction entière 6', pour laquelle les fractions
ne deviennent pus inlinies, tant que ce reste lini, (;t en développant l'expression - — - — -' en fraction continue, on cherchera parmi les fractions réduites de — -' celle dont le dénominateur est du degré le plus proche
; y "-yii,--T mais moins élevé que celui de cette fonction.
de celui de 1 ,
Eu dénotant cette fraction par ^, on cherchera h; quotient de la division de
par uv. Ce quotient sera toujours d'un degré au-dessous du second.
7) Si ce quotient est une fonction du premier degré ax -+- fc, on prendra
dans le cas où les deux fonctions
CNS - Mw)Vli^-^^ N\'(i.^ {N8 — Muv)Yf>i~ NVI)^
se réilnisent à zéro pour x= .
Bans le cas contraire, ou aura
(NS-MuvjVOi-NYO^ j ' lax-t-b^ / a •\
oii © (z) est une fonction i
la fraction continue résultante de V^oi- -j étant périodique et de la
forme
Q le d(*Kré de ' '■ — -, e^r: -+- 1 ou — 1, selon que x^
vérifie l'équation
8) Si ce quotient se réduit à uue constante, on prendra
^ l^>^ry^— ^^ ^"^ {NS- Muv)yo^-NV<}^'
dans le cas où Lg — jf"" y& Z nvi,^ ^^ ^^^ ^^ degré zéro. Dans le cas contraire, en (]
par £ le degré de lNs-Mj)y,\^m%
X , on aura
uf '"fc "(— dzpo ^^^ \\[Ns — Muv)yi)i--NyijJ fo('^) — yi)x\f où
9 fa:) = r H- — i
la fraction continue résultante de yûx étant périodique et de la forme
9) Ce que uous venons de dire sur la déterminatiou du ternie
-^— log W^ ne sera applicable que daus le cas, où le degré de la fonction uvœ^ surpasse 1. S'il arrive que le degré de iivx^ n'est pas au-dessus de 1, le terme - ^' log TF,- sera aussi déterminé par les formules que uous venons d'exposer, seulement on fera ij^s-z'Mm) Va' '^ N y(f ^= ^ i "^^ trouvera a, b, s, en égalant — = , — ~Mê) ^^ ou prendra e=Ti:, dans le cas de a=-0.
10) Après avoir trouvé tous les termes logarithmiques, on différentiera leur somme. Si cette différentielle ne se réduit pas à ^^,t^, l'intégrale cherchée est impossible aous forme finie; dans le cas contraire sa valeur sera précisément donnée par la somme
WOx-
KW
log W(,-
log W^ -
- log Wi-^.
S'il s'agit, par exemple, de trouver l'intégrale
f 23;« -1- ix^ -t-yx* — 3x^ — x^ ~ Sx — s
r 2^" ■+- Ax^ -H 7.
J (2x^^ — lf^
dx,
(2a;ï — 1)» Vx* -t- ix^ -t- 2x OQ cherchera le plus grand commun diviseur entre les fonctions
(2a;^— 1)^ {ar* -t- 4œ»-i- 2x^ -»- 1),
- \f[x*-t-ix:>-^^%x^-i-i)\
Comme ce diviseur est 2x' — 1 et que les fonctions
(2a^ - 1) (2x^ ■+■ Ax^ -i- Tx* — 3a;^ — ar^ — Sx — 8)
\2xi ~ 1)ï (X* -f- 4«s -t- 2x« -H 1) ' xV^ + ixi -t- 2a;ï -i- ï
sont de degrés au-dessous de 1 , ou clierchera les coefficients de la fonction du premier degré I':=:B^x-t- B^. Pour cela on divisera
r 1 (2x^ — 1)= (4ic5 -t- \2x^ + <)«) (2x= — If {x* ^ Ax^ -+- 2x^ ■+-\)Ax-\ . „ ,, .
— j y 2^^n ~{2x^-lf — -J (ti^X-i~ h^}
par 'iT? — 1. Comme cette division donne le reste
et qu'on trouve, en outre, dans le quotient le terme
qui est d'un degré plus élevé que ^ — xi'-'xi—x) ' egalt^a tout
cela à zéro, ce qui donne les équations
et de là,
Donc, le terme algébrique, dans l'expression do l'intégrale cliercliée, a cette valeur
En réduisant l'expressiou
d -—; — - Vx*-i-ia^-i-2afl-fl
(to*— If «a:
à la forme la plus simple, on parvient à
Sajï— 1 '
o.t comme les raciucs de l'équation 2x^ — 1^0 sont a; = — y^, x = yi^. ou calcul('ra les quantités K", K', K" d'après les formules
L(2a:= — 1) Va;* -H .^a;:' -i- Sx^ -i- !ji= «
.(2a:= — 1) Va;* -H .^a:' -\-23^-t- ! Ji:= « ' 4x' /x'* -*- 4x" -i- 2x'« -i- 1 6y»-t-5a;"-i-7
ix" V^'* -*■ ix"^ -i- 2x"^ -H 1 '
eu prenant a;'— — y^. ic" — :^, ce qui donne
et, par conséquent, on aura
si l'on prend
iïf"=l, M' = 0, M"^0,
ou
M'' = 0, Jf'=l, M"=l.
Quant aux autres valeurs de ]WyM',M" quisati9fontàréquation(12),elles ne conduisent par rapport à ff", K', K", qu'à des équations identiques à celles qu'on trouve en prenant les valeurs mentionnées de M", M , M D'après cela on conclut que la partie logarithmique de l'intégrale cherchée ne contient qu'un seul terme
|- log W,.
Les coefficients des expressions de K** et K' en fonctions de K" n'étant pas fractionnaires, et le coefficient de K" dans la valeur de E° étant zéro, on prendra
(7=1, Ti: = 0:
on mettra le produit
sous la forme d'une fraction
et après aycir décomposé oS* -t- àa^ -t- 2'^ -i- 1 en deux facteurs {x -+• 1) (a? -H 3a^ — x-t- 1), on cherchera une fonction entière 8 pour laquelle les
fractions
S/xH-l-j-Vica-t-gx» — œ-t-l SVx-t-l — Vie^-t-Sx^ — x-t
ne deviennent pas infinies, tant que x reste fini; ou, ce qui revient au même, une fonction S qui, pour x^-^, x^ — r^s» ^^ réduise respectivement à
D'après cela on trouve
En cherchant la fi'action réduite de — j- — p— ^ pr — , dont le
dénominateur est du degré le plus proche possible mais inférieur au degré de
on prendra pom' cette fraction y, et comme
[l.{l~dx)~0.{x-^)ix-t-^)'Jix^l)--\\{a^-h'Ba^—x-x-l)=Sx^-4.x,
divisé par (a; — :|^)/iCH-:^J = a;^ — -^1 'io'"'^ P*"*^ quotient 8a;, et que ic = 0 rend nulle' la dernière de deux expressions
(l — 3x)y'x-i-l-t-Vx'>-t-3iif' — x-t-l (1 — 3x)/a;-«-l — Va^-t
le terme logarithmique, d'après le n" 7, sera donné par la formule
:î a;' (p [ — ] + Vx*-t-'lx^-t-'2x^-i-l 1
(1— 3x) V3:-i-l.-t-Va^-i-33:^—x-*
OÙ p désigne le degré de
Pour trouver la fonction <p (^i), on développera le radical l/«* [(1)'^- 4(|J -t-a^yjV l] = V?* H- 22^-1- 4^-1-1 en fraction continue. Comme on trouve
on prendra
ce qui donne
et par conséquent a, degré de — — ' . ^ ^^ ^ ^ — ^ ,
égal à 10.
Ainsi, en faisant pour abréger,
A = Va^ H- 4ar' H- 2a;=' -H 1,
le terme logarithmique cherché aura cette valeur
a-3;.)y^^y,,»rf.--.-n\'^'°"'r(lHy"''(îyHî)'"']"[(î)'"(^)'-'
ou, ce qui revient au même,
1 f({i-Sxy^^\-*-V:>:^--^x^~x->-l\'' 2xi->-x^-<-S^''-x->-l^i2x^-x-^i) ai
Donc, si l'intégrale cherchée peut être exprimée sous forme finie, elle doit être égale à
A = Vrc* -I- 4a^ -I- 2a;3 H- 1 .
Effectivement, on trouve par la différentiatiou que c'est bien la valeur de l'intégrale
f 2a;« -I- 4ar5 -i- 7aT« -
sur laquelle nous avons opéré.
SDR
LIS ÎMGTIOHS GOHTmïïIS.
{XKADUÏX PAK aXEWAYMÉ.)
(Journal de mathématiques purea et appliquées. Il série, T. III, 1858, p. 289—323.)
(Lu h 13 janvier 1855.)
& MenpepuêHuœ^ 9pûSjix-B.
(FiCHua aanncKH HuuepatopckoS AKaneMin HayKt no uepDony ti Tpeiteuy oi^'Ène- HiaM-b, T. III, CTp. 636—664. C-HeiepSypri., 1855 r.)
Sur les ft'aetions continues.
Au mois d'octobre de l'année dernière, j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie des Sciences un des résultats de mes recherches sur l'interpolation: c'était uue formule qui représente appioximativement une fonction cherchée, d'après plusieurs de ses valeurs particulières, et dont les coefficients sont déterminés par les conditions de la Méthode des moindres carrés. Cette formule, comme on le voit par mon écrit inséré dans le Bulletin de r Académie (t. XIII, n" 13) sous le titre de Note sur une formule d'Analyse*), s'obtient à l'aide du développement d'une certaine fonction en fraction continue. Ajournaut ce qui touche aux conséquences de cette formule relatives h l'interpolation jusqu'à la fin de mes recherches sur ce sujet, je vais la considérer ici dans ses rapports avec les fractions continues, comme exprimant une propriété particulière de ces fractions.
Je commencerai par la déduction de la formule que j'avais pr&entée sans démonstration dans l'écrit cité tout à l'heure. Ensuite je ferai voir ce qu'on peut en tirer relativement aux propriétés des fractions convergentes qu'on obtient eu développant de certaines fonctions en fractions continues.
Nous commencerons nos recherches par la solution de la question
suivante:
On connaît des valeurs de la fonction F(x) pour n-t~l valeurs de la variable, x:=œt^,x^,x^,. . .x^, et l'on suppose que la fonction puisse être e par la formule
a -t-hx -t- cx^ -i- . . . . -t-gx^"^ -+- hf*,
*) Voir plus bas, à la fin de ce Volume,
Vexposant m ne surpassant pas ». Il s'agit de trouver les coefficients de la formule en les assujettissant à ne laisser aux erreurs des valeurs F{x^, F(Xi), F{x^),. . . .F{x ), que la moindre influence possible sur une valeur quelconque F(X).
On obtient immédiatement cette suite d'équations
F(x^) = a'+-lx^-i-cx^''-+' -t-gx^'"~^-t~hxQ'^,
F(Xj) ^a•^-bx^'^- cx^ -h . . . . -h gx^~*^ -+- hx^ ;
F{x^ — a -I- ïia^a -+- ca;/ H- -h gx^~^ -+- hx^"" ;
F{x^=a-i-bx^-i-cx^-^-. . . .-f-gxj' ^-t-hxj^.
Pour exprimer la valeur de F{X), à l'aide de ces équations, nous les multiplierons par des facteurs indéterminés 'kf„\,\, \, et nous en prendrons la somme
Xo F{x^) H- X, Fix,) -t- \ F{x^) -+-.... H- X„ F{x^ = a(Kt)-t-\-^\-i- . . . - -I- X„) -t-h(kgXQ-+-\x^-*-\x^-^ . . . .-«-X^^n)
-«-^(XorCa"* *^ -\-\x^ ^ -¥-\x^ '-+-... .•^-X^a;„'" ')
Si, maintenant, nous comparons cette somme à l'expression de F{X), qni doit être
F{X) =^ « -+^ &Z -H cX'= H- . . . . -H55'"-^-H AX",
nous trouverons que pour assurer la relation
F{X) == \ F(x^) -+- \ F{x^) -t-\F{x^)-t- -*- X„ ^ (ij,
il suffit que les facteurs ^, ^i, ^2- ■ • -^n satisfassent aux équations
Xo -+- X, -t- Xj ~t- --*~\ = 1 )
Xoa^o -i-XjiCj -t-Xj^ij-H- -t-\x^ = X,
\x^^~t-\Xi^-i-\x^'-i- -HX^a;^' = Z^,
\Xa'" -i-Xja:^'" -«-Xg^j*" -+-... .-t-\x^ = X"* .
Lorsque m = n, ces équations déterminent complètement les facteurs Xo, \, \,. . . .\, puisque le nombre des unes et des autres est le même. Dans ce cas le système de facteurs aiusi calculé est le seul qui puisse former les coefficients de l'expression {
F{X} = \Fix,)-t-\F{x;}'^\F(x^)^... .-^-\F{xJ.
Si, au contraire, m < n, ces équations pourront être satisfaites d'une infinité de manières, et chaque système de valeurs assignées aux facteurs ^01 \i ^2.* • ■ -^n' "^^"^ ^^ formule
FiX) = l^F(x^)'i-\F(x^)-t-\F(x^)-t- -+-X„f'(rcJ,
fournira une expression particulière AeF(X). Mais, d'après la dernière condition du problème, il faut choisir, parmi toutes les expressions de F{X), celle dans laquelle les erreurs des valeurs F{Xo), -?(»,), F(x^),. . . -Fix^ ont le minimum d'influence sur la grandeur cherchée F(X). Or on sait, par la théorie des probabilités, qu'on parviendra à ce but, en assujettissant les facteurs X,,, X,, \,. . . .X^ de F{X) à réduire au minimum la somme
dans laquelle h^, i,^, h^, . . . . fe„^ désignent des quantités proportionnelles aux moyennes des carrés des erreurs des valeurs i^(a;o),F(3;,),y(a:3),....F(3;J. On voit que, pour plus de généralité, nous supposons différentes les unes
des autres les lois des erreurs de ces n -•- 1 quantités. Si la loi de probabilité est la même pour toutes, on a dans ce cas
ICq ^^ ftj ^^ tt* ^^ * • . ï ^^ le j
et l'on peut réduire ces multiplicateurs à l'unité.
La solution de la question se trouve ramenée par ce qui précède à exprimer F(X) par la formule
en déterminant les facteurs X par les équations (1) et par la condition du minimum de la somme
ito'V-'- w-«-w-^ -^ W-
Remarquons, en passant, que cette condition peut être étendue au cas même, dans lequel m = n. Car les facteurs X sont alors complètement déterminés par les équations (1), et la condition du minimum de la somme des carrés n'exige plus rien; ce qui s'accorde avec ce qui a déjà été dit de ce cas particulier.
Arrivant au calcul des facteurs Xo, Xj, Xg, X^, supposons que i'(a;)
soit une fonction entière de x, qui pour les valeurs x^, x^, x^, . . . . x^de x, prenne respectivement les valeurs ft- ? jf-» ;f i ■ • ■ ■ f; • La somme
VXo^-+-VV-^ v-^-v-^- W
s'écrira sous la forme
>o^ i-i^ l^^ Xn'
Pour déterminer, par la condition du minimum de cette somme, les
quantités X,,, Xj, \, X^, liées entre elles par les équations (1), nous en
prendrons la différentielle, et, suivant le procédé ordinaire des minima et maxima, nous l'égalerons à la somme des différentielles des équations (1), multipliées chacune par des arbitraires Pd, H^i, fj'^a,. ■■ ■ fJ^^ respectivement.
Égalant ensuite les termes qui auront pour facteurs d\ ,d\^d\, dX ,
nous trouvons les (n -h 1) équations
sl^=ll.H-h2^.-1-^V+--
Réunies aux équations (1), les équatious (2) déterminent complètement les n -H 1 inconnues
et les m -I- 1 arbitraires
tifl, [«.„ iJ-2,....l^„.
Ainsi toute la difficulté est rameflée à la solution de ces équations. Voici le procédé particulier que nous emploierons pour y parvenir.
En posant
nous transformons les équations (2) en celles-ci:
et nous en tirons
Transportant ces valeurs dans les équations (1), elles prendront la
forme
6' (a;„) q> (a;,) x," h- «' (a;,) ip (x,) x," -t-
. . . -4-ô'(a:J<p(i„)a;„"~'=X" ...-i-b'(x^it(x^x^ =X"
Il n'est pas difficUe de remarquer, sous cette forme, que les premiers membres sout les coefficients de — , ^, ^, .■■.^, ^^+^, dans la série qu'où obtient en développant, suivant les puissances décroissantes de x, la fonction
Les seconds membres sont de même les coefficients du développement de
Par conséquent ces équations peuvent être remplacées par la condition imposée à la différence des deux fonctions
de ne point renfermer dans son développement suivant les puissances descendantes de X les termes en —, -^, -^,....^y "m-i^i- Si donc on met cette différence sous la forme d'une fraction j^, le degré du dénominateur N surpassera le degré du numérateur au moins àe m-i-2. Les équations précédentes se réduiront donc à
eM%)yM , 6' M y M , ^ e'W¥(a^„) L — ^.
D'un autre côte en posant, pour abréger,
{x — Xo) {x ~ x^) (x ~ x^) . . . .{x — xj =fix),
et désignant par Z7 la fonction entière, contenue dans la fraction ^^' t, ' , on sait, par la théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, que
L'équation formée tout à l'heure prendra donc la forme
ou bien, l'équivalente
En s'appuyant sur cette relation, U n'est pas difficile de trouver l'expression de la fonction <f» (a;).
Remarquons, en effet, que la fraction ' — rw" ^^* "^'""^ degré iufér au degré de -q-y Car 9 (x) représente la quantité
et, par suite, ne peut être d'un degré supérieur à m. Eu même temps le degré de N surpasse au moins de {m ~i~ 2) le degré de M; ainsi la fraction >^ ~ ' ■ est d'un degré inférieur à celui de — ^.
De là nous concluons que dans la relation ci -dessus la fraction ■■■ r ~, , reproduit exactement la fonction ;, f — ~ au moins
jusqu'au terme du degré de -q^. inclusivement, c'est-à-dire jusqu'au terme dont le degré sera celui de l'unité divisée par le carré de son dénominateur. Mais, on le sait, ce degré d'exactitude appartient exclusivement aux fractions convergentes obtenues par la réduction de '-^^ — Ji) — ^^ fraction continue. En outre, dans la suite de ces fractions convergentes celle qui suivra ■---,■.■■"*"-■ aura nécessairement un dénominateur d'un degré supérieur à m. Car, sans cela, la différence
{iv-X)f{x)bHx) U{x^X)-t-l /{x) fix)
ne serait pas d'un degi'é inférieur à - ■ ,-r~^ , comme le suppose notre relation
f(x) 9(0;) ç{x)JV '
où, on l'a vu, la fraction -^ ne peut être d'un degré supérieur à i-m-l).
^{x-X)fl^)6*(x)
vergentes dont on formera la suite par le développement de -
eu fraction continue; et dans cette suite la fraction convergente, qui viendra immédiatement après, aura un dénominateur de degré supérieur à w ; de sorte que la fraction — '^~,^, — ^-i dont le dénominateur est d'un degré qui n'excède pas m, est nécessairement la dernière fraction convergente de dénominateur d'un degré qui n'excède pas m, dans la suite des fractions convergentes résultant du développement de l'expression Ll' ,
en fraction continue.
Cherchant donc cette fraction convergeute, si nous la représentons par ^-Pi, nous aurons l'équatioii
g(a;-.X:)+l gO(.r).
d'où
Cette équation suppose que le produit (^^(x)(f{x) est divisible par (po(tc); et comme les propriétés des fractions convergentes exigent que 9" (a;) et ç^ (a;) soient premières entre eux, % (x) ne saurait diviser le produit sans diviser ç{a;). Représentant par q le qnotieut de cette division, nous aurons
<^{x) = qfa{x),
et cette valeur, portée dans l'équation qui précède, donne
Pour tirer de là une expression de 9 (a;), nous remarquons que <]> (x) ne peut être d'un degré supérieur à m. Si donc le facteur 9,, (x) est du degré m, le facteur q se réduit à une constante. Il est facile de la calculer, car en posant 3;^ X, dans la dernière équation, il en résulte
l=qf°{X) et q^,-i^y puis enfin,
Telle est la valeur de la fonction 9(2;), quand (^^(x) est du degré m précisément. Dans tout autre cas, le degré de 9o(x), étant moindre que m, le facteur q de l'expression
peut recevoir pour valeur une fonction entière quelconque de x, pourvu que le degré du produit 390(3;) ne surpasse pas m. Ainsi, dans ce cas, il y aura une infinité de valeurs de la fonction cherchée 9 (x). Mais si l'on convient de prendre parmi ces valeurs celle dont le degré est le moins élevé, on sera de nouveau obligé de prendre pour quae constante, et l'on trouvera, comme précédemment, pour 9 (x) la valeur
D'après les équations (3), ia fonction ainsi déterminée donne
Xo = fj" {%^ 9 {x^), \ = ô^ (a;,) 9 («,), \= 0'' {x^ 9 {ic„),
et ces valeurs sont les coefficients de la formule
F{X) = 'i.^F{x^)-i-\F{x;)~i- . . . .-H\F(iC^,
par laquelle FiX) est exprimée au moyeu des valeurs particulières F{Xa),
F{x^), F{x^), F{xJ.
Donc on aura finalement pour F(X) l'expression
Quant ans quantités %ix), ff^ix), on avu qu'il suffisait, pour les déterminer, de réduire eu fraction continue la fonction
et de prendre, dans la suite des fractions convergentes, la dernière de celles dont le degré du dénominateur ne surpasse pas m. Le numérateur de cette dernière fraction est f°ix) et le dénominateur 90 (^)-
La question que nous nous étions proposée au commencement du premier paragraphe est ainsi résolue.
En examinant la formule que nous venons de trouver, nous ne pouvons manquer de nous convaincre qu'elle doit présenter d'importantes simplifications. Effectivement, d'après la nature de la question, la fonction cherchée F(X) doit être représentée par une fonction entière de X, tandis que la formule trouvée par uous contient le dénominateur ff(X) et offre une composition telle, qu'on n'aperçoit pas comment X disparaîtra de ce dénominateur. Cela résulte de ce que les fonctions 9" (a;), 90 (a^), déterminées par le développement de l'expression ' /(x) ^^ fraction continue, renfer-
ment X dans leurs coeffcients.
Afin d'amener notre valeur de F (x) à une forme qui en laisse voir clairement la composition, nous allons montrer de quelle manière on passe
des fractions convergentes de l'expression —yr ^ ■ aux fractions convergentes du produit ^~ '•. — — ^, et par snite, à la fraction |-ë!-
Pour plus de simplicité, nous admettrons que la fraction continue
résultant du développement de —~,-7— ne contient que des dénominateurs 5,, Î3, . . . . du premier degré en x; et que, par suite, les fractions convergentes
ont pour dénominateurs des fonctions des degrés 0, 1, 2,. . . . Nous représenterons ces fractions ('onçergenteB respectivement par
toW wiW %(ai) %(a:y .p,(a!)' +2^'
Il convient de faire observer encore que dans la fonction
le degré du numérateur peut être moindre, mais d'une unité seulement,
que le degré du dénominateur; ce qui exclut certains cas spéciaux, dépendant de conditions particulières entre les coefficients des fonctions ô(x)etf(x) et donnant au développement eu fraction continue une forme telle que plusieurs des dénominateurs îi, ?2' ■ ■ • ■ po"i''"aient être du deuxième, du troisième degré, ou de degrés supérieurs. De plus, il est aisé de se convaincre que cette exception ne saurait exister dans la fraction
pour aucun des cas de l'interpolation ordinaire, oà x„, x^, x^,. . . x^, racines de l'équation f(x) = 0, ont des valeurs réelles toutes différentes les unes des autres, et où la fonction ô (x), ne renfermant aucun coefficient imaginaire, prend pour x^Xq, x,, x^,. . . .x^ les valeurs finies ^, ^,
^, r-. Dans cette hypotlièse, on a effectivement, en se servant de la
notation de M. Cauchy (Journal de VÊcole Polytechnique 25-e Cahier),
et, d'après le procédé qui sert, à déterminer la valeur de J ( f ^. . ) ),
il est visible que pour f{x) de degré (n -+- 1) elle reste toujours iuférieure à (ïi -I- 1), si dans la fraction
résultant du développement de"^ ''^'. , , un quelconque des dénominateurs îiï S'a» ïsj- ■ ■ • ^^* d'un degré supérieur au premier.
Convaincus par ces considérations que les limitations que nous avons à la forme de la fraction continue déduite de la fonction y/-) -> n'ont point d'importance particulière, nous pouvons aborder à présent la détermination de M^,, c'est-à-dire de la dernière des Iractious convergentes fournies par le développement de l'expression '^~ Lj^ -■, dont les dénominateurs n'ont pas un degré plus élevé que m. Nous démontrerons que cette fraction est exprimée par la formule
~ désignent les fractions convergentes de l'expression "^-^Tj-y^, dont les dénominateurs sont des degrés m et «n- 1.
En effet, la composition de cette formule montre avec évidence que son dénominateur se réduit à une fonction entière d'un degré qui ne surpasse pas m. D'un autre côté, si nous prenons la différence entre cette même formule et l'expression ^——fj^- "\ nous trouvons
et cette différence ne peut être d'un degré supérieur à celui de
Car, d'après les propriétés des fractioDS convergentes, ]es deux termes
sont d'un degré moindre que . . ., et, par suit<^, que ^. Aiusi, la fraction
qui a un dénominateur dont le degré n'excède pas m, donnera exactement les termes de la fonction
jusqu'au terme dont le degré est le même que celui de l'expression
Mais cette fonction ne peut être représentée avec cette exactitude que par les fractions convergentes que donne son développement en fraction continue, et seulement par celles qui sont suivies d'autres fractions convergentes dont les dénominateurs ont un degré supérieur à m. Par conséquent, notre fraction est au nombre de ces fractions convergentes, et comme le degré de son dénominateur ne surpasse pas m, elle est la dernière qui possède un dénominateur de cette espèce et que nous avons désignée par |4^s-
Cette conclusion nous permet de remplacer, dans la formule du paragraphe précédent
les expressions
par celles-ci respectivement :
—^ [q.„ (X) ^^^, (Xe) - *„^. (X) 4.,„ w]
i«m*im-t,
„,m-mm
(X)+m-nW-
-*m-nm*»(-
Mais le dénominateur commun de toutes ces expressions se réduit à ( — 1)*" d'après la théorie des fractions continues. De sorte que la formule qui donne F{X) se ramène à la forme
F(X) = (- 1)"*" " *■"*-' ^'^l z *K*' " *" "°' »' W rw -*- (- i)"i-w*.^.M-w.w*.Wa.(,,,)j-(^,)-H
On peut l'écrire sons cette forme abrégée:
F(X) = (— If'^ ^'" '^' ^"'-^' '^/ 1 ^"'-^' ^^' '^'" '"'^^ 0' i^j) F{x,).
Voilà donc une nouvelle formule propre à la détermination de F(X) au moyen des valeurs F{x^),F{x,),F{x2),....F{x^. Elle se construit à l'aide des fonctions «{i^ (x), 'j)^^j (x), qui sont les dénominateurs de deux des fractions convergentes obtenues par le développement en fraction continue de l'expression-'^ fix) • ^^ ^^ composition même de cette nouvelle forme ou conclut sur-le-champ que c'est bien une fonction entière de X.
Nous allons maintenant faire voir comment la série, dont nous avons parlé dans la Note présentée l'année dernière à l'Acadéinie, se déduit de cette formule; et elle nous servira aussi à l'exposé de quelques propriétés des fonctions ^t, {x), 4'i i^), 'l'a (*)•■•■ i déterminées pai' le développement de —Jm ^" fraction continue.
La formule que nous venons de trouver donne F{X) dans l'hypothèse de la forme
F{x) = a -\- bx -t- cx^ -i- . . . .-^gx"'~^ -i~hx^.
Nous représenterons cette valeur de F{X) par T^, et pai' 7^^, la valeur dci^(a!), qui serait déduite de l'hypothèse, où F(X.) serait exprimée par
La formule nouvelle foumii'a les deux valeurs suivantes :
(4) r„ = (- ir '^ *•" '^' »"*' w 2 *---, m V w ^ ^^j y (^^).
Prenant la différence de ces valeurs, on trouve
Les propriétés des fonctions (jj^^^ (a;), i{j^ (ir), '|'„i (3;) permettent de simplifier notablement cette différence. Ces fonctions sont, en effet, les dénominateurs de fractions convergentes résultant du développement de l'expression y, . en une fraction continue
dans laquelle les dénominateurs
2i, Sa. 2n.'î«-i-i'
doivent être, par hypothèse, des fonctions linéaires de la variable x. On a donc conséquemment
Par suite, la règle générale pour la formation des fractions donne
et de là
Cliaugeant x en x^ et eu X, il eu résulte
+„-.,(2:)- ♦«-.(X) = (^™-,-iX+ B„^,) +„ (X).
Si l'on transporte ces valeurs daus celle de la différence Y^ — -^w—p ou obtieut
ou, eu réduisaut,
Posons dans cette relation m=l, 2, 3,....,(i» — 1), m successivement, nous aurons
et la somme de ces équations donnera
r„j aura donc pour valeur
r„ = r. — ^a +1 (x/i 4., (I,.) «' (ï,) Ffe) -H ^, ♦, (X)| j, {I,) 6' (i,) ii-ii,.) ■<-(— l)"^„^.,'^„(x)'i"+„(2:..)6'(»',)PW•
vGoOgle
Pour déterminer la quantité r^, faisons m = 0, dans la formule (4), nous trouvons
'j'o(^)î 'J'i(*) désignent les dénominateurs des deux premières fractions convergentes de l'expression --l^^-, dont le développement en fraction continue a reçu les formes
Il en résulte
et la fonction Z, devient
J"^ AiX(-i-Bi — A,X — B, .n, -, -r-, , t=a (=11
qu'on peut écrire
Y, = A, fc (X)'î\ (I,) tf' (X,) *>,.),
pourvu qu'on se rappelle que <^y(x)^ 1.
Au moyen de cette valeur, l'expression précédente de T^ , ou de la valeur de FiX) dans l'hypothèse
F{xj ^ a -+-hx -i- cx^ -I- . . , .-+- gx^~^ ~\- hx'",
prend la forme symétrique
Y^ = A,^, (X) 2.\ (x.) â\Xf) F{x.) — A^i^, (X) 2 4.^ (x.) ù^{x^) F(fl;^)-i- .... .... + (- irA^^^^„iX)^\^{x,)ô^x,)F{x,).
Dans cette expression les fonctions 4'o(^)t '1'i(^)j ^1(^)7- ■ • ■ et les constantes -^1, A^, A^,... se déterminent par le développement de la fonction fil) ^^ ""^ fraction continue de la forme
Les fonctions '{'^(a:), "!>, (i^), tjjj (a;) , . . . . sont les dénominateurs des fractions convergentes que l'on déduit de cette fraction continue; et les constantes Aj, ^3, As,—, sont les coefficients de x dans les dénominateurs g,, jj, fig,... Dans le cas pai-ticulier pour lequel la loi des erreurs est la même pour toutes les quantités F{x^), F{x,), F{x^),. . . on peut, conformément au § I, prendre toutes les valeurs ko, k,^, k^,.... égales à 1, et par suite la fonction 0 (x), déterminée par les équations
se réduit elle-même à l'unité. La formule trouvée ci-dessus prend donc alors la forme
r,„ - A, (1^0 (2)'|"<l'o (^i) n^ù — A l'i (^) ll^i i^i) ^(^f) -^ - • ■ ■
. . . .H-(- irA^^^^JX)2\{x,)F{x,).
Ici ^0 i^), 'l'i (^)) 'J's (^)7 ■ ■ ■ ■ ! Ay A' A'- • ■ • ^^ déterminent par la fraction continue que donne la fonction yr^'. C'est de cette série que nous avons parlé dans la Note déjà mentionnée *). Mais à présent nous ne nous bornerons pas à cette hypothèse particulière, qui réduit la fonction â(x) à l'unité, et nous considérerons la série dans sa forme générale. Nous serons ainsi conduit à des propositions curieuses sur les fonctions "lio (^), "('1 (^)j "l'a (^)," ■■
♦) La Note de M. TcLebichef, en date du 20 octobre (1 novembre 1854), ne contient cffectiTement qiio cette formule particulière. Les deux pages de cette Note se trouvent ainsi reproduites ici tout entiÈrefi, à l'exception du corollaire que Toici:
«Dans le cas particulier de »(,= — » ^1 = > ^2 = ■■ ■■ -,..., 3!„ = -— , et de
oB infiniment grand, cette formule fournit le développement de F (x) suivant les valeurs de (.certaines fonctions que Legendre a désignées par X"* (Exerc, part. V, § 10) et qui sont déterominéesparlarèductîondel'espreesionlog ^ en fraction continue {Note du traducteur).
Il n'est pas difficile de voir que si les quantités
FIx.), F(x,), P{x,) F{xJ
sont déterminées exactement par la formule
P[x) ^^ a -t- bx -t- cx^ -i- . . . .-t-^x'"^' -t~hx^,
notre série donnera l'expression exacte de cette fonction, quelle que puisse être la fonction â {x). C'est ce qui devient évident, si l'on remarque que la série résulte de la formule
F{X) = \ F{x^) -+■ \ F{Xi) -+- -I- X„ F{x^),
et que d'après l'une des conditions qui fixent les valeurs des facteurs X,,, Xj", X^,. . . .X^, les équations suivantes doivent être satisfaites:
\Xa -t-\x^ -\-\x^ -+-... .~t-l^x^ ==^ X,
\x^^-t-\x^^ -t-Xg3;/-i- -*-\^n =^'t
Or, en vertu de ces équations, la somme
quand on y remplace les quantités i^(a'o), F{x^}, F{x^),. . . .F(xJ par leurs valeur tirées de l'équation
F{x) ^^ a -t- bx ~i- cx^ -i- . . . .M- gx^~^ -h fer*", se réduit à
a-t-bX^cX^^-t- -i-,9X'"~'-hAZ'",
expression exacte de F{X), d'après l'hypothèse même
F{x) =:^ a -t-bx -*- cx^ -i- . . . . -(- gx^~^ -*- hx^.
Lors donc qu'il s'agit d'une fonction entière -PX^)) ^^ formule du paragrap]i<( précédent permet de la représenter ainsi :
P{X) = A, -!.„ (i) j\ K) «■ W -PW - A *■ (^), J*. W «' W ^H) H-. . . ■-t-(-ir^„,4'„(X)'î+„(!!;,)»'(:!^,)F(ï().
Si nous faisons nous trouverons '^JX)^ A, ^, (X}'2j,, (x,) 0^ (a:,) ^^ {%^ - ^, 