VS

rw

U^vr-

2aJ»-t-i ^^ ga^B-t-ï

et que

cette équation devient

D'où, en remarquant que

(x-i-Vx'^ — h^)'^

(ai-^ya!» — ftï) '^ -i-(a; — -/a:^ — &2) ^

i™-[(5#H-H.---)^55iX.^='*'

on obtient

-rr -t- Itm. 7— , ■ - — ■■ ■ I

2 \(a;,y3:a;,î)'n-i^.ftn-t-i y^î^jiîj^

et comme l'expression

2ftn-«-i a;n-i-î

pour XT=::^oo, se réduit à -^^r") ^1 ^^ résulte cette valeur de s:

Ainsi dans le cas de n impair et en prenant

a = — A, h = li, l^=n,

ou parvient directement aux valeure des quantités

s, \, ï]j, ïl„,

qui, d'après la formule (1), nous donnent

Cas de n pair.

§ 19. Dans ce cas, en cherchant la valeur de

dernière réduite de la fraction continue, résultant de l/~-7 e ^ , avec

le dénominateur Q^ de degré inférieur à -|- -*- 1, on peut prendre l'expres-

â sion

au lieu de

qui n'en diffère que par les puissances de x, inférieures à -s, et comme les termes des réduites de la fraction continue, résultant du développement de

s'expriment ") par les formules

il en résulte pour P^, Q^ les valeurs suivantes: â â

En vertu de ces valeurs de P^, §„, nous concluons, suivant le § 4, que les quantités cherchées ^ ^ ^1, lia. >

sont les racines des équations

pour résoudre ces équations, ou fera, comme daus le cas précédent.

*) Voyez notre Mémoire Sur les qmetwne de Minima pii se rattaefient à la re^résenta- Hon ajijiroximatiu des fonctions (§ 57).

d'après quoi elles deviennent

Vl — coacp Tl-i- cos ip

ce qu'OH yérifie, en prenant respectivement

où les nombres entiers l, 2k-+-l ne devient pas être divisibles par m -i- 1 . Les racines des équations que nous avons obtenues pour la détermination des quantités

ïli, ■^a, .

la, %,■■■■, s'expriment donc ainsi:

h cos ^^^, h ces ^i t . . . . , hcos — Acos^î^^, Acos^î—^,.. .., Acos-

et comme ces racines sont disposées par ordre de grandeur, elles sont respectivement égales à

la, %,

D'où l'on voit que les quantités

■^1, Tîa, lis, \,

s'expriment par les mêmes formules que dans le cas de n impair.

§ 20. Pour trouver la quantité s nous remarquerons que, d'après le § 5, elle doit remplir cette condition

Um.

iV'^.^

Or, en substituant les valeurs trouvées de P„, Q^ et en développant g2a!''-+-i en série, on a

[vt-^v'-^r-

KM.ri/î=-j.,^/"*'l =i,

il en résulte

Cette expression de s ne diffère de celle du cas de n impair que par son signe. Or il est aisé de remarquer qu'on embrassera ces deux cas, en introduisant dans la valeur de s le facteur (— 1)" qui se réduit à n- 1 ou — 1 , suivant que n est pair on impair. Ainsi on obtient pour s cette expression:

qui subsistera pour toutes les valeurs de n.

§ 21. Bien que le problème actuel ne se présente poiut dans la pratique, où les valeurs connues de la fonction cherchée ne sont jamais en nombre infini, les formules que nous avons trouvées, en partant de cette hypothèse, sont d'une application utile, comme nous allons le montrer.

Tant qu'on connaît la fonction

F{x) := Aij-i- A-^x -i- . . . .-^A^x'*,

pour toutes les valeurs de x, depuis x=^x-^ jusqu'à a; ^a;^, et qu'on les considère comme équidistantes et infiniment rapprochées, on parvient à tirer, par la seule voie d'addition et de soustraction, les valeurs des coefficients Aq, a,,. . . .A^, pourvus de facteurs aussi grands que possible. Ces expressions qui déterminent les coefficients

seront représentées, comme nous l'avons vu (§ I), par la formule

ni ni f^i

F(x)dx— F{x)dx-t- H-(-i)'' F{x)dx.

D'après cela toute la difficulté de la détermination des coefficieuts

se réduit à révaluatioû des intégrales

pi r-02 r^i

F{x)dx, F(x)dx, F{x)dx.

Or, comme ces intégrales, avec une approximation plus on moins grande, peuvent être évaluées au moyen d'un nombre limité des valeurs de F{x), il est facile de comprendre qu'on peut bien profiter de ces expressions déterminant les coefficients de

F{x) =i Ag-i- A^x -i- . . . .~t-A^x",

tant qu'où a un nombre suffisant de valeurs de F{x), à l'aide desquelles les intégrales

J'^i n2 far,-

F{x)dx, F{œ)dx, F{x)dx

ec une approximation suffisante.

à l'évaluation des intégrales

pi n2 pi

F(x)dx, F{x)dx, F{x)dx,

qu'on aura à faire dans les applications de nos formules, cela ne présente aucune difficulté.

Pour y parvenir plus aisément, on n'a qu'à remarquer que les intégrales

fil pï pi

F{x)dx, F{x)dx, F{x)dx

respectivement les aires de la courbe

sont évaluables avec une approximation suffisante, § 22. Quant à l'évaluation des intégrales

comprises entre 3; = 3^^ et x ^ r^^^ x ^ ti^ ut x = i]^, . . . .ic= ï]^ et x^x^, et que chacune des valeurs données de F{x) détermine l'un des points de cette courbe. Ainsi l'évaluation des intégrales en question se réduit à ce problème de géométrie :

Etant donnée une suite de points, déterminer pour la courbe, passant par ces points, les aires comprises entre des limites données.

Or, un tel problème est susceptible d'une solution approchée, qu'on trouve aisément. Si l'on a la représentation graphique de la courbe

ij==Fix),

construite d'après les valeurs connues de F(x), on trouvera ces aires directement à l'aide du planiraètre. Dans le cas contraire, on pourra trouver ces aires à l'aide d'un calcul très simple, en prenant pour la courbe le polygone déterminé par les points donnés. Ainsi, en supposant que les valeurs connues de F{x) sont

F{x,), Fix,\.. . .F(x^), F{x^^),.. . .F{x^}, F(x,^;),. . . .,

et que les quantités

x:=Xç^, 3; = X

sont comprises respectivement entre x^ et x^^^, x^ et x^^^, on trouve que l'aire de la courbe

entre x^x^^ et x:=X, s'exprime approximativement par cette formule très simple:

Pour donner une idée nette du degré de précision de cette formule, remarquons que la diiîérence entre l'aire de la courbe et celle du polygone, entre les limites x = x^ et x^X, est égale à

(141 wr(^o-,— ^/-^(^o+2-~^o^-i)'^- ■ ■ --^(^T— ^T-,n

^ > 12 L^ ^x-xj {Zx^^-x^^2X)~(x,-x^f isx^^-a;-2x,)j ' iV étant une moyenne des valeurs de ■ . ^ * entre x==Xi^et x^ X.

§ 23. Avec la formule (13) que nous venons de mentionner ou trouve aisément la valeur approchée des expressions de la forme

fil p2 r^i

F{x)dx— Fix)dx-t^....-^(~iy F{x)dx,

J«l J■r,^ Jti^

d'après les valeurs connues de F(x)

F{x^), F{x^), Fix^).

Pour y parvenir on commencera par cherclier dans ia suite

les couples des termes qui sont respectivement les plus proches des quantités

En désignant ces termes par

on trouvera que les quantités

sont comprises respectivement entre x^ et x^, %, et %+j, œ^ et x^..^^^

Xi"., %"+i, ,'^ ,^,), '^ ,^„,, , ^.,^j et * ^^| , ^^^ et ^.. D'aprèscela,

en posant successivement dans la formule (13)

Xq=x^, X=\, Xg = x-i, Xg^^ = x^, x^ = x^', a:^^.^ ^ x,-.^i , o^o— 7],, X=-ri^, Xg = Xi., 3;^,^, = %+!, x^ = x,.., x^^^~ Xi..^i,

^^^\, Z^ïjg, X^^Xi", a^T-i-i ^ ^l"+l ' ^T: = ^i-, ^J^i = ^i-'-t-i ,

^o=\, ^ = ^i, 3^0 = 3^^^, ^0+1 = V+i' ^T = ^-n ^..i = iPi, on ohtient, pour les aires de la courbe

entre x^x^ et a:;=ï]j, 3; = 7]j et a^^T)^, ai^ïj^ et x=f\^,...., x=-t\.j^ et .«^^Tjy, x=7\^ et a;^X, et conséquemment pour les intégrales

pi pî ps fiï r^ï^i

F(a;)da;, ^Xx)(;a;, F(x)dx, F(x)dx), F(x)dx,

•^Xi J>ii Jt,3 -''J,—! J>)ï

— 427 ■ les expressions approchées suivantes:

/•Il

F(x)dx

2 («C-i-i — Xi') '

^^U ■y \Wln- \ (W-n-t]^Pf(a:i-}-(W-^a)'JÏ3^r-i.i)

fl(i;)fc

(»!f"-i-i-i,l'f(».")-(»i-- iifiUm-'-n)

(If i...i-ilj'Hm-H»r-»iJ'rfe"-t-i) . 1

~ 2 (KC'+l— OT")

H-....+ i(VH-,-a^.™-.)î'fe-)

I{x)dx^-^ ±! 5^^ — ^ ±i -I- . . . .

(',,.K,-''.m"',(„)-('(.,-i.)'-f{>ij

D'où, en faisant pour abréger,

^(-1 = i^i — ^f-s) -F (^i-i), -^j = (Xi — Xi^) F{Xi), on a

(16) ^'(ï)^- y(i)(Ja:+ F(i)iJai-....-(-i)' F{x) <ii-i-(-l)' F(i-)(iai=

^3:, Jil, Jïi2 •'^v— 1 -^ilï

,filf,+Jl/,<-. ..-HM|,-M,,^.i-jlf,^,-....-Jlf,.,+M;,,^,+....H-Jlf,,,,-M;,,,^,-....j ^j....— (-l)'-Mi(.-i)+,— ....- {-!)' Mfi)-i-{-if M,n^,~i- . . . . -^{-ifM.l (w-H - ^il' y M - (a:f - niF F(ji-4-i) ^ (m".n - 1,1' J(«") -(a- -.],1' J-ln-.»)

H-(-i)< ''.i'wr''')'-^<''.<-)>~<>i~''-)'^(>)^.>

C'est aiusi qu'on aura les valeurs approchées des expressions de la forme

F{x)dx— F(T:)dx-i-\ F{x)dx~. . . . -(-1)" F{x)dx-*-i~iy F{x)dx, *'œ, Jiii Jfij •'■^t^i •/%

qui déterminent tous les coefficients de la fonction

F{x) = Aa -t- AiX -*-.... ~t- A^3>^.

§ 24. En vertu de ce que nous avons vu, d'une part, sur la détermination des coefficients de la fonction

F{x)z=A(,-t-A-iX. ... H- ^„ a;'*

par des équations de la forme

pi p2 p3 r*i

i,= Fix)dx— F{x)dx-t- F{x)dx — -t-l-iy \F{x}d

JXi Jïli -Jllî -^Tlv

ie l'autre, sur l'évaluation approchée de l'expression

F(x)dx — F{x)dx -+- F{x)dx - h-{- OM F{x}dx

d'après les valeurs connues de F{x)

Fix,), F{x,),....F{x,), tous les coefficients de la fonction

F{x) = A^-+'AiX-i'. . . .-*- A^x^ seront donnés par la même formule

' '°3L---(-"m,,.-„,r-^-'''-»^,c>-*<-')'*,cw,*--"'-')'*J

- a:,' Xi-'+i — Xi"

(X ~-^;\^F(x )-(x — Tîvf JVa! )

^x|■-H-n,fF(x|■y(a—n,1•Ffx,■^-l) ^ (»i".n-%l'r(«-)-(H'-lJ'J(«--n) a:i'+i—xi' xi-+i~~xr

en prenant pour

les valeurs qu'on obtient dans les suppositions de

et pour

les termes de la suite

les plus proches respectivement de

§ 25. A l'aide de la méthode, donnée dans les §§ 4, 5, 6, on trouvera toujours les quantités

qui entrent dans la formule (16).

Mais dans les cas ordinaires de la pratique, où la fonction

F{x) ^ Jo -I- ^1 a; -t- . . . .H-^^ic"

reste de degré inférieur à 6, on peut, avec le secours de la table, jointe à notre Mémoire, s'épargner la peine de chercher ces quantités.

Cette table contient les solutions de notre problème dans les cas de

et en prenant pour limites de x les valeurs

Donc, toutes les fois que dans la suite des valeurs données de F{x)

F{x,), F{x,\....F{x,), on aura

(Tj = x^, et que n, dans l'expression de

~ 430 — ue surpassera pas 5, les quantités

pourront être déterminées par notre table, en prenant

De plus, il n'est pas difficile de remarquer que si l'on cherche, au moyen de notre formule (16), les coefficients du développement de F{x) suivant les puissances de

quellesque soient les valeurs de x^ et x^, les quantités

dans les cas de

seront aussi données par cette table, et que pour cela on doit prendre

En effet, si l'on pose et que l'on cherche, d'après (16), les coefficients de la fonction

en supposant connues ses valeurs pour

X=X^, X^,.. ..Xf, correspondantes à celles de

on trouve, pour la détermination des coefficients £„, K K„,

ce système de formules:

|-Jlf,-«-....+-M-,..-itf,...«-....*(-iW(.l^,*....+(-i)'Jlf,)

te,-

-(Xf-

-iJ'F

iS.x,

XiOlV

-*lv'

fF(ï.^

où les quantités

s, ï],, T]a, ïl^

seront déterminées, en prenant pour les valeurs extrêmes de X celles-ci: Or, comme ces quantités, en vertu de l'équation

se réduisent, au signe près, à

on voit que, dans le cas de

« = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ces solutions seront données par notre table, eu prenant

Quant au cas de « > 5, suivant ce que nous venons de voir, on trouvera, pour ces valeurs de h, les quantités

de la formule (1), à l'aide de la méthode générale, en prenant les limites de X au sigoe près égales, ce qui entraîne beaucoup de simplification dans la recherche de ces quantités.

Remarquons encore que si l'on remplace la variable

par la valeur

les formules que nous veuous de trouver pour la détermination des coefficients K^, E^,. . . .K^, dans le développement de F(x) suivant les puissances de

devienneiit

, jJK-i-jK,-i-.. ..~i-M, — Mf^i — M,.^, — ... . — M,.. (18) sK^=l\

H-Jlf,„„+....+JH.„-J/,...„-....H-(-l)'i¥,(.)n+....+(-l)'Jlf,.

•l-I — lll —

F {Xi-) -

ti-

F{xi-+i)

•+1 — Ïl2-

''F{xr)-