SUR L'INTERPOLATION

FO0RNIES PAR LES OBSERVATIOHS.

(Mémoires de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. "VII'* i T. I, 1869, ;* 6, p. 1—81.)

(Lu le 29 octobre 1858.)

Sur l'Interpolation dans le cas d'un grand nombre de données Fournies par les observations.

Quaud le nombre des râleurs données surpasse celui des termes ^ue l'on conserve dans leur expression, l'interpolation peut être exécutée par diverses méthodes. Mais ces méthodes, dans chaque cas particulier, sont loin d'être également avantageuses ; elles diffèrent entre elles soit par la prolixité plus ou moins grande des calculs, soit par la grandeur de l'erreur moyenne à craindre, tant qu'il s'agit d'interpolation de valeurs fournies par les observations et conséquemment affectées d'erreurs. Comme on ne peut gagner au delà d'une certaine limite sous un de ces rapports sans perdre sous l'autre, il est impossible de donner une méthode d'interpolation qui soit en général préférable à toutes les autres; car, suivant les cas, on tient plus ou à la simplification des calculs, ou à la précision des résultats. Si l'on ne connaît qu'un petit nombre des valeurs d'une fonction interpolée, il se présente peu de ressources pour atténuer l'influence de leurs erreurs sur le résultat cherché, et alors il est important de tirer des données d'interpolation tout le parti possible pour diminuer l'erreur moyenne à craindre, ce qu'on ne peut faire qu'à l'aide de la méthode des moindres carrés. Dans le cas contraire, le nombre considérable des données qu'on a à sa disposition, nous dispense de recourir à la méthode des moindres carrés qui exige des calculs trop longs. Alors, pour la simplification des opérations numériques, on peut bien sacrifier une partie plus ou moins considérable de ce que les valeurs données offrent pour apprécier le résultat cherché. Dans le Mémoire Sur les fractions continues^ présenté à l'Académie en 1855, nous avons traité de l'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres carrés^), et nous sommes parvenu à une série qui fournit directement les résultats d'une telle interpolation, indispensable, comme nous venons de le voir, si le nombre des valeurs connues de la fonction interpolée est assez petit.

*) lia traduction française de ce Mémoire, dont je suis redevable à l'obligeance éclairée de M. Bienaymé, vient de paraître dans le Journal de M. Liouville, T. III, 2™8 Série.

Dans le présent Mémoire nous montrerons comment, d'après nos méthodes, on parvieut à d'autres formules d'interpolation qui peuvent remplacer avec avantage celle dont nous venons de parler, en tant que son application, vu le grand nombre des valeurs données, cesse, d'une part, d'être importante, et de l'autre, devient peu praticable.

Des divers cas particuliers que peut présentei' l'interpolation suivant le nombre plus ou moins grand des valeurs données, noua nous bornerons à considérer celui qui est la limite de tous les autres oii le nombre des valeurs données est infini. Quoique, en réalité, ce nombre ne soit jamais infini, les formules qu'on trouve dans cette supposition peuvent être cependant d'une application utile; car elles présentent la limite vers laquelle convergent très rapidement les résultats d'intei-polation, à mesure que ce nombre augmente, et il ne sera pas difficile de voir, dans chaque cas particulier, de quel degré d'approximation ces formules sont susceptibles d'après les valeurs données.

§ 1. Nous commencerons par exposer la solution du problème qui servira de base à nos recherches.

Problème.

Etant donnée une suite de valeurs de F(x) ^ A,^-^ Â^x-^ . . . -t-A^x^ qui correspondent à des valeurs de x éqnidistantes et très rapprochées entr^elles, comliner les valeurs de F{x), par la seule voie d'addition et de soustraction, de manière à ce que le résultat final ne contienne que le terme affecté du coefficient Ai, et que ce terme soit le plus grand possible.

Solution.

Soient

(1) Fix^}, F(x,l....F{x.)

les valeurs données de

En supposant que

iF{x,), Fix^X F(x^),

(3) Fix^^,.^,), F{x^,,,), . . . .F{x,^,^,),

soient les valeurs de F(x) prises avec le signe -t- . et F(x,,,), F{x,^) F(x^^,-),

celles qui auront le signe — , ou trouve que la combinaison clicrchée des valeurs

F(x,), F{x,),....F(x.) s'exprime par la formule

^F{tt^) ~ '^F{x^) ^ 2^''V — 2-^^V"^' ■ ■ ■

Les valeurs

étant, par hypothèse, équi distantes, cette expression, à un facteur constant près et qui ne change eu rien la solution cherchée, est égale à

l;y(V(="„*r\>-2^(^^>( Vr»^fKl^(''„)^-..- V-1^(»=.'(V-.-^,)-^- • •

ce qui se réduit à

F{x)dx^ F{x)dX'i- F{x)dx~- F{x)dx-i- ,

les valeurs

aîj, 3^2,. . . .x^

étant très rapprochées entre elles.

Or, si l'on fait

et que l'on désigne par a et 6 les valeurs extrêmes de x dans la suite

Xj, a:^,. . . .X., et par v le nombre des valeurs

X,, iC,+„', «(,+,.+/',. ....

rexpressioQ précédente peut être représeutée ainsi:

pi nt ffla f^

F{x}dx— F(x)dx-t- F{x)dx- -«-(-i)" F{x)dx.

Ja Jtqi *'% -J-tii

A cause de quoi notre problème se réduit à la détermination des quantités

sous la condition que pour

F(x)=^A^-i~AiX. . . .-i-Â^x" on ait

dx^sA,,

pi fi^î ps r^

(1) F(x)dx— F(x)dx-t- F{x)dx — -h(-i)' F{x)

Ja Jfn Ji)ï -'tIv

et que le facteur s soit le plus grand possible, en supposant, bien entendu, que, conformément au sens du problème, les valeurs

présentent une série croissante.

§ 2. Pour tirer de ce qui précède les équations relatives à ï]^, t)^, %,..■■% nous remarquerons que la formule (1), en prenant

^^■(3:) ^= Ag-t- A^x-t-. . . .-^ A^x", devient

A^[—a-t-2\ — 2Ti^-t-2\ — — 2(-i)"ïi^-t-{-i)'fc]

-f-|-^,[-«^-f-2V— SV-'^H'" — 2(-i)^V-t^(-i)^6^]

-i-y^3[— a"-i-2V— 2V-^2V-<- — 2(-i)"ï],/-t-(-i)'fc^]

-^-|^,.[-«'-*-2ii,'-2Vh-27]/— o(^,y'^;H-(^iy;.']

D'où résultent les équations

« — 2ïi,-h2iij— -j.2(-l)'ïi, — (-l)'S = 0,

«'— 2ti/-h2t15'— -4-2(-l)'^,/— (-l)'6' = 0,

avec la condition que la quantité

(3) s= J-j[»'-2V*'-*-2V*'-. . . .+2(-irv«-(-irj'-]

ait la valeur la plus grande possible, et par suite la méthode usitée des maxima relatifs nous fournit ces équations :

OÙ Xg, \, \. . . .\ sont des inconnues auxiliaires.

Les dernières équations nous montrent que les quantités

sont les racines de la même équation

Ajj t]" -•- . . . .-^-\■(f-^-'k^■rl-^-\ — ï]' =; 0.

Comme cette équation est tout au plus de degré w, et que les quantités

ni, Ils- \

sont différentes entre elles, il en résulte que v, nombre de ces quantités, ne peut surpasser n. Donc, relativement au nombre v, il n'y a que ces n -i- 1 hypothèses à faire:

De plus, on reconnaît aisémeut que la pi'emière hypothèse comprend comme cas particulier toutes les autres, tant qu'on admet des solutions où quelques unes des quantités

sont égales à h. En effet, si l'on a

n = V, ii^ = h, fi„__i = &,.... ï)„,^, = 6,

dans nos formules fondamentales (1), (2), (3), p termes s'éliminent, et le reste devient identique à ce qu'on trouverait eu prenant

C'est pourquoi, dans les recherches de \, \,. ■ . .ït^, nous nous bornerons à la première hypothèse sur le nombre v, savoir: •i=^n.

Or, pour cette valeur de v, les formules (2) et (3) nous douuent

-2V-^2V— -fr-2(-i)"ï]„2 — (-i)"fc^=0,

«'— 2V-+-2ï]3'— -+-2{-i)''ïi/ — (-i)"&'=0,

(5) s=-,-iïp" -2vi/-+2ii/-"'- . . . . -H2(-ir 7i;--'-(-ir fc'-"'].

Les équations (4) sont eu nombre suffisant pour déterminer toutes les quantités ïii, ï|a,- - . .t]„. Ces équations pourront avoir plusieurs solutions, mais on distinguera facilement celle qui correspond à notre problème, en ayant égard à la valeur de

5 = -rrï[«'"-2V-"'H-2v,/-*''~ .... H- 2 (-i)V"''- (-')"&'"•],

qu'on cherche à rendre aussi grande que possible. De plus, conformément à ce que nous avons vu, on rejetera toutes les solutions où les valeurs

ne présentent pas une série croissante.

§ 3. Il serait très difficile de résoudre les équatioos (4) par les méthodes ordinaires d'Algèbre; mais on y parvient très aisément à l'aide d'une méthode particulière, dont nous nous sommes servi dans le Mémoire cité plus haut; c'est ce que nous allons montrer.

En développant l'expression

J: ?__^.2 , 2(-ir (-1)"

x—a x — ti, a: — 1]; ■ ■ ■ ■ tv—tin x—b

suivant les puissances décroissantes de x, ou a

j: ^^i ,?iziif tii):: =

x—a x — i]i « — % ■ ■ ■ ■ x—-rj„ x—h

-^-iCo'-^V-t-Sïi/- -.-2(-i)"V-(->)"4']

i=i [<•"*'- 2vi,"*''<- 2 V- ■ ■ ■ ■ -.-2H)»»|„"*'-{-l)"6»+'] rfl[»°'"-2>l,"*'-.-2V'~ ■ • . • -,- 2 (-1)" ,„"+'- (-l)"i"«] -^ ist, [«"*'— 2->),"*'-<-2ïi,"+'— -i-2(-if T]/-^'— {-i)"4"+']

D'où, en vertu des équations (4), (5), et eu faisant, pour abréger

«'=(.»*'— 2-ii,"*'-i- 271,"+'— • ■ ■ • -<- 2 (-ifl,"*'— (-')"*"*', s"=(l''*'— 27i,"*'-h271j"*'— .... -t.2(-l)"7i/+"— (-l)"6"*',

nous obtenons

__1 2^2 2 (—1)" (—!)"__ (;-Hl)a a' ^'

«-a « — iii ic — Ils *-iln ^ — & ^'"^^ *"+' a;"-+-*

D'autre part, eu posant

nous trouvons

-L + -L-H....H-=î^), x — tii 3! — 1)3 (p (a:) '

1 1 th'lx)

et par là l'équation précédente donne

x-a ç (a) -iiix) x-b x^-*-^ x^-<-3

D'où, en intégrant,

ou, ce qui revient au i

D'après la composition des fonctions q» (x), i}> (a:), on voit que la plus haute puissance de x dans le développement de la fraction

aura pour coefficient 1, et comme le premier terme du développement de

est G, l'équation précédente suppose

(7=1, et elle se réduit alors à celle-ci:

{x — a] j>» (x) ^^f+i („^2)a,n-^2 {n-t-3)x^-^ [x^h)^~'>"<?^Xl

ce qui nous donne

(7\ '*' ^'^'1 ~ l/'^ ~ ''' '" ^' p2aJ-n ~ a fn + 21 a"->^^ ^ 2 (n -H 3) a:'

C'est au moyen de cette formule que nous trouverons le coefficient s dans l'équation (1)

F{x)dx^ F(x)dx-v- F{x)dx~ -»-(-i)'' F(x)dx — sAi

J« -Jil, -'ïij J-rs^

et les fonctions

qui, d'après (6), déterminent les quantités

ïln ■^3, fis

Mais pour y parveuir nous devons examiner séparément le cas de n pair et celui de n impair.

Le nombre n est pair.

§ 4. Dans le cas de n pair, l'équation (7) devient

D'où il résulte

et comme l'expression

développée en série, ne contient x que dans les degrés inférieurs à — (n ■■*- 1), il s'en suit que la fraction

est la valeur de y ^^ c^'^ "^'i exacte jusqu'à -n-ipî. D'autre part, n étant un nombre pair, les fonctions 9 (x), '^ (x), déterminées par les formules (6), sont du degré ^^ et dans ce cas la fraction ^~ ne peut représenter la valeur de

exactement jusqu'à -s:+5, à moins qu'elle ne soit égale à l'une des réduites

de la fraction continue qui résulte du développement de l/^^ e^^'''^'.'De

plus, comme cette réduite doit représenter l/^:^ e2a;'-^i exactement jusqu'à ïn+2> ^^ 1"^ son dénominateur ne sera pas de degré plus élevé que

9(ir) ou x^, la réduite qui vient après elle doit avoir un dénominateur de degré supérieur h ---^-l. D'où l'on voit que parmi les réduites de la

fraction continue, résultant de l/—-^ e^*'"^\ celle qui détermine la valeur de -^ est la dernière avec un dénominateur de degré inférieur à y-i-l. D'après cela, dès qu'où connaîtra la valeur de s, on trouvera la iraction |^ , et par là, les fonctions i]i (io), 9 (x), dépourvues de leur commun diviseur. Mais en ayant égard à la composition des formules (1), (4), (5), (6), on voit que tous les facteurs communs des fonctions 9 (x), J^ (x) ne donnent

naissance qu'aux valeurs v;,, ï]^, ï]^ , égales deux à deux, et de telles

valeurs de ïji, ïj^, ÏI3. . . ., dans les formules (1), (4), (5), ne produisent que des termes identiquement nuls.

Ainsi l'on s'assure qu'en dénotant par

la dernière des réduites de l/—-^ e^'*^''^^ dont le dénominateur est de degré inférieur à |- -i- 1 , et en faisant abstraction des facteurs communs des fonctions '\i (x), 9 (x) qui n'ont aucune influence sur la composition de nos formules définitives, on aura

où Q, est une constante, et par là, eu vertu de (6), les quantités \, ^3, ,

seront déterminées par la résolution des équations

Comme les quantités

préseoteut une série croissante, en disposant les racines des équations Q^ = 0, P„=0

par ordre de grandeur, on trouvera deux suites de termes respectivement égaux à

^1, lia, 7

§ 5. D'après ce que nous avons montré, on trouvera facilement les quantités ïi^ ïi^, t\^, v)^,. . . ., dès qu'on connaîtra la valeur de la constante s, qui entre dans l'expression l/|^^ e^'^'^'. C'est la détermination de cette constante qui va nous occuper.

En dénotant par -~ — celle des réduites de la fraction continue, ré-

sultant de y -^ e^ ^ "^', qui vient immédiatement après -J- = ^,, nous

trouvons que la différence

est du même ordre que l'expression

Mais nous avons vu que la fraction ^^ doit représenter la valeur de

"l/l^ e^'"'"^' avec l'exactitude jusqu'à ^^; donc cette expression ne

peut être de degré supérieur à — {n~¥- 2), et par conséquent, la fonction

p„ Çj, , dénominateur de la réduite qui vient après -^ = -pj , devi'a être d'un

. Or, d'après cela, on peut toujours trouver

toutes les valeurs de s satisfaisant à nos équations. En effet, le dénominateur de la fraction

étant tout au plus du degré -|-, l'expression --pr- ne peut être que de degré supérieur à -g- -h ] . Donc, la réduite

■Pn

avec un dénominateur de degré inférieur à -^ h- 1, sera immédiatement siii-

D'où l'on voit que la fraction continue, résultant du développement de

l/^^3^e^^^', n'aura pas de réduite avec un dénominateur du degré -g -1-1. Mais si l'on trouve toutes les valeurs des, avec lesquelles l'expression

jouit de cette propriété*), en examinant chacune d'elles à part, on distinguera toutes celles qui, conformément à ce que nous avons vu sur la frac-

Ainsi on parviendra à déterminer les valeurs de s qui correspondent à toutes les solutions possibles de nos équations. Pour choisir parmi elles la valeur s qui résout notre problème, on exclura toutes celles qui conduisent à ses solutions impropres, c.-à-d., où les valeurs

— ^ lu la' ■^3) li' ' -^^''

contre le vrai sens du problème, ne sont pas toutes réelles ou bien ne présentent pas une série croissante. Après cela, la valeur de s, numériquement

*) Dans le Mémoire intitnlé: Sur les questions de mîninia gui se rattachait à ?a reprêsentaticm approximative âes fonetionn, nous ayons montré la marche h suivre pour ti'ouver les valeurs d'une conatante, déterminée par nne condition de ce genre.

la plus grande parmi celles qui restent, correspondra, évidemment, à la solution cherchée de notre problème, où i! s'agit de rendre la quantité

que

En suivant la marche indiquée, on finira toujours par trouver la valeur de fi qui résout notre problème et qui détermine, comme nous l'avons vu, toutes les autres inconnues de la formule

pi p2 pï r*

F{x)dx— F(x)dx-i- F{x)dx— . . .-i-Hr F{x)dx = sÂy

Mais dans plusieurs cas particuliers la détermination de s se simplifie notablement; car souvent la série des valeurs parmi lesquelles on cherchera celle qui résout notre problème, se réduira à un seul terme qui ne pourra être que la valeur cherchée de s. — Remarquons encore que dans toutes ces recherches on pourra faire abstraction des valeurs imaginaires de s qui ne sont pas conformes au sens du problème.

Le nombre n est impair.

§ 6. Dans ce cas la formule (7) devient

ce qui nous donne

Cette formule prouve que la fraction

ne diffère de l'expression

V(m~aHx-b)

que par des tenues d'un ordre moins élevé que -s^f^i et comme d'après (6), pour n impair, oii trouve que ç(a;), dénominateur de cette fraction, est du degré ^4— j cela suppose qu'elle est égale à l'une des réduites de la fraction continue qu'on obtient par le développement de l'ex-

De plus, en dénotant par

celle des réduites de ia fraction continue, résultant de . . - ^=, qui

' yjx — a){x — b}

est égale à |^, et par

la réduite qui vient immédiatement après ^ , ou trouve que la différence

9(a^) -/(a: - o) (3! — 6) Qnz

est du même degré que

D'où, suivant ce que nous avons remarqué relativement à la diffé-

il résulte que la fonction Q^^^ doit être de degré plus élevé que ^— . Mais comme ^r^ ^^t égale à la fraction ^, mise sous la forme la plus simple,

et que (?{x) n'est que du degré ^^, cela nous prouve que Q^^^^^ sera de degré supérieur à ^^ . D'où l'on voit que la réduite

dont le dénominateur est de degré non supérieur à ^^^, est suivie immédiatement de la réduite

avec un dénominateur de degré plus élevé que ~- . Donc, parmi les réduites de la fractiou continue résultant du développement de l'expression

sera la dernière avec un dénominateur de degré inférieur ou égal à ^^ . Or, d'après ce que uous venons de montrer sur les réduites

et en suivant la même marche que dans les §§ 4 et 5, on parvient, relativement à la détermination des quantités

dans le cas de n impair, à ces conclusions: 1) Les quantités

rk, \,'

sont les racines (

où P,^, , Qj^t^ désignent les termes de la dernière réduite de la fraction continue, résultant du développement de s

dont le dénominateur $^^, est tout au plus du degré ^^.

2) On cherchera la valeur de s parmi celles qui ne donnent i fraction coûticue, résultant du développement de l'e

de réduite dont le dénominateur serait du degré ^^— . — Dans la série des valeurs de s qui jouissent de cette propriété on exclura, en premier lieu,

toutes celles avec lesquelles la réduite p— ^, qui vient après ^— ^ =:: ^, a

pour dénominateur une fonction moins élevée que | — , et de plus, toutes celles qui, d'après le JVs 1 , donnent des valeurs

ïll, \, ■^3, %,

ne répondant pas à notre problème (Voyez le § 2). Parmi les valeurs restantes celle qui est numériquement la plus grande sera égale à la valeur cherchée de s. DaDS tout cela on fera abstraction des valeurs imaginaires de s.

§ 7. Pour montrer l'usage des méthodes exposées, nous allons chercher les coefficients de la fonction

F(x) = Jo H- ^j a: -+- . . . .-t-J^x" dans les cas de

Pour simplifier les calculs, nous supposerons que les valeurs données de F{x) sont comprises entre x^ — h et x:=-+'h, ce qui revient à prendre dans nos formules

Pour ces valeurs de a et 6, et eu supposant n pair, nous reniarquerous (§§ 4, 5) que la détermination du coefficient ^ se rattache au développement de l'expression

en fraction continue. Or, au moyen de la méthode ordinaire, on trouve aisément que la fraction continue, résultant de cette expression, a la valeur suivante :

m, -■ — 52/i^' -i- 60ft2 s* — 720ft'' s* — 2880ft6 s-i-2t 14 (s — 2hj a: H —

m [(s — 2/t)3 -f- 32ft»J a; -*- etc.

En examinant la composition de cette fraction continue, on voit que ses trois premiers quotients ne cessent d'être du premier degré, et couséquemment, donnent des réduites avec des dénominateurs respectivement des degrés 0, 1, 2, 3, tant que les quantités

s'~12Âs=^-^-60fe^s* — 720/i^s^— 2880/i*SH-2880Â*

restent différentes de zéro.

Donc, pour que cela n'ait pas lieu, la quantité s doit vérifier au moins l'une de ces équations:

{s — 2hf-ir-S2h^ = 0,

s' — 12As^-i-60À^s* — 720¥s^ — 2880ft^s-i- 2880^^= 0.

D'autre part, en supposant consécutivement que la quantité s vérifie chacune de ces équations, on trouve que la fraction continue, résultant de

y F^ ^'*^^' ^*"^ ^^^ *^^'^ hypothèses sur s, devient respectivement

48a;* -^ etc.' ~ 3s5 — aoh s* -t- 80h'

1920(s — 2A)a;»-t-etc.

~ {s~2hf->-32K> 24(s— 2ft)a!-«- —

D'où, pour les réduites de 1/ - — v. e '^ , on obtient (8) |,

3840(s-2ft)a:*-

48 (s — 2fe} a;' -K 12 (s — 2ftp i

12 (s — 2ft)2 a: -H (s — 2hf -i- 82ft* ' g, ■

supérieurs à 3.

Ainsi nous parvenons à trouver tous les cas, oîi la fraction continue,

résultant de y ^^ e ^, n'a pas de réduites avec des dénominateurs des degrés 1, 2, 3. D'après cela, en suivant la marche indiquée dans les §§ 4, 5, il est aisé de trouver la solution de notre problème pour w ^ 0, 2, 4. C'est ce dont nous allons nous occuper.

Cas de n^Q.

§ 8. Dans ce cas on doit chercher la valeur de s parmi celles, avec

lesquelles la fraction continue, résultant du développement de 1/ ^-^ e ^ , n'a pas de réduite dont le dénominateur soit du degré ^-i-i^^i. Or,

d'après ce que nous avons vu sur les réduites de y -^^ e '^, cela n'a lieu que dans le cas oii

et comme cette équation ne donne qu'une valeur de s

nous concluons sur le champ que c'est elle qui résout notre problème. Pour trouver les quantités

■^1, \, la, ,

nous chercherons parmi les réduites (8), obtenues dans l'hypothèse

celle qui est la dernière avec un dénominateur de degré inférieur à | -t- 1 := 1 . Comme cette fraction est |, il s'en suit

et par là on reconnaît que le nombre des quantités

qui se déterminent par les équations

se réduit à 0.

Or, en portant dans la formule (1) la valeur trouvée de s et en réduisant la série des valeurs

— h, -+-h, on obtient, pour « = 0 et ? := 0,

équation qui se vérifie aisément, eu remarquant que dans le cas de n = 0, la fonction

devient égale à une constante.

Cas de w = 2.

§ 9. Si «= 2, on cberchera la valeur de s parmi celles avec les la fraction continue, résultant de l'expression

n'a pas de réduite dont le dénominateur soit du degré ^-i-l=2. Or,

comme nous l'avons vu (§ 7), cela ne peut avoir lieu que dans les cas où l'une des équations

(H) s~~2h = Q, (.s — 2kf-^-^2h^ = 0

est satisfaite. Poui' choisir parmi les raciuea de ces équatious celle qui résout notre problème, remarquons que dans le cas de

s~2Ji = 0, d'après (8), les réduites de la fraction continue, résultant du développement de y 1^^ e "' , présentent cette série:

Parmi ces fractions la dernière avec un dénominateur de degré inférieur à I -H 1 = 2 étant \, on aura, d'après notre notation, dans la supposition de

Comme pour ces valeurs de $„ , §„ , le degré de Q^ n'est pas su-

s — 2ft = 0

ne donne pas la valeur de s qui résoudrait notre problème. D'après cela il ne reste qu'à chercher cette valeur parmi les racines de la dernière des équations (11), et comme cette équation n'a qu'une racine réelle

nous concluons sur le champ que c'est elle qui correspond à notre problème. Pour trouver 1

remarquons que, dans le cas de

(s — 2ft)»-4-32A'' = 0, les réduites de la fraction continue, résultant du développement de

sont comme nous Tavons vu (9),

J 2^ — fe-t-;s 38iQ(s~2h)x*-i Il 2x-i-h~-^s' 8840(s — 2ft)aT*-j

La fraction

étant la dernière parmi elles avec un dénominateur do degré au dessous de I -I- 1 := 2, nous concluons qu'on aura

D'après cela, pour la détermination des quantités

\, fis,----, nous obtenons les équations

â D'où il résulte

et en portant ici la valeur trouvée de s, on a définitivement

En vertu de ces valeurs de

et en remarquant que dans le cas actuel

la formule (1) nous donne

(* — h V 5 p-t-ft V ! c^ 3

F{x)ilx— F(x)dx-i- Fix)dx=2{l—y4)}tA,.

§ 10. Nous avons vu (§ 7) que la fraction continue, résultant du développement de l'expression