V-~QV x^ — A^=0, P-i-Qyx^ — h^~ valeur finie
P -*- QV x"- — ^^ = 0, P — QV x^ — h^ ^= valeur finie,
selon que s^^ -h 1 ou — 1. Doue, toujours
P— e, QV^~^^ = 0, Ph-s, QVa^—}f=^ valeur finie.
Mais d'après ces équations on trouve, évidemment, des valeurs finies
pour P et 0 Vx^ ~ ¥, et la première d'elles donne - — — ; ^ e, , ce qu'il
' j montrer.
§ 33. II est facile maintenant de trouver toutes les solutions possible de l'équation
où YVx^ — ¥ ne s'annule pas pour x=:cc^, a^,. . . .
En premier lieu, remarquons que cette équation, où
v=^Af,(x — a^)'' (x — ttg)'' . . . .,
pour 3; = aj, a^,. . . . donne
X^—Y^ix^ — h^) = 0 et par là
X=±TVa^—h\
et, comme la fonction TVx^ — h^ ne s'annule pas pour a;:=a,, «j,. . . ., cela suppose que le rapport , pour x^x^, a^,. . . ., doit se réduire à 1 avec l'un des deux signes ±. D'où il suit qu'on n'omettra aucune pour œ ^ a, , Oj, , se réduit
respectivement à e^ , e^ ,...., qui sont égaux à rt 1 . Cela posé, nous allons montrer que les solutions cherchées de l'équation
et les fonctions P et Q, déterminées par (12), sont liées entre elles de la manière suivante:
1) Les expressions PX ~ QY {x^ — h^}, PY — QX sont divisibles par 1^.
2) Les fonctions
vérifient l'équation
X^ — Y^ [x^ — h^) = constante.
En effet, par les équations (13) et (14) on trouve
Z^ = Y' {x^ ~ ¥) -4- G"" v\ P^ = Q^ {x^ — h^) -+- (7'> v\ , et en vertu de ces valeurs de X^ et T"^, le produit
{PX— QY{x^ — h^)) [PX-t- QY(x'~~¥))=P^X^— Q^Y' (x^-hj se réduit à
( r^ (3;= — h^) -+- C'« v^) {Q^ {x'' — h') H- C"' v^) — $' T^ (x^ — hy = G"» Q^ (x" — h^) v" H- C" Y^ {x^ — h^) v^ -+- 6"*" G"-" vK
D'où il est clair que le produit
(PX—QYix' — Ji^)) {PX-i-QY{x'' — ¥))
est divisible par v^.
D'autre part, on reconnaît aisément que le facteur
PX'+-QYia^~-1i')
ne s'annule pas pour a; = «^, a^,. . . .
Pour s'en assurer, remarquons que les fonctions
QYai^—Jii^ YVx' — li'
ne s'annulent pas pour ces valeurs de x, et tant qu'elles restent différentes de 0, l'expression
ne peut s'évanouir, à moins qu'on n'ait ou, ce qui revient au même,
Or, cela ne peut avoir lieu pour ar^a, , ttg,. . . ., car nous avons vu que, pour ces valeurs de x^ les rapports
QVx^-k^'
se réduisent à e,, e^, . . . , , et, par là leur produit devient e^^, s/,. . , . valeurs égales à. 1.
Ainsi on parvient à s'assurer que l'expression
PX-^QTix^ — h')
ne s'annule pas pour a;^a^, a^, et, par conséquent, qu'elle n'a point
de facteur commun avec la fonction
v = Â^(x — a,f (x — cc^f ....
Mais comme nous venons de trouver que le produit
{PX^QT{x'—h'}) {PX-^QYla^ — h'})
est divisible par ^^ il en résulte que v^ divise le facteur PX~QY{a? — k^}. Il nous reste à montrer que les fonctions
y TY-QX
vérifient l'équation
i„" — r.' (x'— *') = constmie.
Or on y parvient très aisémeut, en remarquant que le produit des équations (13) et (14) peut être mis sous cette forme:
{PX— QT(x^—h'jf~{PY— QXy {x?~¥) = C'"'C'^'î;*;
d'où, en divisant par «*, on obtient
("~''I.""~"')' - (";.''7 (^' - If) = c»' CI",
et par là
en dénotant par X^, Y^ les quotients de la division des fouctioDS
PX—QYiar'^h^ PY—QX par v''.
§ 34. De ce que nous savons sur la relation des fonctions P et Q, déterminées par les formules (12), et les solutions cherchées de l'équation
il est clair qu'on tirera toutes ces solutions des formules
I'S—Qr{x^-h^)
en prenant pour X^ et T,, toutes les fonctions entières propres à vérifier l'équation
Xq — Y^ {x^ — h^) = constante.
Or, d'après ce que nous avons vu dans le § 22 par rapport à l'équation
p^ {X) — *^ {x) {ir? — li^) = L\
on ne pourra vérifier l'équation
Xg — Ya (x^ — A^) = constante,
en prenant X,, du degré n, que par les valeurs de X^, Y^, déterminées ainsi:
P„ -+- Q^ -Vx' — li^^ {x -+- Vx^ — lï'T, P„ - Q„ Vx^—h''^ ix — Vaf — h^)",
ou, ce qui revient au même,
x„— r„Vif—ë= c, {x—Vx'—k'T.
D'oà il suit qu'on trouvera toutes les solutions possibles de cette équation d'après les formules
X, -I- r. Va? — 4' = 0. (x -1- Vx' — h')'; X, — r. 1/3? — »»= C„ fe — Va;' — ri\ •
en prenant pour l'exposant X un nombre entier quelconque.
Nous concluons do là que toutes les solutions cherchées de l'équation
se déterminent par ce système d'équations;
Y fX-aT(i«-i.') -r, n-QX
x„ -H r„ yi^^^ = c, fc -f- y»' —*■)', x„ — r, Vx'—h' = c, U — i/i'— *»)',
oii P, Q sont des fonctions entières qu'on trouve au moyen des formules (12).
§ 35. En passant à la recherche des valeurs de X et Y, nous remarquerons que les deux premières équations donnent
et, en vertu des deux dernières, ces formules deviennent
En remplaçant ici, d'après (13), v^ par .jf/ -■--■, "iûus obtenons
CoU
i, X- rvx2— /*!
D'où résultent ces valeurs Ac, X-t-YVx^ — h^ et X — Y Vx^ — ¥:
qui, après la substitution des valeurs (12) de P -i- $ Vx^ — h^, P — QVx^ — F, et faisant
Co f,
devienneut
Ainsi nous parvenons à déterminer toutes les solutions de l'équation
où YVx^ — h^ ne s'annule pas pour x^^a^^, a,^ La quantité C\ et le
et le nombre X sont des constantes arbitraires; s,, e. . . désignent ± 1.
§ 36. D'après les solutions trouvées de l'équation X^—Y^{x'' — h') = G"'>v% nous voyous que l'équation
V^ — W (x'~¥)^Uir.
établie par rapport à la fonction cliercliée U (§ 30), suppose
et par là
--l^—y^^'nVWi~sVîMT{V^-Hy^T
Pour déterminer les valeurs de X et de (7^ observons que l'expression trouvée de U, étant développée suivant les puissances descendantes de x, donne pour premier terme
et comme la fonction cherchée U est de la forme
Cj {x — Vx^—h\
La première de ces équations, en vertu de (11), nous donne et en portant cette valeur de X dans la dernière, on en tire
D'après cela les expressions précédentes âe U et W devieuDeat
(x-^ya^ï-Zi^y-^i
2'-i-i V ic2 - ftï
2'-^iVx'^ — Ji'
L Vai-ft ya,+ h
Va,— 7i yo,-i-/i
l A — ft -, /ôTfen Sii r-, /x —h ., /a; +fc-
L Vaj— ?( i/oi,-^ft
Toa— ft Vaj-i-ft
l/a;— ft , /iB-J-ft-iS'i r~^/x—h ,/a!
ya,— ft Va.+h
L ya^-A yctjH-ft
- A —A , A^i^-l a/i p, /x -fi , /x -
V^Pfi~^iys;Tfi y;^-s]/^
ya,— /i ya.-Hfi
ya„~fi ya,-i-h
§ 37. Pour trouver la valeur de L, remarquons que pour x^=h l'équatioii
V'~W^{x'' — k^) = L'v"doûne
U'' = Uv\ U=±Lv,
ce qui prouve que la quantité L, au signe près, est égale à la valeur de — pour x^ft, et comme les expressions précédentes de U et de v, dans le cas de x=h fournissent
K~fi)i.(a,-fi)t^...
-yaj-ft ya,M-ft-
" 2' (a, ■+- Cl yo,' — 7iï}'' («ï -*- H Va^ — h^)''. . v = ±Aa{a^~ hf («3— ;*)'= ,
et que d'après (11)
il en résulte cette valeur de L
2' ^ (c<i -1- El yai» - /i*)'' (t-3 -t- e^ y V^Tftsjii
ou, ce qui revient au même, L=dz
(-.y'-^r(-.]A-ir-.-
Mais comme ou a v — Agx'^~'~^-t-AjX"~'~^-t-. . . ■-^A^i^ = AQ{x — a.J'{x —a^\..., on trouve
et par là l'exprcssioii trouvée de L se réduit à celle-ci: (15) i = ±
§ 38. Dans les expressions de la fonction cherchée i7et de la quantité L il ne reste d'inconnu que les signes de e^= dt 1, 6^ = ^ 1 . . . , Nous allons montrer maintenant qu'on doit prendre
si l'on désigne simplement par des radicaux
celles des raciues des équations
rc^= 1 5, 3;^= 1 ï,- • . .,
dont la partie réelle est positive.
D'après l'expression de L on voit que son module, poure, = -i-l, Eg = -t- 1 , . . . . , a la plus petite valeur de celles qu'on trouve dans toutes les hypothèses possibles sur les signes de £^= ± 1, e^^^ ± 1,. . . .; car, les parties réelles des quantités
étant positives, les modules de
sont respectivement au-dessus de ceux de
D'autre part, on reconuait aisémeat que la valeur de Z, qu'on trouve en prenant Sj = -»-- 1, e^ ^=: -i- 1, . . . . , est réelle. En effet, les quantités atj, «2,. . . . ne peuvent avoir, comme nous l'avons vu (§ 31), de valeurs réelles comprises entre a; = — h et x=^-i-h, et par là on voit que les
ne sauraient être imaginaires que dans le cas où a^, a^,. . . . le sont. Mais comme les facteurs imaginaires de la fonction réelle
sont conjugués deux à deux, il suit que la même chose aura lieu par rapport aux facteurs imaginaires du produit
et alors notre formule donne pour U une valeur récite.
En vertu de ce que nous avons montré sur la valeur de L dans le cas de e^ = -•- 1, Eg = -(- 1, . . . . , on voit qu'elle sera la plus petite parmi les valeurs réelles de L, qu'on peut trouver d'après notre formule. Or, comme L désigne la limite des valeurs de la fonction cherchée — entre x:= — ft et x=:-i-h, et que, suivant notre problème, il s'agit de rendre cette valeur aussi proche de zéro que possible, il en résulte que la supposition
donne la solution cherchée, si toutefois, eu prenant ces valeurs de e^, e^, . . . . dans uos formules, on trouve que la fraction —, depuis a; = — A jusqu'à x=^ -t-h, reste effectivement comprise entre — L et -t- L. C'est ce qu'on reconnaît très aisément, comme nous allons le montrer.
En posant s, = -«- 1 , e^ = -i- 1 , . . . . daos les valeurs trouvées de U et W, nous remarquons qu'elles se réduisent à cette forme:
(^-/g^Pj'H
.yi
t^y/,.'tyf^-
■ - "1/ 1- —, V3:^-Aï -^-^ — 1/ 1- ^Va:^-
et comme les facteurs des produits
■.yiî=i5v
(M^j/ri:^ yiicrïij' C^^j/r^y^f^T')'-
en vertu de ce que nous avons vu par rapport aux quantités l/l ^,
y 1 2)- • ■ -1 sont ou réels ou imaginaires, conjugués deux à deux, on
voit que les valeurs U et W sont nécessairement réelles. Mais tant que les fonctions U, W et la quantité L sont réelles, l'équation
suppose que, depuis x^ — k jusqu'à x = -t-h, la fonction IP ne surpasse pas L^v^, et pai- conséquent, la fonction — reste comprise eutre — X et -»- L, ce qu'U s'agissait de prouver. Ainsi nous parvenons à reconnaitre
que, la fonction V étant détenniaée d'après la formule (16), la fraction — sera celle qui, parmi toutes les autres de la forme
et avec le même dénomiuateur
Ai, a;"'^'^' -H A^ x''~'~'^ -t- , . . . -»- ^„__;, ,
s'écarte le moins de zéro entre x^^ — h et x=^ -i-h. Quant à L, limite des valeurs de cette fraction entre œ = — h et x =:-t-h, nous trouvons, en prenant dans la formule (15) s, = 1, £3= 1,. . , ., qu'elle s'exprime ainsi:
Comme toutes les autres fractions avec le dénominateur
Aq x'^~''~' h- A^ x"~'^~' -*-....-+- A^i^^ et le numérateur
entre x = — h et x =^ -t- Ji, s'écarteront de zéro plus que celle dont nous venons de parler, il en résulte que, dans cet intervalle, leur valeur ne pourra pas être au-dessous de la valeur trouvée de L.
§ 39. Indiquons maintenant le parti que l'on peut tirer pour l'Algèbre des résultats donnés sur les fractions de la forme
Si «j, «y,. . . . sont réelles, les quantités
comme nous l'avons vu, le sont aussi, et leurs valeurs sont évidemment aus de 2. D'autre part, si «j, a^, . . , . sont des valeurs imaginaires et
que p soit la limite inférieure de leurs modules, oa voit que les modules des quantités
de2 -H
ne surpassent pas l+y l-i — ^ et, par conséquent, restent au-dessous
car 1/ 1 -I- -^ < 1 -H — . D'après cela, en supposant que l'équation
Aax"^'~'-i- A^x"'^'^''-t- . . . .-i-A^i^=A^{x—cii)''{x — oc^)'' = 0,
a t». racines imaginaires etn — l ~ ^ — 1 racines réelles, nous trouvons que le produit
est plus petit que i'-'-f-' /a -t- A)" = 2""'~' P^^f, et par là
»" = > 2(Ar / Ji r
D'où, en vertu de la valeur de
résulte, daus le cas de -(■1„;, = 1, ce théorème: Tbéorème 12.
Si le dénominateur de la fraction
ne s'annule pas entre x^ — h et x^-A-h, la valeur numérique de cette fraction, depuis x^= — h jusgu'à x = -t~h, ne peut rester au-dessous de 2 ( yJ L ^ f-] , où [j. est le nombre des racines imaginaires de Véguation
et ç la limite inférieure de leurs modules.
Si la fonction ^0 a;" '-t-A^x" ^ -*- A^i 2X -h- 1 s'annule entre a; = — h et a; = -i-^, dans ces limites la fraction
ne peut rester finie, à moins que son numérateur ne s'annule en même temps que le dénominateur. D'après cela le théorème actuel entraîne celui-ci;
Théorème 13.
Dans les limites te = — h et x = -t- h, où la fraction
x"-t-p'a!"~'-i- -l-Ef"~"')a;-i-n(n)
ne devient —, sa v(deur numérique ne peut rester au-dessous de 2 (-g) [27^: h) ' ^ ^^^^ ^^ nombre des racines imaginaires de Véquation Â^x'^ ^ -I- j4, 3^ ^ -*-.... -1- A^__^^^ -1-1=0 et p la limite inférieure de leurs modules.
Dans le caa, où le dénominateur
ne contient que des facteurs réels, le nombre \x se réduit à zéro, et le théorème précédent se change eu cet autre:
Théorème il.
Si la fraction
dont le dénominateur est composé de facteurs linéaires réels , ne devient -^ entre x^= — h et x= -t-h, sa valeur numérique dans ces limites ne peut rester au-dessous de 2 (-^) .
§ 40. D'après ces théorèmes ou démontre plusieurs propositions très simples par rapport à la résolution des équations. En voici quelques-unes:
Théorème 15.
Si l'équation Aa^ -t- Gx'^~^ -t- . . . -+- Hx^ ^- ff =^ 0 a [i racines ginaires et que leurs modules ne soient pas inférieurs à p, on troiive au moins une racine de l'équation
ar^'-^^-t-Ax^-i-Bx'^-^-t-Gii^^-^-i- -t-Hx^-t-Jx-i-K^O
entre x^= — h et x = ~t-h, tant qm la valeur numérique de K ne surpasse
En etfet, si l'équation
a;"*^ -t-Âx'^-f- Bx"^-^ -H C^*-^ H- -t-Hx^-t-Jx-i~K=0
n'avait point de solutions entre a; = — A et a; = -<- fe, la même chose aurait lieu par rapport à celle-ci:
qu'on trouve en cliaugeaut 3; en — x dans l'équation
x^^^'-i-Ax"-'+-Bx"'''i'Cx^^-'-i- -i-Hx^-i-Jx-i-K^O,
et par là il faudrait conclure que, dans les limites x:= — ^ et = -t- A, ou ne peut satisfaire à cette équation
(a;^*+^-»-iÎ3~<*-^-i- -^Jxf—{Ax'''-t-Gx^''-'''^ -i- Hx^-*- Kf=0,
obtenue en multipliant entre elles les deux équations précédentes. Or cela est inadmissible, comme nous allons le montrer.
Cette équation a évidemment une solution entre x^ — h et x= -t-Ji, si dans ces limites les deux fonctions
^U-l ^ ^j-iA-l , -l- JiC,
Aa?"- -+- Cx'^~'' -I- -i-Hx-'-t-K
s'annulent ensemble. Dans le cas contraire la fraction
entre 3; = — h. et a; = -i-fe, ne devient pas -^, et alors, d'après le
théorème 13, sa valeur uumérique De peut rester au-dessous de ^(t) {'i +;J ' '^^ P^^ conséquent au-dessous de la valeur numérique de K, cette valeur étant, par hypothèse, tout au plus égale à 2 (~ J {■ ^.'j . Mais en mettant l'équation
(3:«+'j,Ba;a i^ -t^Jxf — (Ax^^-^Gx^-^-i- -t- Hx^-i-Kf^O
sous la forme
OD s'assure aisément qu'elle a au moins une racine entre x = — h et X = -t-h, tant que la fraction
qui s'anuule pour a; ^= 0, ne reste pas dans ces limites numéiiquement au-dessous de K, ce qui prouve le théorème énoncé.
A l'aide de ce théorème on trouvera toujours les limites -— fe et -t-h où l'équation
a?^-*-' -t- Jx'"- -^^ Bx'^-' -t^ Gx"--' ~t- . . . . -I- Hx^ -t- Jx-i- K=0
a au motus une racine, en prenant pour A une valeur positive qui remplisse la condition
Or si l'équation
Ax^^-i-Cx^''-^ -I- -i-Hx^-i-K=0
n'a que des racines réelles, le nombre [t se réduit à zéro, et alors cette condition devient
ou
ce qu'on Térifiera en preuant pour h celle des deux valeurs -»- 2 y — K, — 2 a/^K qui est positive. D'où résulte le théorème suivaut:
Théorème 16.
Dans les limites — 2 l/y K, ~i-2 l/y K c cine de Véquation
on trouve au moins une racine de Véquatio
3;^'-^^-f-^a;^'-f-Z?^*"'-t-6V-^-.- -v- Hx^-^Jx-^^ K=0
si Véquation A ic^* -+- Cx'^~^ -*-... ,K^0 n'a que des racines réelles.
§ 41. En remarquaiit que la conditioii (17) peut être mise sous la forme
OH voit aisément qu'oû la vérifie par uue valeur positive de h, en preuant
tX-t-î r- »X-t*2 -1 — ^
Pour s'en assurer, on n'a qu'à remarquer que, pour cette valeur de A, on trouve d'une part
4(A)— =4(i«.)«- [i^|]/iz>] =z{y'i,^i] ,
et de l'autre [à cause de ft > 2 l/-^Z^M
D'oii resuite l'inégalité qu'il s'agissait de vérifier.
En observant que, d'après l'expression ci-dessus de h, cette valeur propre à remplir la condition (17) est égale à
îX-l-l r- 4l-4-g -1 ^ —
±2]/iz[l^l|/lZ.]'-
avec l'un des deux signes ±, nous déduissons du théorème 15 celui-ci:
Théorème 17i
On trouve toujours au moins une racine de l'équalion
a;='*'-*-^3i»-i-B3}"-'-t-(;ir»-'-i- -i-Hx'-^Jx-i-K=0
entre les timites
où [t est le nombre des racines imaginaires de Véguation
Ax''^ -4- Ca;''-' -H -^Hx''-i-K = 0
et p la limite inférieure de leurs modules.
Si [». ne surpasse pas 1, la fraction ^^__'^^^ reste plus petite que 1, et alors *)
d'où il résulte
»^-*-! r <*->-ï ■-|3»+i-|i sX-i-i îi— i^dzi
et le théorème précédent entraîne celui-ci:
*) Oq reconuait aisément qae dana le cas de ^ > 0, m < 1 et ^ 0, la quantité (I -i- «)"■ eat plus petite que 1 ->- e"*, eu remarquant que la fonction (l-t-js)™— 1 — 2"*, dont la première dérivée est m [(1 -i-e)"*— ' — »*""'], reste décroissante pour toutes les valeurs positives de z et 8'anaule pour « = 0.
TIléorômi; 18.
Si [j., le nombre des racines imaginaires de Véguation
Aaf^ ■+- Gx"^''' -H -+~Hx^~t-K=0,
ne surpasse ^as X et leurs modules ne sont pas inférieurs à ç, on trouve toi^ours au moins une racine de Véquation
entre les limites
Dana le cas où Téquation
A x'^ -+- Gx^^-^ ^- .... -1- Hx^ -i-K~0
se réduit à
les quaiitités K^, S" étant de même signe, ou trouve que [t, le nombre de ses racines imaginaires, est égal à 2 X^, et toutes ces racines ont pour module y Y- *^''' ^" prcHMt cette valeur pour p et posant [t = 2 X^, on obtient
D'où, en vertu du théorème précédent, résulte le suivant; Théiôiiie i9.
Si Véquation
ne contient qu'un terme K^ x^^' avec la puissance paire de x et que le coefficient de ce terme soit de même signe que le terme cormu K et Vexposant ne
surpasse pas X, cette équation a au moins mie racine, comprise entre les limites
2l/|/f-2]/ifi-„
Si les termes K^x^''" et Z sout de signes contraires, ou trouvera, d'après le théorème II, au moins une des racines de l'équation
3;3*+i H (7a;a-i ^ -t-K^x^'^'-i- -i-Jx-i-K=0
dans ces limites plus rapprochées:
-2}/|Z, +2]/iX.
Donc, si l'on désigne par K^, K des valeurs positives, les limites
îX-l-l ?(J,— Xq)-*-!
-.^2]/4z+2|/iz.
contiennent nécessairement au moins une racine de l'équation
af^^-^-Cx^^-^-^ ztZoic^'"-!- -i-/iC=tZ=0,
quels que soient les signes des termes J^^x^^" et K.
Sur la fraction qui, parmi toutes les autres de la forme
entre x = — h %\x^-\-h, s'écarte le moins d'un polynôme donné
x^~^ ~t- Ax^^^"^ -\- B x'^~^~^ -i- . . . .
§ 42. Il est clair que cette fraction ne doit pas devenir infinie pour = 0 et cela suppose que, dans son expression
f)'x"~^~-'-i-j)"ti:"~'~'-t- -1- ])("—'— ')x-i-;)("~')
le terme i^'""^'' ne se réduit pas à zéro. Mais tant que p'""^^' n'est pas zéro, cette fonction peut être évidemment mise sous la forme
t-Pn—t—il^-l-Pn-l
Pn—l-,-]
ia^+y„j j,a!'-i-H...
en dénotant
Pi, Pr Pn-l-i^ Pn-l^ Pn-l^x^ Pn'
C'est sous cette forme que nous chercherons la fraction dont il s'agit. En désignant par F{x) la différence du polynôme donné
et de la fraction cherchée
nous concluons du théorème 4 {§ 16), que le nombre des solutions communes aux deux équations
et différentes entre elles ne peut s'abaisser jusqu'à »-f- 1 — d, à moins que la fraction cherchée
Pn-l-t-x^'' -*-Pn-î-t-i'^
ne se réduise à la forme
Pn—l-t-d-*-!^
Or, en faisant pour abréger
-\-Ax '-t-Bx H-. . . . = «,
ou trouve
et par là les équations dont nous venons de parler deviennent {uV~-Vf — L^V^ = 0,
§43. En suivant la même marche que dans le § 30, ou reconnaît aisément que, x=Xq étant une solution commune à ces équations, l'expression
{x^—W) [{m F— Uf — L^W]
est divisible par (a; — x^^, et comme le nombre de ces racines, différentes outre elles, est au moins n-*-\ — d, nous concluons que l'expression
{x^ — }ê) [(m V—Uf — I? P]
est divisible par les b -f- 1 — A différents facteurs
D'où nous déduisons l'équation
{x^—W)^uY—Vf~UY'''\ = G{x—x^''{x—x^f{x—x^' {x-x^^^,
en remarquant que la fonction (x^ — A^) [( m Y — XJy — 1} F^], où
M = a;"^' -I- A ic"~'~^ -1- B a;""'"" ,
î''=î'rf+,fl^"~'~'^^'^-- ■ ■ ■-'-i'„,,^-+^P„^i,
ne peut être de degré plus élevé que son diviseur
Mais cette équation ne peut avoir lieu, évidemment, à moins qu'on ne trouve X — Ji fiix-*-'h parmi les facteurs
X — Xf,. X — X., X — x.,....x — x„ ,,
et si nous supposons, pour fixer les idées, qu'on ait
X — Xf,^x — h, X — x^ = X'^-h, elle devient
(x^—h.%{iiV~Uf—L'V''] = G{x — hf(x-i-Jifix~x;f (x~x„^)\
et par là
(iiV— Uy^I/ V^=G(x'> — k^} (x~x^f (x — x„^f.
D'où nous tirons l'équation
(18) iuV~Uf — ]?V'=^W'ix'~h'),
en désignant par W la fonction entière
Comme les fonctions U et V sont de la forme
i'n— i-t-d+i ^'~'^ ■^- • ■ ■-*-Pn^-*- 1,
leurs degrés ne surpasseront pas w — l — d — 1, î — d. De plus, on voit facilement que le degré de F ne peut être au-dessons de i — rf; car autrement la fouction
serait de degré inférieur à 2(n — d), et par conséquent l'équation (18) où
ne pourrait avoir lieu. Donc, la fonction V sera nécessairement du degré l — d.
§ 44. Conformément à ce que nous avons dit dans le § 16, la fraction
est la valeur do la fraction cherchée réduite à sa forme la plus simple, et, par conséquent, les fonctions C et F sont premières entre elles. Cette valeur de la fraction cherchée peut présenter deux cas; savoir: celui où d est un nombre pair, et celui où d est impair. Mais nous réduirons le dernier
cas au premier, en supposant que, dans le cas de d impair, on introduise dans les fonctions V, V, W un facteur commun, tel que 1 -t--|-ou 1 — -|-, ce qui n'altère ni la forme de l'équation (18) ni la valeur de la fraction -S, seulement ses termes deviennent divisibles par une même fonction a; -+- fe ou X — ]i. En vertu de quoi nous supposerons désormais que à est un uombre pair et que les fonctions (7 et F peuvent avoir un commun diviseur xzïih, diviseur qui ne présente aucun embarras dans nos recherches, comme on le verra ensuite.
§ 45. En passant à la détermination des fonctions U et V, nous remarquerons que l'équation (18) peut être mise sous cette forme:
{uV—V''t-LV)iuV—U~LV) = {x^~¥)W^
ce qui prouve que la fonction (x^ — h^) W^ est décomposable en ces deux facteurs:
uV~U~t-LV, uV—U^LV.
Comme ces facteurs, multipliés respectivement par L — m, L-*-u, donnent en somme — 2 LU, et que leur différence se réduit à 2 LV, il est clair que leur commun diviseur doit diviser aussi les deux fonctions
et, par conséquent, qu'il ne peut être que de la forme x±Ji, car les fonctions V et F, comme nous l'avons vu (§ 44), ne peuvent avoir un commun diviseur de l'autre forme. En vertu de cela et en remarquant que la fonction (x^ — h'^jW^ ne peut être décomposée eu deux facteurs soit premiers eutre eux, soit avec un commun diviseur de la forme x±k, que de ces deux manières:
nous concluons que l'équation
{uV— U-t-LV) (tiV— U—LV)^{x^ — ¥)W' entraîne nécessairement l'une de ces quatre paires d'équations;
mF— U-i-LV= PFo^ uV— U—Lr=ix^—¥)W^'';
uV—U-i-LV={x~h)Wo', iir~U-~LV=(x-t-h)W^^;
uV— U-i-LV=z{x'-¥) TFoS «F— U—Lr= W^';
uV—U-i-LV=ix-i-h)W„% ur~U—LV={x — h)W{'.
De ces quatre systèmes d'équations aous n'aurons qu'à considérer les deux premiers
uV~U-*-LV= Wo\ uV—U—LV=ix^ — ¥) W,',
ur~U-*-LV = {x — h)Wa^ uV— U^Lr= ix-t- h) W^^;
car les autres s'en déduisent par le changement du signe de la quantité L. De plus, comme les fonctions m, F sont respectivement de degrés n — l, l — d, et que le degré de V ne surpasse pas n — l — d — 1, on trouve que l'expression
uV—U-t-LV
est de degré n — d, et, par conséquent, d étant un nombre pair, cette expression sera de degré pair ou impair, selon que le nombre « lui-même est pair ou impair. D'après cela et en observant que des deux systèmes d'équations
M V— U-^ LV = ^Fo^ u V~ t/"— LV= {x^ — A^) W{>,
uV—,-U-t-LV=(x — h)Wo', uV—U—Lr={x-t-h)W^\
le premier suppose que la fonction
uV—U-^-LV
est de degré pair, et le second qu'elle est de degré impair, nous concluons que le premier aura lieu dans le cas de n pair et le second dans le cas de n impair.
Nous allons traiter à part chacuu de ces cas.
xrv.
Le nombre n est pair.
§ 46. Dans ce cas on aura ces deux équations:
(19) uV— U'+-Lr= Wo% liV— U — LV= (a;^ — F) W^", qui étant résolues par rapport à Î7 et F donnent
(20) 2LV=W,^ — (x^ — h-'}W,^,
(21) 2LU=iii~L)W,^ — (u-^L)(x^ — ¥)W,K
Comme les fonctions ïf, F sont respectivement de degrés n — 1,1 — d, et que le degré de V ne surpasse pas w — l~d — ], les équations (19) nous montrent que les fonctions W^, W^ sont respectivement de degrés ^^,
D'autre part, l'équatioii (21), étant mise sous la forme nous donne
W^ , / (tt-HJ.)(3^'-/t') 2LU
ITi y V. — L fTi [ Wo (u — i) + W, y(»= - i«) (a;" — ft^)] '
prouve que la fraction -^ est la valeur de 1/ i".'!:-^l^^^—-^'J ^ ,
ce qui
jusqu'aux termes de même ordre que
