LU

n'est pas de degré plus élevé que —^ ^^r^ = 4i- Donc, la

fraction r^, d'après l'équation dont nous venons de parler, est la valeur de 1/ „Sz~ exacte au moins jusqu'aux termes de l'ordre -b. Mais comme W^, le dénominateur de la fraction r^, n'est que de degré

—g 1 <C 2"! '^^^^ ^^ peut avoir lieu, à moins qu'elle ne soit l'une des

fractions convergentes de l'expression

qu'on trouve par son développement en fraction continue.

De plus, comme le dénominateur de la fraction -^ est >

- 1 , elle ne peut donner la valeur de y '" "^ ^'Jf ^

jusqu'aux termes -^ t à moins que la fraction convergente de V t

qui vient immédiatement après elle, n'ait pour dénominateur une fonction au moins de degré ^^ — t- 1 . D'où l'on voit, d'une part, que -j^", dans la

suite des fractions convergentes de 1/ ^''"^^^~ ■', est la dernière avec le

dénominateur de degré au-dessous de -|-, et de l'autre, que parmi ces fractions aucune n'a pour dénominateur une fonction de degré y. Le premier point nous montre que les fonctions W^ et W^, et conséquemment la fraction cherchée y sont tout-à-fait déterminées par ia valeur de i; le second nous servira pour trouver la constante L, et d'après elle on aura facilement la valeur de la fraction y.

§ 47. Pour y parvenir, supposons que

ioit le développement de y '""^"^^^^ ' '' en fraction continue, et t

soit la valeur du quotient complet qu'on trouve en s'arrêtant au dénominateur jg. Dans cette supposition on a

(22) i/fc^i5=î.-i!»=

La dernière de ces formules nous montre que les dénominateurs sont des fonctions du premier degré, si les quantités

restent différentes de zéro. Mais tant que j^, q^,. . . .q„ sont c

du premier degré, le développement de

en fraction continue

arrêté au dénominateur g^, donne évidemment une fraction convergente avec le dénominateur de degré y. Or, eu vertu de l'équation (21), où L désigne la limite des valeurs de m — y. entre x = — h et x^-t-h, cela ne doit pas avoir lieu, comme nous l'avons vu; donc, pour cette valeur de i, au moins l'une de ces équations:

aura lieu nécessairement.

§ 48. Supposons maintenant que parmi toutes les valeurs dont L est susceptible dans le cas où cette condition est remplie , celle qui est numériquement la plus petite soit La. Comme — L et -t-L déterminent les limites où, depuis x= — h jusqu'à x^^-t-h, reste comprise la différence de la fraction cherchée

^-J''i'-na;"~'~'^~'+....-t-y„i|3:-*-Pn-; ^ Pn-l-,-d-i-i^'^'^-*------*-PnX'^'i '

ou ce qui revient au même (§41)

U p'x"— '— i-Kp"3!"— '— 2h- ^-p(n-'— i)-c-i-i,(n-'l

F ^(n— /-4-I) aJ |^(n— ^^-î) ^/— i ^ .-^pW a! -i- p ("-^') '

et du polynôme

u ^ x*^~^ -i~ Ax''^^'^^ -I- B x"~'~^ -I- . . . .,

et que, d'après le sens de notre problème, il s'agit de rendre ces limites les plus proches possible de zéro, il est clair que dans sa solution on aura

— 347 ~ si toutefois il est possible d'obtenir une fraction

dont la diflférence avec m, depuis x^= — h jusqu'à a: = -»- A, reste ( eutre les limites aussi rapprochées que —L^ et -i-io-

Nous allofls montrer maiLteuaut que cela est possible et qu'où trouve une telle fraction d'après nos formules (20), (21), en prenant

où -j^ est la fraction convergente de

qui correspond au dénominateur q^, la première des équations

qui a lieu, dans le cas de i = L^, étant

% 49. Pour y parvenir, remarquons, en premier lieu, que pour ces valeurs de ifl, PTo, W^ les équations (20), (21) deviennent

d'où résulte cette valeur de la fraction y--

D'autre part, comme

(?^ = 0 est la première des équations

Go = 0, G,= 0, (5„ =0,

qui a lieu dans le cas de L^Lg, on voit d'après (22J que pour cette valeur de L les fonctions

îi, îa, ?o

sont du premier degré, et g^^^ de degré plus élevé. D'où il suit qu'en s'arrêtant dans le développenient de

en fraction continue

au dénominateur q^, on trouve une fraction convergente dont les termes sont respectivement de degrés 0--+- 1, a, et dont la valeur ne diffère de

V "-^ que par des termes de degrés inférieurs à celui de g^,^,. Donc, comme west la fraction convergente de i/'-'"^--'p. ~ — ^, qui correspond au dénominateur g^j les fonctions M, N sont respectivement de degrés o--»- 1, cr, et la différence

N y a — io

est une fonction de degré inférieur à — {2<7-i- 1).

En vertu de ce que nous venons de montrer sur les fonctions

il est facile de voir que la fraction

déterminée par la formule (24), se réduit à la forme

En effet, son numérateur

{u — i(,) ]yp — (u -*~ U) {x^ — 'i') N^

peut être mis sous la forme

et comme les fooctions

sont respectivement de degrés

n — l, (T-t- 1, <T, 1, et que le degré de la différence

N y u-Lf,

est plus petit que — (2[t-(- 1), on trouve pour cette expression un degré inférieur an — î, et, par conséquent, elle sera de la forme

En passant à son dénominateur

M^ — (x^ — h') N', remarquons qu'il peut être mis sous la forme

(m - Xq) .flfg — (M -t- Xq) (x' - h^) N^ j M^ + (x^ — ¥) m

et comme les fonctions

M, N, u sont respectivement de degrés

(JH- 1, 0", n — l, et que

{u — L,) M' — {ît -*- L,] (x' — ¥] N%

en vertu de ce que nous venons de voir, est d'un degré plus petit que n — l, on trouve que le degré de cette expression est égal h 2o -t-2 — (k — l). Mais CT étant l'un des nombres

le nombre 2(r-i-2 — (w — l) ne peut surpasser l. D'où il suit que la fonction

M^~(x^ — k^)N^ est de la forme

Ainsi nous parvenons à nous assurer, que la fraction y qu'on trouve d'après (24) est de la forme

Il nous reste à monti-er que sa différence avec u, entre œ = — h et x^-i-h, est comprise dans les limites — L^ et -t- L^. Pour j parvenir, nous remarquerons que d'après (24) on a

et comme M, N sont des fonctions réelles, et, que partant l'expression 4 Zq' m^ m

ne peut devenir négative, cette équation montre que, depuis s; = — h jusqu'à x^ -*-h, la fonction

('—vî

ne surpasse pas X^*, ce qui prouve que la différence

( x = — i^ jusqu'à x^-t-h, reste comprise dans les limites — Lg et -t-LQ.

§ 50. Ainsi nous nous assurons que la fraction y. qu'on trouve d'après (24) est de la forme

et que sa différence avec u, depuis x^ — h jusqu'à x^-+-h, reste

comprise dans les limites — L^ et -i-ig. D'où il suit, en vertu du § 48, que

est effectivement la valeur de L qui répond à notre problème, et, par conséquent, qui détermine les limites des valeurs de « — y les plus proches de zéro.

En remarquant que — ig et -h ip sont les limites de la différence

entre x= — h et a;:=-f-A, les plus proches de zéro, on voit, d'après ce que nous venons de montrer par rapport à la fraction y, déterminée par (24), qu'elle donne la solution do notre problème, où il s'agit de trouver la fraction ^ de la forme

qui, depuis x^ — h jusqu'à xr^-i-h, s'écarte le moins de «.

De plus, on reconnaît aisément que c'est la seule solution possible de notre problème (sauf le cas, oîi l'on obtient pour L^ deux valeurs de signes contraires, dont chacune, d'après (24), peut donner la solution); car en vertu de ce que nous avons montré (§ 46) sur l'équation (21), les fonctions W^ et TFj, et par conséquent la fraction y, sont complètement déterminées par la valeur de L.

Ainsi on ne trouvera la quantité L = L^ et la fraction cherchée y qu'à l'aide du développement de l'expression

(«-.-X)(^-fe')

en fraction continue

prolongée jusqu'au dénominateur g^, ce qui demande des calculs très longs.

Nous allons montrer maintenant comment on peut simplifier la détermination de Lt, et de y.

; 51. Comme la fonction u est de degré n — l, l'espressioD

ne diffère évidemment de

que par les termes de l'ordre ■■■~^~ ou moins élevés. D'où il suit qu'on trouvera la même formule par le développement des expressions

V^iir^, ^hn^m.^-^H^)

en fraction continue, si l'on ne pousse pas ce développement au-delà de la limite, pour laquelle les fractions continues donnent leurs valeurs exactes jusqu'aux termes de l'ordre --^^^^ . D'après cela et en remarquant que V x^ — k^ (§ 22) se développe en fraction continue

qui ne donne pas la valeur de V x^ — li^ exacte jusqu'à n—i—'> ^^ ^^ nombre de ses dénominateurs ne surpasse pas

nous concluons que dans le développement de

y'Sï|?î^'=«.-

on trouvera

D'où il suit que les (-2- — k-t-lj fractions coDvergentes l/"^it jf" — sont égales à celles de Vx^ — h^ que nous avons (§ 22) par

et dont les termes, comme nous t'avons vu, se déterminent ainsi: ( p (» H- yg^g)V (f - /g^rs?)!

!Q (x -I- V^ - ftay- (a - Vx^ — hif ^' 2Va:'-V

§ 52. D'après cela il est facile de trouver une certaine fonction qui, par son développement, donne la partie de la fraction continue

qui suit après le dénominateur q^ .

En effet, les fractions convergentes de

Y ^zri = So~-f,-^

qui correspondent aux dénominateurs q^ , q^ étant

nous trouvons

eu dénotant par Z la valeur de la fraction continue

5ll, + ,-^ '■'

et pav là

Ku substituant ici les valeurs de tirées des formules (25) que nous venons de mentionner, ou a

et comme

(a;-i-y^^^) (a; — Va;^ — ft^) == /i^

a; — Va;^ — /z« = '^ ,

cette valeur de Z se réduit à celle-ci:

En multipliaut dans cette expression de Z le uumérateur et le dénominateur par

Vîf-t-i -t- Vu — L,

nous trouvons eu définitive

Ainsi nous trouvons la fonction 2^ qui, par son développement, détermine la partie de la fraction continue

qui suit après le dénominateur q^ , et par là les valeurs de

qui désignent les coefficients de — dans les quotients complets de la fraction continue

arrêtée aux dénominateurs

D'après cela on a

(26) 6'„ =<j^, 6; j^^^....Gr„ =^„ en dénotant par

les coefficients de — dans les />; premiers quotients complets du développement de Z en fraction continue

Quant aux valeurs de

en remarquant que les dénominateurs dans la fraction continue

comme nous l'avons vu (§ 51), sont égaux à 2 a;, nous trouvons

§ 53. Au moj^en de ce que nous avons vu par rapport au développement de

en fraction continue

la détermination de la constante L(, et de la fraction cherchée y se simplifie notablement, comme nous allons le montrer.

D'après le § 48, on trouvera la valeur de Lq en clierchant paimi les racines des équations

la plus petite numériquement.

Or, comme nous avons trouvé (27)

r' h* ri ^^ n ^*

il est clair que i ^ Zq ne peut être qu'une racine des équations & =0, (?„ =0, G =0,

ou, ce qui revient au même d'après (26), de celles-ci:

Ainsi nous parvenons pour la détermination de Lq à cette conclusion définitive :

On trouve la valeur de L^La-, en cherchant parmi les racines des éguations