VM
n'a pas de réduite avec un dénominateur du degré 3 seulement dans le cas où s remplit l'une des équations
D'après cela, comme le nombre Y H- 1, pour k^=:4, devient 3, on cherchera, suivant le § 5, la valeur de s parmi les racines réelles de ces équations.
D'autre part, comme, daus la supposition
{s — 2kf-t-S2h'^ = 0,
nous avons trouvé que les fractions réduites sont
1 2x — h-*-ls 3840 (s — 2ft) x* -i T' 2x-+-h—is* 3SiO (s — 2h) X* -i
et que la fraction
la dernière avec le dénominateur de degré inférieur à 3, est suivie de I fraction
dont le dénominateur n'est pas de degré supérieur à celui de
nous concluons que l'équation
{s— 2Af-i-32A^ = 0
ne saurait donner la valeur cherchée de s, et par conséquent, qu'on doit la chercher parmi les racines réelles de l'équation
s" — 1 2À s' -4- 60^^ s* — 720/i* s^ — 2SS0h' s -t- 2880A' = 0.
Or, en cherchant les racines réelles de cette équation, on trouve que l'une d'elles est comprise entre s^=Ghtts^7h, et l'autre entre s :^= 0 et s^h. Pour reconnaître parmi ces valeurs de s celle qui se rapporte à notre problème, nous passons aux valeurs de
qui en résultent.
Comme dans le cas de s^—l2hs^-i-60]t''s*^720¥s^—2S80¥s-i-2SS0h^ = 0, d'après (10), les réduites de la fraction continue qui résulte de
Vhi'
sont
■<-2hYx-*-{t
i-2hf-t-S%h^
;-'ihfx-*'{i
!-2A)»-i-32ft»'
et que parmi elles la dernière avec le dénominateur de degré au dessous de \-\- 1 :=3, est
48 (s — 2ftl x^ -I- 12 (s — 2hf x-^(s — 2hf -*- S2h^ 48 (s — 2fi) »» — 12 (s — %}if x-t-{s—%hf H- 32ft3i
nous trouvons, pour la détermination de
In "^ai j
lia, "«ï,» :
les équations
48 (s — 2A) a;^ — 1 2 (s — 2hf a; -h (s — 2fef -h 32^" = 0, 48 (s — 2ft) a^ -1- 12 (s — 2l'fx -h (s — 2fef -+- ?,2h'' = 0.
Or, on reconnaît que ces équations n'ont point de solution réelle, si s surpasse 2ft. D'oii nous concluons que la racine de l'équation
s^— 12As^ M- 60/î^ s*— 720^ 8^—2880/(^5 -i-2880/i" = 0,
comprise entre s :=; 6 /( et s ^= 7 /i, ne donne pas de valeurs de
^l> ^3, ïlâ) 1t! J
propres à la solution de notre problème, et, par conséquent, que c'est son
autre racine, comprise entre s = 0 et s = A, et dont la valeur approchée est 0,83446 h, qui correspondra à notre problème.
En portant cette valeur de s dans les équations que uous avons trouvées pour la détermination des quantités
\, %,...., on a
3:^ - 0,29138;(a; — 0,54362^;^ = 0, et comme les racines de ces équations, disposées par ordre de grandeur,
SODt
nous concluons qu'on aura
7], == — 0,89725A, 1)3= 0,60587A, ïla = — 0,60587;;, T]^= 0,89725^.
Ainsi nous trouvons les valeurs des quantités
s, Tin \, \, \ pour H =: 4 et en prenant
D'après cela la formule (1) nous donne
j — 0,S9725A /■— Û,60587A pO,60587A /■0,89725ft fJi
F(x)dx~\ Fix)dx-t- F(x)dx—\F{x)dx-t-\ Fix)dx=0,SUi&}iAg.
J —h J^0,89725A J— 0,60587ft JOfiOàBlh J 0,89725;*
Cas de w = i, 3, 5.
§ 11. En cherchant pour ces valeurs de n la solution de notre problème, relatif à la détermination de Âf„ et en prenant toujours
on parvient définitivement aux formules identiques à celles que nous venons de trouver iiour
respectivement; c'est ce qu'on pouvait prévoir, en remarquant que dans les formules
F{x)dx = 2}iA^,
f—h V i çhV l fh
F(x)dx~ F{x)dx-i- F{x)dz = 2 (1 — V4)feA, F{x)dx— F{x)dx-t-\ F{x)dx~\ F{x)dx -v^yF[x)dx=QfiZA4.Q}iAa,
J A J— 0,89725?i J— 0,60587/t Jo,e0587A Jo,89725;(
tous les termes de la fonction
avec les puissances impaires de x s'évanouissent.
§ 12. En cherchant de la même manière la solution de notre problème pour
et en supposant toujours
nous parvenons définitivement à ces formules: Cas de »— 1 ou 2.
F{x)dx=''¥A,.
pu çh
F{x)dx— F
Cas de w = 3 ou 4.
F{x)dx— F(x)dx-i- F{x)dx— F{x}dx=!(y2—l)h'j
Cas de n -
C0,67418ft y«0,91
j— 0,91682fe (•— 0,674ie?t çO p0,67418ft pO,91682ft j-ft
LF(rc)rf:c— F{x)dx-t-\Fix)dx— F(a!)diC-+- F(3:)rfa:— i''(^)'^^ = — <^>82277A^4, j—h J— 0,91682;* J— 0,67418A Jo Jo,67418ft Jo,9J6827t
Be même pour i = 2 et en supposant successivement n=2, 3, 4, 5, nous trouvons:
Cas de tt = 2 ou 3.
J ft J — \h J^h
Cas de « = 4 ou 5.
/■— 0,87305ft p— 0,a7â05ft /•0,37S05A pO,87305A rft
F(3!)(;a;— F(a;)rfx-i- F{3;)rf3;— F{x)dx~^\F{x)dx^-0,1513WA^.
J—h J— 0,87305fc J-0,37305ft Jo,37306ft Jo,87305ft
En prenant l = b et w := 3, 4, 5, nous obtenons ces formules:
Cas de w= 3 ou 4.
F{x)dX'' Fixjdx-^- F{x)dx— Fix)dx = ~^¥A^. J—h J—V'h Jo Jvih
(•— 0,89945fi p— 0,55589ft j-0
F(x)dx— F(x)dx-\- F{x)dx
/.0,55689A /■0,89945fc çh
— F{x)dx-h- F{x)dx— F{x)dx
Jo Jo,55589A Jo,89945'i
= 0,05901feM3.
Le cas de ï^4 et H=:4 ou 5 nous fournit l'équation
îl^ilj V5— 1 V5— 1 y 5-1-1
F(a:)da;— F{x)dx-i- F(x)dx— F{x)dx-t- F(x)dx = -l-h^A^. J~h J ys-i-i, J ys— 1, Jy5— 3 . Jya+i,
Enfin, pour le cas de ^^= 5 et m = 5, on obtient cette formule:
F{x)dx- Fix)dx-i- F{x)dx- F{x)dX'^ F{x)dx- F{x)dx=-^ h^A^.
§ 13. D'après ce que nous venons de trouver il est facile de composer la table des valeurs de v, s, \, ri^, \, ïj^,. . . . dans les cas de
et en prenant pour limites de x les valeurs — A et -+- A. Une telle table se trouve à la fin de notre Mémoire, et on verra dans la Section IV le parti qu'on peut en tirer pour l'interpolation. II est désirable que cette table soit 3 jusqu'à des valeurs de « plus considérables.
§ 14. Dans les paragraphes précédents nous avons donné la méthode générale pour trouver, suivant notre problème, les quantités
dans la formule
fil riî ni
F{x)dx— F{x)dx-i- F{x)dx — .
Ja ■J■n^ Jïia
quel que soit A^, coefficient de la fonction
F{x) = Af,-t-Aj^x-t-. . . .-t-A^x"
que l'on cherche à déterminer. Nous allons montrer maintenant que cette méthode est susceptible d'une simplification notable dans le cas particulier, où il s'agit de la détermination de A^, dernier coefficient de la fonction
F(x)==A^-i-AtX--t~. . . .-4-^x".
Nous verrons que dans ce cas il est aisé de trouver directement les valeurs de
(-i)' F{x)dx — sA„
quel que soit le nombre n, et bous luontrerous plus tard comment on peut eu tirer une nouvelle formule d'interpolation.
Nous supposerons toujours, pour simplifier nos formules,
et nous commencerons par le cas de w impair.
Cas de n impair.
§ 15, En faisant dans les formules du § 6 a = — h, b=: -t-h, nous trouvons que, dans le cas de n impair et l^^n, les quantités
fis, \, .
se déterminent par les équations
OÙ P„^i, ^„^l sont les termes de la dernière réduite de
dont le dénominateur Ç„^.i n'est pas de degré plus élevé que —5^. D'autre part, comme les expressions
ne diffèrent entre elles que par les termes de l'ordre -5^+^ ou moins élevés, et que des termes de ces ordres n'ont aucune influence sur les fractions réduites avec les dénominateurs de degrés inférieurs à ^^, il est clair que dans la détermination de
suivant la méthode meiitionûée, on peut prendre l'expression
au lieu de
Or, d'après cela il est aisé de trouver l'expression générale des fonctions ■P„-j.i ^t Ç„^,, et pour y parvenir nous allons chercher la loi de composition de la fraction continue qui résulte du développement de l'expression
§ 1 6 . Eu remarquant que le produit des valeurs X — Vx^ — h^ X -t- Vx^—h?
se réduit à h^, nous concluons qu'on aura
ou, ce qui revient au même,
et par là, au moyen des substitutions successives de
à la place ( on trouve
Vx^ — h^ X,
2iB-
^iya
2a:-i-(v'«2 ftî a,)
2x-t-(yi^ — h?- — x)
D'où résulte ce déycloppement de ■■ en fraction coDtiniie:
Pour trouver la loi de composition des réduites de cette fraction continue, que nous désignerons par
pW p(0 p(i)
ç(o)' çw^ gw'' ' ' ■'
remarquons que leurs termes sont liés entre eux par les équations
Mais en traitant ces formules, comme les équations aux différences finies, ou en tire
pi™' = C ix-i- Vx^ — h'')'^ -t-C.ix — Vx^ — Â^)"*,
çi"'» =c\{x^ v^^ZTk-^y'^ -i-o^{x- y^:i^-^Y,
où
sont des valeurs iudépendautes du nombre m. Pour déterraiuer ces quantités nous remarquerons que les valeurs précédentes de P'""', Q'"*', pour m = 0, m= 1, donnent
pio» = C'i-Ci, P'" = C (a: -t- Vx^ — h^] -t-C^{x — Vx^ — h"),
(;>»> = C^-i- C3, $*" == q, (a; -1- y;c^ — k^) H- Cg (a; — Vic^ — A^),
et comme d'autre part, d'après le développemeut de eu fraction
continue
on trouve
Pio) 0 PW 1
il en résultent les équations
Cix-t- Vx^ — h'') -i-C\{x~- Vx^ — h') = 1,
C\ ix -+- yx^—k^) -H C3 (a; — Vx' — h'') = x. Ces équations, étant résolues relativement à C, C\, C3, C^, nous donnent
et en portant ces valeurs de G, C^, C^, Cg dans les expressions de F''"\ Ç'™*, on trouve définitivement
(x -t- Vx^ — ft^)"* — (a — Vx^ — ft')"*
Telles sont les valeurs des termes (
p(o) p(0 Pt«) P('"l
de la fraction coutinne
qui résulte du développement de ■ ■-.
§ 17. D'après cela on voit que la dernière de ces réduites, dont le dénominateur n'est pas de degré plus élevé que ^^, a pour termes les fonctions
(x ~t- Vs^"^ A*)"^^ — {x — Va-'— h^y^ " 2Vx^ — h^ '
(x -H Vj^ - h^)"^-!- jx — Vx^ - K'Y^
D'où, en vertu de ce que nous avons vu sur la détermination de
il suit que ces quantités sont les racines des équations
Ua^-^V^^Zk^) ' -^(a^^y^^rrro ' ^^^
Quaiit à la résolution de ces équations, on y parvient très aisément, en remarquant que, si l'on fait
-J=cos9, elles deviennent
C08^<p = 0, ,Jy =0,
ce qu'on vérifie en général, en prenant
(2^ + 1) n 2lK
oii A; et ^ sont des nombres entiers, dont le dernier ne doit pas être divisible par ^^. D'après cela, en faisant successiTement
ft = ^, ft = ~, k = 2, k=l, k = 0,
on trouve pour les racines des équations {12), disposées suivant leur grandeur, et, par conséquent, pour les quantités cherchées
les expressions suivantes;
ï], =7(003—7 11;, Ti,^/iCos — ;-7T, . . . .ïi =/iCOS —^t n ^hcos — r,
\ = h COS ^^ Tî, % = h COS ^^ rt, , . . . T)^__j =:r h COS — ^ .
§ 18. En passant à la détermination de la quantité s, remarquons que, d'après le § 6, on doit chercher sa valeur parmi celles avec lesquelles l'expression
ne dififère de la réduite
que par les termes de l'ordre inférie;ir à — (n-t- 2), ce qui suppose l'équation
Mais comme nous avons trouvé
k-^Vi^-
