W {^ù 6* (ûT,-) F (X,-) 2 "'\ {Xi) 6' (^i) F (X

2 4'„'(^i)e=W La formule de Lagrange exprime la même fonction par la forme

'■y (X - X,) ÇK-x.,)....{X- Xj^,) {X - Xj^,). . . .

L'identité de ces deux expressions, quelles que puissent être les valeurs de ^i^a), F{Xi), F(x^),. . ., -F(a;J, exige que les termes qui out ces fonctions pour facteurs soient les mêmes dans l'une et dans l'autre. Si donc on compare les termes qui multiplient F(Xf), on aura la relation

{X-a:,){X~x^)....(X-Xi i]{X-

«i) i^i — i's)- ■ --(Xi-Xi^i) {X(-X{^,] . . . 2 •i>oHxi)6^ixil 2 •i^,-^{Xi)Q^{Xi) 2 ^^^ixi)(mxi)

Si l'on fait X = x , pourvu que t] ne soit pas égal à i, on obtient

Par l'introductiou du facteur j^^ on peut écrire cette expression de la manière suivante:

Faisant au contraire X = a;j., nous aurons

, ♦„» M »'(»,-) ^ »,' M »'("■■) ^ 2VW«'W 2*,= (i,-)9M',)

Ces équations, réunies aux équations (5), établissent une propriété remarquable des fonctions déterminées par la formule

Désignons ces fonctions par '/'^{a;); les équations construites tout à l'heure nous donneront

tant que ïj diffère de i, et

pour ri=i.

D'après la forme de la fonction <l^^{x) et les équations (5), il est aisé de remarquer que

1 ^^(x^) 0m^{Xi) = O, ou 1,

selon que m différera de nt ou sera égal à m. Car la somme dont il s'agit devient, par la substitution des valeurs de 0^(x), </>^ (x),

y 2 *mM*.-)6'w-) Y ^*'"

(^i)DH^i)

Or, d'après les équations (5), le numérateur s'annule ai m n'est pas égal à m; et si m^ = m, il devient égal au dénominateur, ce qui réduit la fraction à l'unité.

Ces propriétés conduisent h une autre que possède encore la fonction

■t'.nWÛW

composée avec les fonctions 4-0 (^)) '!'i('*^); 4'a(^)) •'^c-i q^î servent de dénominateurs aux fractions convergentes déduites du développement de la fonction - '^' ; , ■ - ■ en une fraction continue de la forme

Si de toutes les valeurs de la fonction '^^(x), obtenues en faisant ni:=0, 1, 2,. . . ., Il et x = x^^ x^, x^,. . . . x^, on compose le carré

00 {x^), ^0 (iTj), 0^ (x^), 00 (a:^),

0, (Xa), 0j [x^), *2>, (x^), 0, (œj,

^a(^o), ^3(3^1), ^2(^2), <PaK)>

^„K), 'Ki^i)> 'P„K1,- ■ ■ •'P„(3^„)-

la somme des carrés des termes d'une rangée quelconque, horizontale ou verticale, sera égale à l'imité; la somme des produits des termes correspondants de deux rangées horizontales ou verticales sera égale à zéro.

La construction de carrés de cette espèce fait le sujet d'un Mémoire d'Euler intitulé: Problema algehraicum oh affediones prorsus singulares memorahile (N. Comm., t. XV).

Les équations (5) démontreut encore facilement une propriété particulière aux fonctions

comparées à toutes les fonctions de même degré et de même coefficient de la plus haute puissance de x: pour ces fondions les sommes

2 \^ (x^) f? {x.\ ' i"-!// (a;.) 6^ {x^\ ' ïi\^ (ic.) (9^ (x.),

ont la plus petite valeur possible.

En effet, comme les fonctions <\/„ {x), '^^ (x), ■\'^ (x),...., '^/^ (x) sont respectivement des degrés 0, 1, 2. . , ., j», toute fonction entière V du degré m peut être exprimée ainsi:

V = A]>, (x) ^- B'Ij ix)-t-0\>^(x)~i- -+- ^^ (x),

Mais ici il faut prendre H=l, puisqu'on suppose que le coefficient de x"* est le même dans F et dans <}^^ [x). On aura donc dans cette hypothèse

V = A\>^ (x) -+- B^i (x) -i- a^^ix) -t- -H '!„ (x).

Il s'agit de trouver les valeurs des coefficients A, S, G, etc., qui rendent UQ minimum la somme

2 V^ù^x^)= 2 [A^,,{'!C.)-i-B'i^,(x;)-t-C'\>^{x^)-i- -*-^„,iXi)T 0^ i^i)

Le procédé connu du calcul différentiel nous donne les équations suivantes:

i V'I^o i^i) -*- B^i i^i) '*-0^,{x,)-i-....-t- ■\>^ ix.]] ^„ (x^) (? (x^) = 0, 2 2 "[^^0 {x;) -i- S']/, (Xi) -+- 0\-^ (x^) -+- H- '1^ (a;,.)] ■]>, (x^) (J" (a:.) = 0,

2 i"[^^ja;,.)-i-fi'|,{'^p-*-f43(^()-*- — -•-'KM'l'2(^f)^'{^,-)=^o,

Les équations (5) les réduisent à un seul terme

Ainsi les conditions du minimum de la somme 2 V 0^(x^), quand V est de la forme

A^„(x)-t-B^,{x)-i-0-l,,{x)-i- -^fc(i),

sont

et, par suite,

F=if„(3:).

Ou démontre encore sans difficulté que si l'on emploie la formule (6)

mn^ 'J'.(X)H-'-^Vb +,(X) + ....

s, V {»-,■) e' w 2 *,■ (II) (' (I,)

à déterminer par approximation une fonction quelconque F{X), on obtiendra pour l'exprimer une fonction entière du degré m telle, que la somme des carrés des différences entre les valeurs de cette fonction entière et les valeurs

correspondantes de F{X) pour X= a^o, x^, x^, x^, multipliés cliacuH

par &^(Xa), 6'(x^), 0^{x^, etc., respectivement, sera un minimum. Représentons effectivement la fonction cherchée sous la forme

A'i, (Z) •+- B<), (Z) -^ Of, (X) -.-.... -t- ff4i„ (X)

et cherchous les valeurs des coefficients A, B, G, , H pour lesquelles 1

2 [F(x,} ~ Ai), {!,) — Bi|), (i,) — et, te) .... — fl4 (i,)] ' 0' {x.)

sera un minimum. Nous trouverons les équations

2 2"[F(a:,) — Ai/, (i,) ~ Bij), (x,) — C»l>, (i,)....— «|)„ (a;,)] i|;„(i,) 6' (a:,,) = 0,

i^[F(xy — ^1, fe) — «<(., fe) — Cljjj (I,).. . .— ffi^. (!,)] 4-, fe) «' (!C,) = 0,

2 iV W — ^+. ^1 — Sif, (i,) — o|j, {!,)....— aj;,, (I,)] 4-, (I,) »' (I,) = 0 ,

2' 2"[F{3:,) — A'i, {X,) — B'J;, te) — Oj-, te')- ■■■-»('« Wl t K-) <'" (=».) = 0-

Kn vertu des relations (5), ces équations se réduisent à la foi'uie

22 F(x,)i/,{x^ù^{x,)— 2^ 2 i/,'{x,)lj'{x>i = l),

2' 2"i?te) <^, te) '" te) — 2b'ï V te) *' W = 0,

2' 2V te) t, te-) *' W — 20 2 V W »' (ï',) = 0.

2 2 Fte)'l'm(^i)*'W— 2/f2 <fite)*' W = 0.

2 +,te)PWF(i,)

2 VWS'W

2 VWl'W

En reportant ces valeurs dans l'expression

AJ/„ (X) H^ BJ/, (X) -1- C'h (X)-i-. .-t- B\,^ (X),

nous trouvons, conformément à ce qui a été avancé, que la formule cherchée pour F(X} est précisément

2 +„Ml'(«()»'W 2 ♦,(i,)l>Mr(i,)

'■^fci; fc (X) -H ^i^; i, (X) -+-

2 VMl'W 2 +,M»,-1 »•(».•)

1 ♦,(!,■) «'WFW '2'*„W{i>(i,)i-(«,)

2VW»'W 2+',.W)8«W