partie entière de -^ , il est clair que dans le développement
on aura
(32) qg=l, g^=2x—h, q^=2x, Q;^^^ =2 a;.
D'où noua concluons que les fractions convergentes de
qui correspondent ans dénominateurs
seront
si l'on dénote par
p(0) p(l) pM
la suite des fractions convergentes de
pour la détermination desç|uelles on trouve aisément ces formules:
§ 58. Suivant ce que nous avons montré sur les fractions convergentes de
qui correspondent aux dénominateurs et en faisant
*) On vérifie facilement ces es pression 3 deP'^',§'**, en remarquant qu'elles donnent des valeurs exactes dans le cas de ).t=0, i.^1, et qu'elles vérifient les équations Prt' =2 a; Pl^i— 0 ftî p(X— ï)^ Q(k) ^ 2 X g'^— '> - F g<*--~^\ suivant la forme de la frac-
tion continue 1 -ï
nous trouvons cette expression de 1/; rî, "^i '• Y \u — J^j [X — ")
D'où résulte cette valeur de Z:
g(^~*)y(?t-i-Z)(a;-i-A)— p(^"')y(?t — Z}(a: — /Q Q (^ -') y orrXK^^TÂj p (^ '') V(a — L){x~h) qui, après la substitution des valeurs de
p(™-), ppf-'-'), QC-f""), eP^-),
en vertu des formules (33), devient
En remarquant que n est un nombre impair et que on reconnaît aisément que cette valeur de Zpeut être représentée ainsi:
et comme
cette expression de 2 se réduit à
1 X (x + y"^^^^Â^)"— 't-^-» ■+■ A"— ift+z (» -f- y «^ — z^)
a: ,. y'JâZTftï L ix -t- y itî — feï)'»-2* -+^ ftn-ïS (m -i- y «^ — iï) '
ce qui est identique, au signe de L près, avec la valeur de Z dans le cas de n pair (§ 53).
§ 59. Ea dénotant par
9^, 9',^ 'Js,
les coefficients de — dans les quotients complets de
nous trouvons qu'on aura
''«±!. = ^" "ittl^, + ,=*■■■■ ■^!!=l=»»'
où
suivant la notation admise dans le § 56, désignent les coefficients de — dans les quotients complets de
quand on s'arrête aux dénominateurs î^.^, , g„^, ^ , . . . -îj^^. De plus, en vertu des valeurs de
Soi ?,, 1,, îitt-j,'
trouvées plus haut {§ 57), on reconnaît aisément que Go>G^,G^,....G,^^ ^, les coefficients de -i- dans les '-^^ — k premiers quotients complets de
ont ces valeurs:
D'après cela il est clair que parmi les équations
qui d'après le § 56 déterminent L = L„, les ^^ — h premières ne peuvent être satisfaites, et les dernières se réduisent à
comme dans le cas de n pair; seulement L, en vertu de ce que nous avons vu sur l'expression de Z, sera remplacée par ^ — L.
§ 60. En passant à la détermination de la fractiou cherchée y, supposons que
soit la première des équations
qu'on vérifie par L^^Lf,. Les quantités
en vertu de ce que nous venons de voir, ne pouvant s'annuler, et puisque
dans cette hypothèse l'équation
sera la première parmi
qui aura lieu pour L = L^. Mais dans ce cas, en prenant
«-+-1 , . , n — 1 , ff = — ^ ^ ffi H- ^ — 1 = —5 ft -H ^,
nous trouvons d'après (31) que la fraction cherchée y se détermine ainsi:
y (ii — Xq) {x-h)M^-(u-^ Zq) [x -+- h) m r~ [x — h]M^ — {x-i-k)lf^ »
où
D'autre part, comme les fractions convergentes de
qui correspondent aux dénominateurs sont
et que la valeur précédente de j= peut être mise sous la forme
feî
ftï
fl-1
nous
concluons
qu'on aura
)iK..
Mais en vertu de ces valeurs de M et N l'expression vient
[h-Lq) (x-h) [F (^ ~ ') N-P (^ ~ ') Mj<~iu->-La] jx+h) \Q (^ " ") ^^-Q (^ ' ') M;\^ D'oii, par la substitiitioQ des valeurs de
pp^-.). pr-ï'-'), <)(»*'-.), e(--fi-)
d'après (33), on obtient les mêmes expressions de U et F, que dans le cas
de « pair (§ 54), et dans lesquelles, conformément à ce que nous avons vu (§ 59) sur les équations qui déterminent L = Lo, la quantité ^ se trouve remplacée par — L<^.
Ainsi on parvient à reconnaître que les résultats définitifs, obtenus dans la section XV sur la détermination de la quantité L^, et de la fraction Y pour le cas de n pair, sont applicables aussi au cas de w impair.
§ 61. Pour montrer une application de ce que nous avons exposé, supposons qu'il s'agisse de trouver une fraction de la forme
p^"' X-l-Jl'""'""
qui, depuis x = — h jusqu'à x^-\-h, s'écarte le moins possible du polynôme douné
x"~^ -i- Ax"~^ -^ B x"~^ -*-....
Comme on a dans ce cas
ou trouve que k, qui désigne la partie entière de ~^, est égal à 2. Pour cette valeur de fc, et en prenant
u ^ x"~^ -I- Ax^~^ -t- B x^'^^ -t- . . . .,
nous trouvons par le développement en séries
u-t-Vîfi — L^=2x" '-«-2^ic'' ^-4-25a;" 'h-....,
(a;^-y^=Â"^)"-^-^'= (x-t-yW^'Y^'=2"^^ (x"'^—'^h'x"'*-t~....),
En portant ces valeurs de
u-^^Vli^-ÏJ, (x-t-Vx' — h^)"^'^-^\ (a^-nVa;^ — A^)"-'* dans la formule
~ XH- V a:^ A2 l{x -t- V a:« — ftîj"— ï* — fi"— s* (m -h y «ï — L^) '
on a
x^-m'-V 2„-.^ [!"-. "Zii! a,»-.-,,, . , . J ;,»-• [2»»-1-i-2j1i»-!-
Cette valeur de Z, développée eu fraction coctiDue, nous donne
<ïï
■,,iii) ^-"l
D'où résultent ces fractions convergentes de Z:
et en cherchant les valeurs de 17^, gf^, . . . . , qui désignent d'après notre notation les coefficients de ~ dans les quotieuts complets de 2, nous trouvons
En passant à la détermination de i ^ L^, remarquons que, d'après le § 53, dans le cas dont il s'agit, le nombre k étant égal à 2, la valeur de i^Xj, doit vérifier au moins l'une de ces équations:
La première de ces équations est impossible; on n'a qu'à chercher les solutions de la dernière. Or, en résolvant l'équation
on trouve ces deux valeurs de L:
L={l)-'(A-yjr^').
De ces valeurs de L celle qui a le radical VA^ -+- h^ avec le signe contraire à celui de A sera la plus petite uumériquemeiit. Donc, en vertu de ce que HOiis avons montré dans le § 53 sur la détermination de L = L^, on aura
Kin^
en supposant qu'on prend le radical avec le signe contraire à celui de A.
Puisque cette valeur de Lg ne vérifie que la seconde des deux équations
on prendra et parceque
la seconde fraction convergente de Z, est égale à
on conclut que
D'où, en vertu de ce que nous avons montré dans le § 54 sur la détermination de jT, et en remarquant que ft = 2, nous parvenons à ces valeurs de Uet V:
V= [F-'»-£.fet2?^»-'^(»-''"g^')— ][2a,-H0)'-'xJ
= 2-i...-*"^£;=iV;
où
Tels sout les termes de la fraction
qui, parmi toutes les autres de la même forme, depuis x= — A jusqu'à a; = -•- ft, s'écarte le moins de m = a;"""' -+- Ax'^~^ -t- Bx*'~'' -i-
§ 62. La valeur de L^ montre que pour la fraction y, ainsi déterminée, les limites des valeurs de la différence
depuis x = — h jusqu'à x =
--VA^-i-h^),
zVA^-t-hA,
en prenant le radical avec le signe contraire à celui de A. Comme ces limites pour toutes les autres fractions y de la forme
sont plus étendues, et que la différence M — rjj:=a;"~' -t-Ax"~'''i- . . . . — P^
^j,(il~î)a;-,-pC«— 1)
ou ^ , ^ ,
|(«-^) «("-D^ ^W^ ^(n-Hl)
sont des quantités arbitraires, peut
représenter toutes les fonctions de la forme
x' '-i-Ax -t- A X -+-.... -t- j1' '-f~ ^^ , il en résulte ce théorème:
Théorème 20.
La fonction
depuis x = — Ji jusqu'à x =::-*- h, ne peut rester numériquement au-dessous de
OÙ Fort prend le radical avec le signe contraire à celui de A.
§ 63. En cherchant de la même manière la fraction
qui, parmi toutes les autres de la même forme, s'écarte le moins de
u=x"~^-\-Bx'^~* -+■ Gx"~^-t-. . . ., entre x^ — h et x ^ -*- h, on prendra 1 = 2, et comme pour cette valeur de l la quantité -^^ est égale à | = 2|, ou f
Or, en prenant
u = x"^^ -+- B x"~* -t- Cx"~"' H- .... , h = 2,
dans l'expression de Z (§ 53), on trouve
, "2ft"-
^-i-Bx"-
.ÏÏ"
^n-i^j^Vs-i-—^
nïï"
Cette valeur de Z, développée en fraction continue, nous donne Z= !-
Kir'^--("-'-''")(ir^y
D'où résulte cette suite des fractions convergentes de Z:
et ces valeurs de ^i , jfg , . . . . :
Mx L^-UB-.{n^2)k-
qui désignent pour nous les coefficients de — dans les quotients complets.
Comme 4 = 2, on clierchera la valeur L:=La parmi les racines di ces deux équations:
La première de ces deux équations donne
la seconde
Dans le cas particulier de S = — ^^ h^, ces trois valeurs, au signe près, sont égales. Mais en faisant abstraction de ce cas, nous trouvons que la plus petite numériquement est celle qu'on trouve d'après la formule
en prenant le radical avec le signe contraire à celui de 5 -f- ^-^- h\ D'où, d'après le § 53, nous concluons
Cette valeur de L,, , sauf le cas do S = — - *^-^ A^, ue vérifie que la seconde des équations
Donc, ou prendra
et comme nous venons de trouver
Pour ces valeure de M^, JV,., et en remarquant que k = 2, les expressions de Z7 et F que nous avons trouvées dans le § 54 donnent
r = *"-'[4S'^'-4(*'-2(|pA)^" + (W-2(|Pi.)'] = h''"[8(i)''-'L„x^-.{»-2{i)"-'L,J].
Tels sont les termes de la fraction
qui, parmi toutes celles de la forme
p' x'*~'^ -I- p" x"~* -t- . . ,.-i-ji'"^^'a;+fi"'~^''
depuis x=^ — h jusqu'à x^-t-h, s'écarte le moins de
M =: x"~' ■+- Bx"~* H- Cx""^ H- . . . .
Nous allons examiner maintenant le cas de
que nous avons laissé de côté.
D'après les valeurs de g^, g^, trouvées plus haut, on a, dans le cas de B = — '^h',
ft = ''"-2(ir'A
'"-ii) '■
Comme les racines des équations
valeurs, au signe près, égales, nous trouvons deux valeurs de L = Lfj:
En prenant la première valeur de i^, nous remai'quons qu'elle ne vérifie que la seconde des équations
^' ^*-(ir-^
Donc, on aura
et par là on trouve pour ET et F les mêmes expressions que dans le cas général on l'on a aussi i = 2.
En passant à l'autre valeur de L = Lf„ nous remarquons qu'elle vérifie la première des équations
; „ 1 ^i -M, *"■'' Ni — W,'
et comme
¥a — Son trouve
Pour ces valeurs de M^, N^, et en observant que
nous trouvons, d'après les expressions de U et V données dans le § 54,
D'où résulte la même valeur de y, qu'on trouve d'après les formules du
§ 64. En vertu de ce que nous avons vu relativement à L^ qui détermine les limites des valeurs de la différence
entre x^= — A et a; ^ h- A et en remarquant que
y j)(n-i] 3:î -I- pi") X -I- j<l"-"-i)
peut représenter toutes les fonctions de la forme
x^~^ -i- Bx""* -t- B' x^~^ -t- . . . .-t-B'' nous parvenons à ce théorème :
Théorème !21
La fonction
jusqu'à x = -t-h, ne peut rester numériquement au-c
-Bx' 't-Bx' ' + ....-•-£< ')-H-— --.-—^
m Von prend le radical avec le signe contraire à celui de la quantité B-t-'^h'.
Bulletin pliysico-mathématiç[ue de l'Académie Impériale des sciences deSt.-Pétersliourg, T. XVII, p. 267—261.
Sur une nouvelle série.
Dans mon Mémoire sur les fractions continues, présenté à l'Académie en 1855 et publié dans ses Mémoires (Tome III), je suis parvenu à une formule qui, d'après les valeurs données d'une fonction, aifectées d'erreurs quelconques, fournit directement sa valeur sous la forme d'un polynôme avec des coefficients indiqués par la méthode des moindres carrés. Cette formule comprend, comme cas particuliers, les développements connus des fonctions suivant les cosinus des arcs multiples et suivant les valeurs de certaines fonctions désignées par X'-"K On tire de notre formule plusieurs autres séries, en faisant différentes hypothèses particulières sur la suite des valeura connues de la fonction cherchée. Dans l'hypothèse la plus simple, où l'on suppose ces valeurs équidistantes, telles que
u,^f{k), u^=f{2k), u^ = f{nh),
et leurs erreurs probables égales, notre formule fournit le développement de M = f(x) suivant les dénominateurs de la fraction continue qui résulte du développement de l'expression
Mais comme on trouve que ces dénominateurs, à uu facteur constant près et en prenant Ax = 'h, s'expriment par
A'(x~}i){x—2k)....{x — lh:)(x—nh — h){z — nJi — 2h)....{h ~nk — lh),
il en résulte, en vertu d'une transformation très simple des sommes, cette série remarquable:
u=l2ui-+- t^^^l^C*!?"^^, \{x — h){x~nh — h)
-*- '?S!s^n'»"ltw-X^^ A\x-h)ix-2h)ix-U){x-nh~h)(x-nh^2h){x-nh~
dans laquelle les signes de sommation s'étendent à toutes les valeurs de depuis i=l jusqu'à i=n.
De plus, on trouve que les fonctions
A (a; — h) (x — nh — ft),
A^ (x — h) (x — 2h) (x — nh — h)(x — nJi~ 2k),
ii^(x — h) {x~2h) (x—U) (x~nh — h) (x — nh~2h) (x — nh—^k),
que nous désiguerons, pour abréger, par
sont liées entre elles par l'équation
A' = (2l~^l)hi2x — nh — h)A^~^~{l—lf[n^ — (l—lf]k*A'-\ d'où l'on tire aisément les valeurs de toutes ces fonctions :
A^ ^: ^ {2x — nh — fe),
à'=^W{2x~nh — hf — {«."— l}h\
A^=l6h\2x — nh — hf~3(dn''~7)h^(2x — nh — h),
A*=105¥{2x—nh—h)*—50{3n''-~n)h'^{2x~nh~hy->-9(n'^-l)(n^~9)h\
A^ — 945A^(2a; — ïîfe- hf — 1050(n^—7)h''(2x — nh — hf
-»-15(15«-'— 230ns-t- 407)^^23; — kA — A},
et l'on obtient sur le champ le développement de l'expression
en fraction continue
La série que nous venons d'obtenir, pour l'évaluation de u d'après ses valeurs équidistantes, ne laisse rien à désirer pour l'interpolation paraboli-
que de telles valeurs, vu que daus cette série tous les termes se calculent très aisément d'après les différences consécutives des valeurs données. Dans le cas de
et n infiniment grand, notre série se réduit à une suite ordonnée suivant les valeurs des fonctions X'"\ Dans le cas de
et n infiniment grand, elle so réduit à la série de Maclaurin. D'autre part en multipliant ses termes par m,, et sommant depuis i = 1 jusqu'à i^=n, on en tire cette formule :
v„a — (^"i)' , 3[Si(«-.')û»£? 5[S(.--f-l)(«-i)(«~*--l)û'«f]'
qui, à son tour, dans le cas de et n infiniment grand, devient
Notons encore que les fonctions
A{x — h) {x — nh — h),
A" (x — h) (x — 2h} {x — nk — h){x~ nh — 2h),
A^x—h) {x—2h} {z — Sh) [x — nh—h) (x — nh~2h) (x — nh — U),
qui entrent dans notre série, sont très remarquables par des propriétés analogues à celles des fonctions de Legendre X^"K
Ces fonctions, en outre, fournissent des expressions approximatives de la somme
qui jouissent de la même propriété importante que celles qui ont été données par Gauss pour les quadratures.
Dans un de nos Mémoires ultérieurs on veiTa tous les détails nécessaires sur la série que nous venons de donner et les fonctions remai'quables dont ses termes sont c
