L-^ 33 3 2 '^aa

et le dénommateur à

Mais comme d'après (25) on trouve F'—Qy'ix' — V) — !?,

(x -y- y a^ - fe^P^ -I- (a;

rp)^^— 1-^(3;-, ya;ïï fta)2i-

Pi P),-, — ft ft-, (i^ — *') = *» -' a:, ces valeurs de Ï7 et F deviennent

^ r^»-!t-i-2„ 7- U -I- V a' — ^1')"-^+^ -t- (a; — V ai ~ fe;)n-2A->-a-

F = 4"-'* pi' A7 — 2 a: A',. M, -1- Ji;']

(x-t-rx'

-ïAh-i ^

■Vx^~h^

rp)»-

^î»H-fc.

"'*1 ir-

jjf,

Ainsi nous parvenons pour la détermiDation de la fraction cherchée y à cette conclusion définitive :

Si g^= 0 est la première des équations

ffi = 0, g, = 0,....g,= 0

qu'on vérifie en prenant L^L^, les termes de la fraction y , qui parmi toutes les autres de la forme

s'écarte le moins de

entre x = — h et x = -t-h, sont données par ces formules:

V = fe"-^ [fe^ iV,.^ — 2 a: ]V. ilf . -i- Mf] , où M^, Nf sont les termes de la i™' fraction convergente de

1 £ (a: -t- y 'j:^ — fta)"-^^^ — ft»-2A-t-2 („ +y ^a j,ï)

a; ^ y^rZTÏfi L(x-i- V x'^ — 7iï)"-ï* — A"— «* (« -t- V m^— Z^)

jM'on trouve par son développement en fraction continue et parmi lesquelles on compte y .

Le nombre n est impair,

§ 55. La méthode que nous venons de donner pour la détermination de Lf, et de la fraction y dans le cas de n pair, peut être facilement appliquée au cas où n est impair, comme nous allons le montrer.

Nous avons vu daDS le § 45 que, le nomlire n étant impair, on a ce d'équations:

ou, ce qui revient au même,

(30) 2 L U= (2i—L) {x — h) TT/ — (m -h i) (a; -+- h) W^K

Comme les fonctions m, V sont respectivement de degrés n — l, l — d, et que le degré de TJ ne surpasse pas n — l — d — 1 (§ 43), les équations (28) prouvent que les fonctions

sont de degré -

ir, y (u -L){x-K)~ -^^ [iTo (« - L) (a: - ft) -4- IF, y (it^ — Z*) {x^ - ft»)] '

ce qui nous montre que la fraction

exacte jusqu'aux termes de l'ordre

ffi [ ÏTo {M — i) {« — A) H- IFj y («2 — i*) (a:» - fts)] '

et par conséquent, en vertu de ce que nous avons vu relativement aux degrés des fonctions Wf^, TT,, U, ti, exacte jusqu'à ;^n^=i- Or, comme TT,,

avoir lieu, à moins que ^ ne soit l'une des fractions convergentes c

et que la fraction convergente qui suit celle égale à „? n'ait pour dénominateur une fonction de degré "'*"^"^^. D'où l'on voit que parmi les fractions convergentes de l'expression

aucune n'aura pour dénominateur une fonction de degré '^^—- § 56. D'après cela, en répétant sur le développement de

en fraction continue

ce que nous avons fait dans les paragraphes 47, 48, 49 avec le développement de

en fraction continue

ou reconnaît aisément que la valeur L doit vérifier au moins l'une de ces équations:

6^0 = 0, Gi = 0, G„, = 0,

où G,) , Gj , . . . . G„ ^ 1 sont les coefficients de — dans les ^-^ premiers quotients complets de

D'autre part, si l'équation

est la première parmi

— 363 ■ qui a lieu pour X = L^, et qu'on fasse M 2h , ,

U (» — Zq) (X — ft) M a — (k + Lq) Ix + h) m

en traitant cette valeur de y de la même mauière que celle douuée par la formule (24), on trouve qu'elle est de la forme

et que sa différence avec u, depuis x= — h jusqu'à x:=-t-h, reste comprise dans les limites — L^ et -i-I/o-

D'après cela on conclut, comme dans le cas de n pair (§ 50), que la valeur cberchée de L est numériquement la plus petite parmi celles qui vérifient au moins l'une des équations

Go = 0, G, = 0, 0^^ = 0,

et que cette valeur étant L^=Lg, et

(?, = 0 la première des équations

qu'elle vérifie, la fraction cherchée -^ se détermine par la formule (31), en prenant pour -^ celle des fractions convergentes de

qui correspond au dénominateur q^.

C'est ainsi qu'on parvient à déterminer la valeur de la constante L et de la fraction cherchée y dans le cas de n impair.

xvn.

§ 57. Nous cherclierons maintenant à simplifier la détermination de L et de Y dans le cas de n impair, comme nous l'avons fait (section XV) pour le cas de n pair, et on verra qu'en définitive la détermination de i et de pdans ce cas ne diffère point de celle que nous avons trouvée pour le cas de n pair.

La fonction u étant de degré n — l, les expressions

ne diffèrent entre elles que par les termes de l'ordre -n^'i et moins élevés.

D'où il suit que pour les développements de l' (^xu^i ^^ V^~~h '^^ trouvera la même fraction continue, si l'on ne pousse leurs développements au-delà de la limite, pour laquelle elles s'expriment par les fractions continues avec l'exactitude jusqu'à ^n=i- Or, puisque l'on trouve

f x — h 2a- — A — — ftï

et que cette fraction continue ne donne pas la valeur de y^-zrK exacte

jusqu'à -s=i') si l'on conserve ^~ k de ses dénominateurs, k étant la