SUR LA CONSTRUCTION

(Biiilefcin de la classe physico-mathématitiue de l'Académie Impériale des sciences do St-Pétorsbourg, Torao XIV, 1856, p. 267—261.)

(Lu h 18 janvier 1856.)

Sur la construction des cartes géographiques.

Dans la cûDstructiou des cartes géographiques ou paryieiit facilenieEt à reproduire la figure d'une partie quelconque de la surface du globe de manière qu'il y ait constamment similitude eutre ses éléments infiniment petits et leur représentation sur la carte. Mais, le rapport d'agrandissement de différents éléments n'ayant pas la même valeur, les portions finies de la surface du globe, dans leur représentation sur la carte, se déforment plus ou moins, suivant les déviations de ce rapport de sa valeur normale, et comme ces déviations, dans les différents systèmes de tracé des cartes, présentent des valeurs plus ou moins considérables, on conçoit qu'il existe «n système, qui, dans la représentation d'une portion donnée de la surface du globe, réduit ces déviations au minimum^ et par conséquent représente sa figure le mieux possible.

C'est de la détermination de ce système de tracé des cartes que nous allons nous occuper. La question que nous aurons à résoudre présente une grande analogie avec celles qui ont été l'objet de notre Mémoire, intitulé: Théorie des mécanismes connus sovs le nom de parallélogrammes (Mémoires des savants étrangers, T. VU); où nous avons cherché, par un choix convenable des constantes d'une fonction donnée, à diminuer, autant que possible, ses déviations d'une autre fonction pour toutes les valeurs de la variable, comprises entre des limites données. Sous la condition d'un minimum de cette espèce, nous aurons à présent à chercher une fonction à deux variables, assujettie à vérifier une certaine équation aux différentielles partielles. Pour simplifier les formules, nous ne tiendrons pas compte de l'aplatissement de la terre; mais la même méthode peut être facilement étendue à toutes les hypothèses possibles sur la forme du globe.

D'après la notation de Lagrange (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin. Année 1779), le rapport d'agrandissement s'exprime ainsi:

ce qui donne

où la somme de deux premiers termes, composés des fonctions arbitraires, n'est évidemment que l'intégrale do cotte équation

Donc, les écarts du rapport d'agrandissement dépendent des déviations de la fonction log ■^u^g-ù et de l'intégrale de cette équation. Or, d'après les propriétés remarquables de cette équation, on parvient à reconnaître que le minimum de déviation de son intégrale de la fonction log u ^ —a , dans l'espace limité par une courbe quelconque, ne peut avoir lieu, à moins que la différence

n'ait sur cotte courbe constamment la même valeur. Donc, par l'intégration de l'équation

sous cette condition, on aura la valeur de

U = ^\og[f(u-t~tV~l)]-*-^\oslF'iu—tV~l)],

à une constante arbitraire près, et de là on tirera les valeurs des fonctions

f '(u-Hty—l), i^(M — /y — 1),

qui, à un facteur constant près, seront celles qui donnent la projection la plus avantageuse. Quant à leur facteur constant, qui reste inconnu, il se détermine facilement d'api'ès la valeur normale du rapport d'agrandissement. D'après cela on parvient facilement à assigner tous les cas dans lesquels ou peut parvenir à la projection de la carte la plus précise, en prenant pour méridiens et les parallèles des arcs de cercle. Dans sou Mémoire, cité plus liant, Lagrange a montré que dans toutes les méthodes de projection qui jouissent de cette propriété, très importante pour la pratique, le rapport d'agrandissement s'exprime ainsi:

u ^ -u r<*^ «'''" -*- 2 a6 cos 2c {t-ff)->- i* <!— «""1 .

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DoQC, d'après ce que nous venons de dire, ces méthodes de projection ne peuvent donner la représentation la plus précise d'un pays quelconque,

à moins que sur les bornes de ce pays on n'ait

log m= — logj^~^zrii[a^e'*"-i-2o6cos.2c(ï-g)-i-fe^e^^'*1} = coustante,

ou, ce qui revient au même,

( log ^ ^„-log («e*"-^ ('-ff)/-i ^ je-™-««-ff) /-i)j

{\)logm^\ ' ~^^ î=constante.

( -log (ae'"-' *'-»>>^-' -•- he-"^' """i >^-^j|

Pour simplifier cette équation, nous transformerons les coordonnées, en prenant pour le pôle, le point, où log m devient minimum, et pour premier méridien celui qui passe par le pôle primitif. Soit ^o et 90" — z^, la longitude et la latitude de ce point, et convenons de désigner par T et 90" — Z la longitude et la latitude dans le nouveau système des coordonnées. Si l'on observe que, d'après la notation de Lagrange que nous employons, M désigne log (tang -|-}, 90**— 2 étant la latitude relativement au premier pôle, et t la longitude, on parviendra facilement à ces équations très simples:

/ / tnng^^-tang— eïV-i

e""^'^ =tangy " '

= tang 7

1 - tang ^ tang -^ fi îV-i fangy-i-tang-e-y/-i 1 — tang -^ tang — e-TV'-i

En portant ces valeurs dans l'équation (l)^ct en remarquant que log m devient minimum pour Z= 0, nous trouvons que cette équation, aux quantités de l'ordre tang* -^ près, devient

- taug^ -g- := constante,

et comme dans la projection stéréograpliique, tt une facteur constant près, on a

X = tang -^ sin T, y = tang y cos T,

cette équatiou nous donne

sinî£o-i-4c^--]

Donc, si l'OQ cherche la projection d'un pays assez petit, en prenant pour les méridiens et pour les parallèles des arcs de cercle, la projection ne peut s'approcher notablement de celle de la plus précise, à moins que ses limites, dans leur projection stéréographique, aux quantités de l'ordre tang' -j près, ne vérifient cette équation

et, par conséquent, ne présentent une courbe du second degré qui sera évidemment une ellipse, car cette courbe doit être fermée.

D'après l'équation précédente ou voit qu'un des axes de cette ellipse

suit la direction du méridien et que leur rapport est égal à l/^!",'""" ^2^! . Donc, s'il s'agissait de projeter une portion de la surface du globe, limitée par une pareille courbe dont les axes sont en rapport de 1 : », l'exposant de projection serait déterminé ainsi:

(2c/=l-+-J^ sin^^fl.

Cette équation nous montre qu'il existe une liaison intime entre la configuration d'un pays et la valeur la plus avantageuse de l'exposant pour sa projection.

D'après les équations dont nous venons de parler, quelle que soit la forme du pays, on peut déterminer et le centre de projection et la valeur de l'exposant de la manière la plus avantageuse pour la précision de sa carte. C'est ce que nous nous proposons de montrer dans un Mémoire détaillé sur la construction des cartes géographiques.

SDR LA CONSTROCTMN

KXSGOURS,

PROKOHCS Le 8 fEVRIER 1856

DANS LA SEANCE SOLENNELLE DE L'UNIVERSITE IMPERIALE DE ST.-PÉTERSBOORG.

(TRADUXX PAR ». A. GRAVÉ.)

^izpZ'Suic' zco^pat^U'Z.ccâucc'^ âapi

QyiuMeuie, uanucannoe dm mopMecmeeuHmo mma

A 9^MJtepaînopcÂoM^ &.= MemepSifpzcÂojii^ 'r/nuêcpoii

8 (fjeupajiH 1850 loàa.

Messieurs!

Les Sciences Mathématiques out été l'objet d'uue attention particulière dès la plus haute antiquité. Elles excitent aujourd'hui encore un plus grand intérêt à cause de leur influence sur les Arts et l'Industrie. Le rapprochement de la théorie et de la pratique donnent les résultats les plus féconds. La pratique n'est pas la seule à tirer profit de ces rapports: réciproquement les sciences elles-mêmes se développent sous l'influence de la pratique. C'est elle qui leur découvre de nouveaux sujets d'étude et des points de vue nouveaux sur les sujets connus depuis longtemps. Malgré le haut degré de développement auquel sont parvenus les Sciences Mathématiques grâce aux travaux des grands géomètres des trois siècles derniers la pratique démontre clairement qu'elles sont incomplètes à plusieurs égards. En effet elle pose à la Science des questions essentiellement nouvelles et provoque ainsi la recherche des méthodes inconnues jusque là. Si la théorie retire un grand profit d'appUcations nouvelles d'une ancienne méthode ou de ses nouveaux développements, elle en tire encore un plus grand de la découverte des méthodes nouvelles. Dans ce cas la science trouve un guide sûr dans la pratique.

L'activité pratique d'un homme embrasse de si multiples variétés que pour satisfaire à toutes ses exigences la science manque évidemment de beaucoup et de diverses méthodes.

Mais entre ces méthodes ont une importance particulière celles qui sont nécessaires pour la solution de différentes variétés d'un même problème, applicable à toute l'activité pratique d'un homme: comment faut U disposer de ses moyens pour acquérir les plus grands avantages possibles.

La solution de ce genre de problèmes fait l'objet de la théorie des maxima et des minima. Ces problèmes d'un caractère pratique ont aussi une importance particulière dans la théorie. Toutes les lois qui régissent les mouvements de la matière pondérable ou impondérable ne sont rien moins que des solutions de pareils problèmes. On ne saurait trop reconnaître leur

influence particulièremeut favorable au dévelop]iemcnt des sciences Matliématiques.

Avant l'iuvention de l'Analyse des infiniment petits on ne savait à résoudre que quelques problèmes particuliers de ce genre.

Cependant dans ces solutions se trouvait déjà le germe de la plus importante branche des Sciences Mathématiques connue à présent sous le nom de «calcul différentiel». Pour montrer l'influence qu'ont eu sur la découverte de cette science les questions des maxima et des minima permettez moi de vous citer un passage de l'oeuvre immortelle de Newton «Philosophiae naturalis principia mathematica». L'auteur, rappelant les origines de cette découverte dont les applications et les résultats sont aujourd'hui innombrables, s'exprime ainsi:

'(Dans les lettres que j'ai échangées il y aune dizaine d'années (1677) avec l'habile géomètre Leibnitz, lui ayant annoncé que je possédais une méthode pour déterminer les maxima et les minima, conduire les tangentes et résoudre les questions semblables, et que . cette méthode réussissait aussi bien pour les expressions irrationnelles que pour les autres; comme je la lui cachais sous des lettres transposées représentant la phrase suivante: étant donnée une équation qui contient des fluentes, trouver les fluxions et réciproquement, l'illustre Leibnitz me répondit qu'il avait également trouvé une méthode analogue qu'il me communiqua et qui ne différait de la mienne que par les mots et la notation».

(Note sur la proposition VII du second livre, éd. 1713).

Toutefois la découverte du calcul différentiel et la solution des problèmes analogues à ceux qui avaient provoqué cette découverte n'ont pas épuisé complètement la matière. Les recherches de Newton lui-même en sont une preuve manifeste: en effet il a résolu la question suivante: «quelle forme doit avoir un corps se mouvant dans un fluide pour qu'il y éprouve la moindre résistance». Cette question présente le problème des maxima et des minima essentiellement diffèrent de ceux qui sont résolubles par le calcul différentiel. La méthode générale pour résoudre de tels problèmes, si importants pour la Mécanique Analytique, a conduit à la découverte d'un nouveau calcul connu sous le nom du ncalcul des variations».

Malgré ce grand développement des Mathématiques par rapport à la théorie des maxima et des minima il n'est pas difficile de remarquer que la pratique va plus loin. Elle exige en effet la solution, des problèmes d'un nouveau genre sur les maxima et les minima, essentiellement différents de ceux que l'on sait résoudre par le calcul différentiel et celui des variations.

Comme exemple de pareilles questions et de la façon dont on peut les résoudre nous pouvons citer nos recherches sur le parallélogramme de Watt,

imprimées dans les «Mémoires des savants étrangers» de notre Académie, 1854. On voit par les résultats que nous avons obtenus en considérant la méthode nécessaire pour la détermination d'une meilleure construction des mécanismes de ce genre, que dans ce cas les questions de la pratique mènent à plusieurs résultats théoriques intéressants pour la science, on voit aussi que les méthodes inspirées par la pratique présentent un moyen pour résoudre de nouvelles questions théoriques intéressantes même indépendamment de leur valeur pratique *).

La construction des cartes géographiques présente un autre exemple des questions de ce genre particulièrement remarquable. Daus l'état actuel de la théorie des cartes géographiques on peut indiquer un nombre infini de différents procédés de les construire de telle sorte que les éléments infiniment petits de la terre conservent sur la carte leur forme originale. Mais d'après la propriété de la surface sphéroïdale de la terre le rapport d'agrandissement des différents éléments doit être nécessairement variable, donc les éléments égaux de cette surface pris daus différents lieux se présentent sur la carte avec diverses dimensions. Plus les changements du rapport d'agrandissement sont considérables plus la carte est altérée. Comme l'amplitude de ces changements du rapport d'agrandissement dans 'étendue d'une même partie de la surface terrestre est plus ou moins considérable en rapport avec la projection admise de la carte, la question suivante se pose d'elle même:

Pour quelle ^projection ces changements du rapport d'agrandissement sont ils les plus petits?

•) Ainsi aous troavoua ici entre autres la solution de la qnestion suivante;

«La fonction entière a;"" ■+■ Ja!*" — i -*- Bx^'~^ -i- 0**" — *-i- ...-*- S Tarie évidemment avec x; qnel est le moindre degré de ses changements?» Et pnis «pour quelles Taleurs de A,B, C,...ff atteind-elle cette limite?».

La solution de ce problème mène à beaucoup de rëaultatâ intéressants de l'Algèbre Supérieure. Par eiemple

1) Si l'ona/(x) = 3;"-(-Ba:*'~*-i-Ca;"~*-«- .... -i- fl on trouvera entre les limites ft et &±4 y'±^f (h) aa moins une racine de l'une des équations /{x} = 0,/' (as) = 0. Le signe

du radical est déterminé par le signe de la fraction — j, .j! . Cette proposition a une application importante dans la théorie de la séparation des racines par la méthode de Fourier.

2) L'équation x^-^'l-^- Bx^—^ -t- Oa;»*»^' -t- ...-»- Hx±K=0 a, toujours une racine entre les limites

ai-i-i an-t-i

d'où il résulte la propriété suivante des équations:

Dans l'équation œï"-'-'-i-BiS**»—> -H C!C«"—>-t- ...-l-Bai±£=0, ne contenant que les degrés impaires de x, aii K est compris entre — 2 et -»- 2, on trouvera au moins une racine entre les mêmes limites.

Daus une Note, lue par moi dans la séance du 1 8 Janvier à rAcadémie Impériale des sciences, j'ai montré que cette question, traduite en langue d'Analyse, se ramène à un problème particulier des maxima et des minirna, essentiellement diiférent de ceux qui se trouvent résolus dans le calcul différentiel et dans celui des variations. Ce problème est semblable à ceux qui ont été l'objet de mou Mémoire ci-dessus mentionné sur le parallélograme de Watt, mais se rapporte à un ordre supérieur de pareils problèmes: on cherchait là certaines quantités constantes tandis qu'ici il faut trouver deux fonctions inconnues, ce qui correspond à la détermination d'un nombre infini de quantités constantes. Cela établit entre ces problèmes une distinction analogue à celle qui existe entre les problèmes du calcul différentiel et ceux du calcul des variations. Ce sujet est d'autant plus intéressant sous le rapport théorique qu'il se ramène à l'investigation d'une équation aux dérivées partielles extrêmement remarquable, qui exprime, p. ex,, aussi l'équilibre de la chaleur dans les membranes infiniment minces. Ainsi la question sur la meilleure projection est liée à la propriété remarquable de la chaleur, à savoir: lorsque la chaleur est en équilibre daus une membrane circulaire infiniment mince, la température au centre est une moyenne des températures dans tous les points de la circonférence; une proposition semblable est vraie pour la sphère: la température au centre est une moyenne des températures à la surface.

La solution définitive du problème de la meilleure projection est très simple: la meilleure projection pour la représentation d'une certaine partie de la surface terrestre sur une carte est celle dans laquelle le rapport d'agrandissement conserve une même valeur sur la limite de la région représentée, valeur, qu'il est aisé de déterminer d'après la valeur normale du rapport d'agrandissement. Quant à la détermination de la projection ayant la propriété ci-dessus, elle se ramène à la solution d'un problème ordinaire d'intégration des équations aux dérivées partielles, lorsqu'on donne la valeur de l'intégrale sur le contour, à l'intérieur duquel elle doit rester finie et continue.

On trouvera ainsi la meilleure projection pour représenter chaque pays sur la carte. Cette projection sera déterminée par la position du pays par rapport à l'équateur ainsi que par la forme de sa frontière. De plus, les parallèles et les méridiens se représenteront par diverses courbes qui seront peu différentes do'cercles'et de droites, si on projette une partie peu considérable de la surface terrestre. On construit sans aucune difficulté ces lignes par points. Les cas, dans lesquels les méridiens et les parallèles se représentent exactement par cercles et par lignes droites sont particulièrement remarquables; la construction des cartes de petites dimensions en de-

vient plus facile. Lagrange, dans ses Mémoires «Sur la coDstructiou des cartes géographiques», a déterminé toutes les projections où cette circoustance a lieu. D'après les propriétés générales de la meilleure projection il est aisé de montrer pour quels pays ces projections seront les plus avantageuses: les contours de tels pays seront déterminés par des points pour lesquels le rapport d'agrandissement dans ce genre de projections conserve une même valeur. Les contours des pays déterminés de cette manière représentent en général des courbes assez compliquées. Mais en diminuant les étendues des régions représentées sur la carte, ces courtes se simplifient et se rapprochent rapidement des ellipses, dont elles ne s'écartent qu'insensiblement quand on représente des régions même assez considérables, telle que, par exemple, la partie Européenne de la Russie. Ces ellipses ont certaines positions déterminées: leur centre se trouve au centre de la projection et un des axes longe le méridien. Le rapport des axes de ces ellipses se détermine par la position de leur centre par rapport à l'équateur et par une quantité particulière nommée par Lagrange exposant de la projection.

Inversement pour représenter sur la carte une partie de la surface terrestre, pas trop grande et limitée par une pareille ellipse, on peut trouver le mode de projection qui changerait les parallèles et les méridiens en cercles ou lignes droites et donnerait la représentation se rapprochant de la plus parfaite. I! faut pour cela, d'après ce que nous avons 'dit plus haut, prendre le centre de la projection et son exposant d'une manière convenable, tenant compte de la position du paya et de la forme de ses contours *).

C'est pour cela que les cas particuliers des projections effectuées avec la conservation de la similitude des éléments infiniment petits, telles que, par exemple: la projection stéréographique, polaire et horizontale, les projections de Gauss et de Mercator, qui se déduisent toutes de la méthode générale dans les hypothèses particulières à l'égard de la position du centre de la projection ou de son exposant, ne peuvent donner la représentation se rapprochant à la plus parfaite que pour certains cas particuliers.

Ainsi si l'ellipse mentionnée se transforme en un cercle, l'exposant devient égal à 1, et la meilleure projection se ramène en général à la projection stéréographique horizontale, qui se transforme en projection polaire, lorsque le centre du cercle coïncide avec le pôle terrestre. En diminuant

*) L'exposant de U projection se détermine par la formule 1/ 1 -4- -^ — : cos^ I, où l est

la latitude du centre et n le rapport de l'axe dirigé suivant méridien à l'antre axo.

(Voir ma Note: «Sur la construction des cartes géographiiiues», lue à l'Académie le 18 Janvier).

l'axe de l'ellipse dirigé suivant le méridieu, la meilleure projection se rapproche de celle de Gauss. Cette projection se transforme en celle do Mercator, en rapprochant le centre à l'éqnateur.

Il est évident, que ponr obtenir la meilleure carte des différents pays il ne faut pas se borner à un ou à quelques procédés particuliers de la projection, mais il est nécessaire de faire usage de la méthode générale, en choisissant chaque fois d'une manière convenable le centre de la carte et la valeur de l'exposant.

D'après ce qui a été dit plus haut, on fait aisément ce choix pour la représentation d'une telle région de la surface terrestre dont le contour est une ellipse avec un axe dirigé le long d'un méridien. Mais la pratique ne donne jamais des cas si simples; les contours des divers pays ont toujour ta forme de courbes extrêmement irrégulières. Malgré cela, pour la meilleure représentation d'un pays peu étendu on peut déterminer la position du centre de la projection, ainsi que la valeur de l'exposant, en comparant la forme du contour du pays avec une ellipse ou quelque autre section conique. Il suffit pour cela d'avoir seulement une représentation approximative du pays, pour la carte duquel on cherche la meilleure position du centre et la meilleure valeur de l'exposant; on peut donc employer ici une carte construite d'après une méthode quelconque.

On peut, à proprement parler, faire ici trois hypothèses différentes qui donnent lieu à trois solutions différentes; mais eu les comparant entre elles il n'est pas difficile d'eu trouver la plus avantageuse. Premièrement: on peut considérer la région projetée comme une partie de l'espace limitée par l'ellipse ayant son axe le long du méridien; cela correspond toujours à la solution la plus avantageuse pour les pays dont la plus grande extension dans la direction des méridiens et des parallèles se trouve sur ceux qui passent non loin du centre. Ce cas se rencontre le plus souvent dans la pratique.

Deuxièmement, la région projetée peut être considérée comme la partie de l'espace entre deux ellipses, hyperboles ou paraboles disposées semblablement. Cela peut donner la solution la plus avantageuse pour représenter seulement des régions courbées en forme de faucille ou présentant une baude étroite inclinée par rapport aux méridiens et aux parallèles.

Troisièmement, la région peut être comparée à l'espace compris entre les branches de 2 hyperboles inverses: ce qui correspond aux pays dont les contours sont considérablement concaves par rapport au centre *).

*) Pour l'espace qui est limité par une ellipse -^ -•- "L = 1 ^»"s '^ projectiou atéréograpbique horizontale de rayon = 1, la limite des écarts du rapport d'agrandissement (la différence-

En nous arrêtant à la première supposition, à laquelle se rapporte la plupart des cas, qui se rencontrent dans la pratique, nous remarquons que de toute la multitude des ellipses, qui peuvent être circonscrites autour de la région représentée, la projection la plus avantageuse sera déterminée par la plus petite de ces ellipses, si nous prenons pour mesure de comparaison des différentes ellipses la longueur du diamètre moyen, qui est également incliné vers les deux axes.

n n'est pas difficile de trouver, d'après la forme du contour de la région représentée, les points sur lesquels cette ellipse sera appuyée, et de construire par ces points ses axes et son centre. Le centre de cette ellipse sera la position la plus avantageuse du centre de la projection. La position de ce centre et le rapport des axes de l'ellipse détermineront le meilleur exposant. — Tout cela se rapporte, à proprement parler, à la représentation sur la carte des contrées très petites; mais il est aisé de trouver pour des régions plus vastes par la méthode générale d'approximations successives des corrections dans la position du centre de la projection et dans la valeur de l'exposant. De cette manière sera déterminé le meilleur procédé de construction de la carte d'un pays donné dans laquelle les parallèles et les méridiens conservent leur forme circulaire.

Nous voyons de là, que la construction des cartes géographiques appartient aux questions de la pratique qui se résolvent différemment pour divers pays. Le procédé de construction avantageux pour la représentation de la France, de l'Allemagne où de l'Angleterre peut être désavantageux pour la Russie. D'ailleurs la Russie, à cause de son étendue, présente des difficultés particulières pour sa représentation sur la carte; par cette raison le choix de la projection, qui correspond le mieux à son étendue, à la forme de ses frontières et à sa position par rapport à l'équateur a une importance particulière. Sans parler des cartes qui embrassent toutes les parties de la les cartes de ses différentes parties donnent des changements très

entre ses valeurs, la plus grande et la plus petite, divisée par sa valeur moyenne) s'exprime ainsi -; — rsl pour l'espace entre denx ellipses — î-«-It=X*. -s-'-^ = l <'6"* limite est égale

~^ — 'ts — ; entre deux hyperboles -^ — ^— X', — — fs =1 elleeetegalea \ , . ■ „, ; a' -I- 0' œ' 0' o' 0* ^^ (1 — o'f

entre deux paraboles x" =^ 2 py •*- rt, afl =: 2 py -t- <i^ elle est égale à2(a — a'); enfin dans

l'espace entre deux branches de deui hyperboles inverses — ^ — jâ^^i ~ — ïs ~ — ^^

la limite des écarts du rapport d'agrandissement est égale â ^, ^ — iiï"- '-'^^ résultats se

déduisent des dernières équations de la Note citée, et ils sont exacts à tg' — près, oii m est la

distance angulaire des points de la région projetée jusqu' au point qni est pria pour centre de la projection stéréo graphique.

sensibles du rapport d'agrandissement. Ainsi, en représentant sur la carte par la méthode de Gauss tout ce qui appartient à la Russie de ce côté des Monts Ourals, on admet des changements du rapport d'agrandissement qui surpassent ^ , ce qui donne pour la mesure des surfaces une différence d'une lieue carrée sur dix, une erreur très considérahle. L'erreur de la carte devient plus petite dans la projection stéréographique horizontale avec un centre convenablement choisi, mais ici encore les différences du rapport d'agrandissement atteignent g^, ce qui donne pour la mesure des surfaces une différence d'une lieu carrée sur dix-sept. Ces erreurs ne sont pas assez petites pour qu'on puisse les négliger ; le moyen pour les diminuer consiste dans la détermination de la projection qui correspond mieux à la forme et à la situation du pays représenté.

En examinant cette partie de la Kussie sur la carte, nous remarquons que le contour général de ses frontières est loin de s'approcher des ellipses dont l'axe' est dirigé le long du méridien, et dans ce cas iln'estpaspossible, comme nous l'avons déjà vu, d'atteindre la meilleure représentation sur la carte en laissant les méridiens et les parallèles circulaires ou rectilignes. Une pareille simplification dans la construction de sa carte conduit à une diminuation considérable du degré de la régularité de la représentation. Pour atteindre la représentation la plus précise, il faut déterminer, d'après ce qui a été dit plus haut, le procédé de projection par l'intégration d'une équation particulière. Cette intégration devant se faire sous une condition qui dépend de la forme des contours et ces contours étant des courbes très compliquées, l'intégration exacte est évidemment impossible. Mais la pratique ne l'exige pas. Il lui suffit de se borner dans les changements du rapport d'agrandissement aux dixmillièmes, et dans ce cas tout se ramène à la détermination de quelques coefficients, qui sont faciles à calculer, avec une approximation suffisante pour la pratique, d'après la forme du contour, quelque décourbé qu'il soit. Quant aux parallèles et aux méridiens, on peut les construire sans difficulté par points.

Passant aux procédés les plus simples de la construction des cartes, où les parallèles et les méridiens sont des cercles et des droites, nous remarquons que les domaines de la Russie de ce côté des Monts Ourals, y conclus le Caucase et la Géorgie, s'étendent plus du nord vers le sud que de l'est à l'ouest. On ne peut donc pas comparer cet espace avec un cercle et d'autant moins avec une ellipse dont l'axe dirigé du nord vers le sud est très petit en comparaison avec l'axe dirigé de l'est à l'ouest. Par conséquent, d'après ce qui a été dit plus haut, nlla projection deOauss, ni la projection stéréographique ne correspondent pas à la figure de la région pro-

jetée. Nous remarquons, en appliquant dans ce cas la méthode indiquée par nous pour la détermination du ceutre et de l'exposant de la projection, que le centre de la plus petite ellipse se trouve entre Jaroslaff et Ouglitcli sur la longitude 57° et la latitude 57° 36'. Cette ellipse, ayant son axe dirigé le long du méridien, embrasse tous les domaines de la Russie jusqu'aux monts Ourals, ÎDclusivement avec le Caucase et la Géorgie, et le rapport de ses axes est égal à ^. Prenant pour base cette ellipse nous trouvons qu'à la projection la plus avantageuse correspond l'exposant 1,0788*). Cette valeur diffère moins que d'une dixième de 1 qui est l'exposant de la projection stéréographique. Néanmoins cette différence a une influence considérable sur le degré de précision de la construction. Nous avons vu que la projection stéréographique, dans le cas de la position la plus avantageuse du centre, donne pour l'espace de la partie considérée de la Russie l'écart du rapport d'agrandissement égal à ^7. Prenant la valeur trouvée 1,0788 comme exposant de la projection et son centre enti'e Jaroslaff et Ouglitch (longitude 57°, latitude 57°42'30"), nous avons obtenu une carte de cette partie de ia Russie dans laquelle les écarts du rapport d'agrandissement ne surpassent pas g^. C'est la plus grande exactitude qu'on puisse atteindre avec des parallèles et des méridiens rectilignes ou circulaires.

D'une manière semblable, Messieurs, la plupart des questions de la pratique se ramène à des problèmes des maxima et des minima, tout à fait nouveaux dans la science, et ce n'est que ]iar la solution de ces problèmes que nous pouvons satisfaire aux exigences de la pratique, qui cherche partout le meilleur et le plus a

*) La formule de la note ') donne, en posant l ^ 57°36', n ■^= 1,7, pour l'exposant de îa carte ia valeur 1,0675. Nous trouvons, en calculant les corrections, qu'il faut, a^joutcr 0,0113 à cette valeur; pour la latitude du centre de la projection on trouve 57°3G' + C'30"~ 57°42'30". Sa longitade reste égale à 57°.

SDR

(Bulletin de 1» Classe Pbysico -Mathématique de rAcadémie Impériale des Sciences de

St. -Péterebourg, Tome XV, 1857, p. 289— 307. JonrEal de Mathématiques pures et

appliquées H série, T. H, 1857, p. 166—183; sane le dernier §.)

<Im U 30 janvier 1857.)

Sur la série de Lag^range.

§ 1. L'iutégratiou par parties donne la série de Taylor et le terme complémentaire avec une extrême facilité; que manque-t-il à cette méthode pour donner d'une manière aualogue la série plus générale, due à Lagrange? Toutes les méthodes d'après lesquelles on parvient à la série de Taylor sont plus ou moins susceptibles de donner la série de Lagrange; la méthode d'intégration par parties est la seule qui présente une exception. En cherchant à combler cette lacune, nous avons reconnu qu'il ne s'agissait que de donner une certaine extension à la méthode de réduction des intégrales, connue sous le nom d'intégration par parties^ extension qui parait être utile dans plusieurs autres cas.

L'intégration par parties se réduit à l'identité

Si l'on ne séparait point les facteurs du produit 0 (ce) 4" (^), on pourrait écrire cette identité de la manière suivante:

^0{xy\{x)dx^jO{x"^{(>^)dx'—[^^^^^^^^^^dx,

en supposant qu'on supprime les accents de x' et x" après avoir fait les opérations, qui se rapportent exclusivement à ces quantités.

Or, en représentant sous cette forme l'intégration par parties, on reconnait sans peine que rien ne s'oppose à ce qu'on l'applique au cas, où le produit 0 {x") <^ {x') est remplacé par une fonction quelconque de deux lettres x' et 0^'. C'est là le changement nécessaire pour qu'on puisse en tirer la série de Lagrange par le même procédé qui conduit à la série de Taylor.., L'énoncé de cette réduction peut se faire en ces termes: Si Von convient de ne distinguer x et x" de x que dam les opérations qui se rapportent exclusivement à x'' ou x', on a

(1) Jrtit-, <^') dx=if(<d, x') fe'- f ''J>'">"''"' &.

Il n'est pas difficile de remarquer que la réduction des intégrales, dont nous venons de parler, ne diffère que par son énoncé de celle que M. Bertrand a donnée dans le VIII Tome du Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. lÂouville.

Pour montrer la manière de se servir de cette réduction, supposons qu'il s'agisse de réduire l'intégrale

^{cQ^x-t-e") dx.

On commencera par mettre l'expression cosx-^-e" sous la forme d'une fonction de deux lettres x, x", ce qu'on peut faire, évidemment, de différentes manières. Si l'on s'arrête au cas, où l'on donne un accent à x sous le signe de cosinus et deux accents à l'exposant de e, l'e;

devient

cos x -+- e^",

et alors, d'après la formule (1), on aura

I (cos x -+- e^") dx=j (cos x -+- e"'") dx' — f "^ ^ '""' '""^^ '^"^ '^'"' dx

= siii x H- x e*" — J a;' e^" dx,

ou, en supprimant les accents,

j {C0& X -t- e^) dx = sin x-^-xe^ — jxe^ dx.

En intégrant par rapport à x nous avons pris pour constante zéro; mais rien n'empêche de prendre une valeur quelconque, qui peut être même une fonction de x". Pour s'en assurer on n'a qu'à remarquer que la formule {!), étant différentiée par rapport à x, se réduit à cette identité

rtx', x") = /-(x', x'} -4- iu&ia: -</">""'«■.

§ 2. Passons maintenant à la démonstration de la série deLagrange. Nous supposerons qu'on ait

X — a = ïitp(Z),

et que l'on cherche le développement de F{X) suivant les puissances croissantes de T],

Imitant la marche ordinaire qui mène à la série de Taylor, mettons la valeur F(X] sous la forme

F(X) = F (a) -+- J F'{x)dx.

Puis, remplaçant dans la dérivée F {x) la lettre x par x , nous trouvons d'après la formule (1)

J F' {x) dx = l F' ix") dx=j F' ix") dx - f ^^^^'Jp^"' dx

= i,'^C)I^ix"}-l'J^^§^:^d., ce qui donne

J- F' {x") dx = {x -a-tif {x"}) F' (x") — | rf(^'-''-^y))J-(x") ^^^

eu prenant

G= — a — 7] cp (,«").

Remarquons en passant que cette valeur de G présente une grande analogie avec celle que l'on emploie dans le même cas, en cherchant la série de Taylor.

Si l'on applique de nouveau la formule (1) à, l'intégrale

J du;' '

on parvient à la réduction

^d{x'-a-riv(x"))F'(x"]

dx =

— ¥ 1S> ïj (Et

Il ne reste qu'à poursuivre la même marche et l'on obtient successivement

J wr

1 d' (■»' ---w (»;"))' -8" (I") 1 pj (:.■-. -.!,.(»"))■>-(«■).

— 3 JSy s J (il")' "■^i

I (ÎÏTi ""^

1 #(»'-»-w(-'"))'J"(»") 1 f j' (.!'-« --iTte'T F' (»"l J.

et ainsi de suite.

La substitution de ces valeurs donne pour l'intégrale indéiinie

yF'(x)dx

cette expression

j F' {X) dx = {x- — a~ 119 {x"))F' (x") — | '^'^-"-^y"')'-^"'^"' ». ^3 (ifcc")^ ■■■ 2.3,..,» (rfœ")"— 1

(-1)" /■ffnt^^^^,^^;^-))»^,,^^,-^

^2,3... ni [dx'T

Eu passant à l'intégrale définie

j F'{x}dx,

on reconnaît d'abord que pour x = x' = x" = a les termes hors du signe d'intégration deviennent

Ensuite, pour x^x =x" = X, X étant racine de l'équation

X — a — 7if{X),

ces termes se réduisent tous à zéro à cause du facteur x' — a — Ï19 (x") qui y reste, malgré toutes les diiférentiations, et qui s'annule, en vertu de l'équation précédente, pour x = x" = X. Donc

\F {3:)d^=:7iF(a)9((t)-i- 2- dL "^ 2^ di^"^ "^

(dx")» '

et par conséquent

F{X) = F{a)^^F\x)dx =

Ainsi l'on parvient à la série de Lagrauge

F(X] = F{u) ^ , t' (») <p («) + f 'ZLkipi ^

et l'on voit que le terme complémentaire a pour valeur

(-1)" r^ri"(^'-a-^yl^'0)"-F'(a;'0 , 2,3. ...nj„ " Wr '

OÙ on supprimera les accents de x et x" après avoir fait les différentiations par rapport à x". Cette valeur peut être, évidemment, présentée sous cette autre forme:

âTs::".» j „ d^ ■ "^'

eu faisant i = 0 après les différentiations.

D'après ce que nous venons de voir la formule

-^STFTTTÏ £5=1 ^âX— ïïj, (3ÎT "'^

subsiste égaleineut pour toutes les valeurs de X qui vérifient l'équation Z — 0 = 119. (Z).

Mais les premiers termes

de cette expression, qui constituent le développement de ^(X) d'après la série de Lagrange jusqu'à la (w-i- 1/ puissance de i], ne dounent effectivement sa valeur, exacte aux quantités près du même ordre, que si le terme complémentaire

;.3,,,,nJ„ {dx'T