if

celle qui est la plus petite numériquement; où g^, g^,. . . .g. sont les coefficients de — dans les h premiers quotients complets du' développement de

y^ 1 x(a.-Hy^^3rx^)"-'^+^-ft"-'*-^(w-yi^^^::^)

en fraction continue, et k désigne le plus grand nomire entier que la quantité —g— contient.

Nous ne disons rien de la forme de la fraction continue, dans laquelle on développera Z, en cherchant les valeurs de ?,, i?j, . . . .g^; car il est clair

que les quotients complets, aux facteurs constants près, seront les mêmes, qu'on développe Z en fraction continue de la forme

comme nous l'avons supposé jusqu'à présent, ou dans une de la forme

où a', a", a"', .... sont des valeurs constantes quelconques.

Remarquons que la même chose se présente encore pour les termes des fractions convergentes que nous aurons à considérer plus tard.

§ 54. En passant à la détermination de la fraction cherchée

supposons que

soit la première des équations

qu'on vérifie en prenant

Comme nous avons trouvé (§ 52) que

il suit que, dans cette supposition, l'équation

S-'*'-' sera la première parmi

qui a lieu pour L^^Lq. D'où uous concluons, en vertu du § 48, que 1 fraction cherchée sera détermiunée par la formule (24), en prenant

ce qui nous donne

U (m ~ Lq) Jf ^ - (m -^ Xq) (a:' — ft^) N^

Mais en dénotant par

Ml Jtfj Jtfg

la série des fractions convergentes de Z= " h'

• „" Ml

D'où, en remarquant (§ 51) que les fractions convergentes de

qui correspondent aux dénominateurs 2„ , î„ sont

nous concluons

Ni-P„ Mi

et par là l'espressiou précédente de y devient

(„-J„)(-Pg-.^.».-J|-.«.)'-(.H-Z„)(:^-t-)(g|-,.>.^-fc-.«0'

(?5-.^,^<-!'l.«<)'-ix=-i.)(e,.,,ff(-e,.«(; '

où le numérateur se réduit à

iï^. —(:«'—»■) C' \<'~{F', -<-«', fe'-*')\£,'12f,'