XV
«l-t-iTi
..(''iW+i
(V)— 'Ju—
Ifj = {x^ — Xj) F (a;J, M^ = ix^ — x^) F(x^), ,
Mi^i = {Xf — Xi^^) F{xi i), M^ — (Xf — Xt^-,) Fix^). Dans la formule (17) les quantités
étant celles de la suite qui s'approchent le plus de on voit, d'après l'équation qu'on trouvera les quantités
de la formule (18), en cherchant dans la suite
les couples des termes respectivement les plus proches de
§ 20. Comme les quantités
comprises dans la formule (18), pour les cas les plus ordinaires de la pratique
se trouvent immédiatement par notre table, en preuaut ft =îillfi, et que cette table, à l'aide de la méthode donnée dans les §§ 4, 5, 6, peut être facilement étendue jusqu'à la limite plus considérable et au delà des valeurs de n dont la pratique a besoin, la formule (18), déterminant les coefficients du développement de la fonction
F{x) ^Aa-^ AiX-t-, . . .-i- A^x",
suivant les puissances de
est très commode pour la recherche de son expression d'après ses valeurs connues
Cette formule ne donne l'expression de la fonction F{x) qu'approximativement, à cause des erreurs qu'on commet dans les recherches des intégrales, en remplaçant la courbe par un polygone. Mais ces erreurs, à mesure que le nombre des valeurs données de F(x) augmente, convergent très rapidement vers zéro, et d'après ce que nous avons vu (§ 22), on pourra, dans chaque cas particulier, assigner leur limite. Tant que les valeurs connues de F{x) seront en nombre considérable et qu'elles sont déterminées par les
observations, le plus souvent ces erreurs seront au dessous de celles qui sont dues aux observations elles-mêmes. Dans ces cas notre formule, sans contredit, est très propre à la recherche de l'expression approchée de la fonction F{x\ vu qu'elle détermine séparément tous les coefficients du développement de F{x) suivant les puissances de
et n'exige que des calculs très simples.
L'usage de cette formule est d'autant plus expéditif que la plupart de ses termes et les seuls dont le nombre croisse avec celui des valeurs données de F{x), savoir:
ilf„ M^, M.,
restent, au signe près, les mêmes dans la détermination de tous les coefficients cherchés
et que les autres termes ne sont jamais en nombre supérieur au degré de F{x), ordinairement peu élevé. Quant à l'évaluation de tous ces termes, sous le rapport de la simplicité, elle ne laisse rien à désirer. Mais, comme nous l'avons remarqué plus haut (§ 22), on pourra, à l'aide du planimètre, s'épargner tout-à-fait la peine de faire ces calculs, tant qu'on aura la représentation graphique de la fonction cherchée, et alors, d'après nos formules, on trouvera avec une extrême facilité son expression sous la forme
Af,-i- A-^x -i- . . . .-\- A^x".
§ 27. Pour montrer sur un exemple l'application de la formule (18), nous chercherons l'expression des changements de volume de l'eau à différentes températures, entre / = 0° et i = 25°, d'après les observations qu'on trouve dans le Mémoire de M. Kopp (Annalen der Physik und Chemie, von J. C. Poggendorf, 20. Band, page 45) et dont les résultats peuvent être présentés ainsi:
OÙ par x^ nous désignons des températures et par F{x^) des cliangements d'uuo unité de volume de l'eau à différentes températures au dessus de zéro. Nous clierciieroûs l'expression de F(x) par la formule
A^ -t- A^x -t- AjX^ -t- A^x^,
et pour cela nous prendrons
D'autre part, comme dans la suite des valeurs connues de F{x) les limites de X sont
on aura, suivant notre notation,
et par là
-^irzE
D'après cela, en mettant la fonction F(x) sous la forme K^-t-K^{x— 12,25) -t-K^{x^U,26f-t- K^ix— 12,25f,
et en cherchant ses coefficieats
K„ K^, K„ 7C au moyen de notre fonnnle (18), on a
, r AT, -+- ii£ -H M, — iiff-H— itf.'+a— — i(f;.-j
(19) sK,= l\
(xr+i — T|i — 12,25)' F{xr) — {xi — i], —12,25)' Flxi'^.i)
{xr-+i — t); — 12,25)' F(xt") — (xr — v)^ - 12,25)' Flxi"+i)
Xi-+1 —Xi"
OÙ les quantités
se trouvent par la table, jointe à notre Mémoire, en prenant
ce qui nous donne ce systèrae des valeurs de s, v, t),, i]j,. . . .ï],, corres à i = 0, I, 2, 3:
ïl, = — 0,79370. 12.26 = — 9,7228; 1), = 0,79370 . 12,25 = 9,7228.
Tl, = — 0,5.12,25= — 6,125; ïl, = 0,6. 12,25 = 6,125.
Ed vertu de cela et eu remarquant que, d'après notre notation,
a;,-, %+,, Xf, Xf^^^,. . . .XiW, aîiivt^i
désignent les couples des valeurs qui, dans la suite
sont respectivement les plus proches des quantités
il,-)-12,25, 1), -1-12,26 1), -1-12,26,
on tire aisément de la formule (19) les équations qui déterminent séparément cliacuu des coefficients
7f„ K^, K„ K, de la fouction cliercliée
F{x) = K,-<-K,{x— 12,26) -i-K,{x—l2,25f-^K,{x—li,26)',
§ 28. Pour déterminer le coefficient K^, on prendra
1=0, et on aura
Comme dans la colonne des valeurs de x„, (§ 27), les plus proclies de
i),-i- 12,25 = 9,7228-1-12,25 = 21,9728 sont
a;, = 2,l, a;s=5,2, aîs, = 21,8, x„ = 22,2,
on prendra, conformément à notre notation,
Xi,^x^, Xi-^^=^X^, Xi< = X^, Xi..^^=x^,
Avec ces valeurs de
la fonnule (19) nous douiie
— 14,3913 Zo==^[ilfJ-^-i^f2-H....■^-i^f^—i^f5—...,—ilf3J-^iVIsg-l-. ...H- llj
(a^a — 2,5272)» FjarJ - {x^ - 2,5272)^ F{x^)
(fCag — 21,9728)^ Fjx^,) — (x^j — 21,9728)' ^(Xa;)
En passant à la détermination du coefficient K^ , on fera
et comme pour cette valeur de l nous venons de trouver
s = 62,1579, v = 3, 1]^ = — 10,3010, \==0, ïJ3=10,3010,
et que dans la colonne des valeurs de x^ les plus proches de
ïlsj-f- 12,25 — 0-1-12,25 = 12,25,
ï]3H-12,25= 10,3010-1-12,25 = 22,5510, sont
x^=\,(y, 3^^=2,1, a:„=ll,9, Xi,,= ]2,7 3-28 = 22,2, a-jg=24,0,
on aura, d'après notre notation,
Alors, pour la détermination du coefficient K^, la formule {19) nous fournit cette équation;
62,1 579 K,=l[]\ï,-t-M,-t-M—M,-....-M,^-*'M,,-t-....-t-M,s-M,,~3I,,'] __ {Xi — 1,9490)' F{x^) — (Xg — 1,9490)^ Flx^)
X4 — fFj
(Xis — 12,25)' 2''(tFi4)-(g|4— 12,25)' F(Xi5)
(x,^.j — 22,5510)'P(a^a,) ~ (x,, — 22,5510)' Fjx^g)
En cliercliant de la même manière l'équation qui détermine le coefficient K^,, on prendra
et 00 aura
5 = 919,13, v = 2, ïij = ~6,125, ■113=6, 125,
Pour ces valeurs de
l, s, V, T)p lf]j, i\ i",
la formule (19) devient
(g, - 6,125)^ .F {Xj) - (X, — 6,125)' FjXf)
(a:;s — 18,375)^ F{x^,) — (x^i — 18,375)' Fjx^j)
Enfin, pour la détermination de ff,, on fera
Z = 3, et on trouvera
s=;5629,7, v=3, Tjj^ — 8,6620, ï]a=0, ï]^=8,6620, «'=4, ^"=14, î'"=25; d'après quoi la formule (19) donne -r)(>2QJK^^l[M,-^M^-^...->-M^-M^-...-M,,-^M,,-^...^M,,-M,,-...-^^
jxis - 12,35)' Fja^u) - ('^14 — ^%^^)''F[^u)
(Xsg - 20,9120f >'(a^i5) - (iCas — 20,8120)' J'(XaB)
Au moyen des formules que nous venons d'obtenir, on trouve aisément les coefficients de la fonction cherchée
F{x) = ^0 -4- Zj (a;— 12,25) -i- K^ {x -■ I2,25f -+- K^{x — Ï2,2ôf,
comme uous allons le montrer.
§ 29. Pour trouver les valeurs de
M^ = {x,--x,)F(3:,), M, = {x,—x,)Fix^), Ms = ix^ — x^)F(x,),.... M,, = {x, — x,,)F(x,^, M,^{Xt~x,,)Fix,),
on cherchera les différences
tj = 8,5 —
i.= ll,9-
Ed multipliaDt ces différences par les valeurs ^W, -f'W -P(„),
Jf,
Jf,.
Hu
af.,=
-af„ =
ar„ =
-Ms.=
D'<iù l'on tire sur le champ les valeurs de toutes les combiuaisons des quantités
que les expressions, déterminaot les coefficients
Ko, S,, K^, Ks,
contiennent, savoir:
JfjH-lfj-h-. - . . -t-M—M,--. . . . —M,,-t-M,^^. . . . H- Jf^o^— 0,010523, M^-i-M^-i-Ms—M,—....~M^,-i-M,^-t-....-i-M,s—M,,—Ms,= 0filS2éQ,
M^-^M^-t- -i-ilf,— ilfg— ....— l^-Hilf^a-i- H-ilf3o=0,013457,
ilfj H- JlfaH-...+-Jf^-i^,-...-Jf,,-Hilf,6-^...+Jlf2,-jr28-...-ilfso=— 0,002493.
D'autre part, par la substitution des valeurs de
^(^a), F(x,), F{x,), F(x,), F(x,), Fix,), FixJ, F(x,,}, F^x,,), F[x^^, ^tes), F(^ïfi), F{x,,), F{x,,}, on a
(a^s— 2,5272)^ F{x^) — ^x^~2,52^2f Flx^) — (5,2-2,5273)''. 0,00(>077-i-(2,]-2,5272f. 0,000115
{x^s-^],m2SfF{x^,)-{x2^-2\,^728)Wix2t) (a2,2-2l,97a8)'.0,001989-(21,8-21,972S).0,002043
a^, — iEj, 22,2 — 21,8
(x^— 1,9490)" F{Xs) — [x^— 1,9490)' Fjx^) -(2,l-l,9J90p.0,00OO98+(l,6-l,949Of .0,000077
Xf — x^ "^ 2,1 — 1,6
(3?!^— 12,25PF(a;i^)— fa^i4-1^.25)SJ''(a,5) [12,7— 12,25 )a. 0,O003i7— (11,9-12,15)'. 0,000352 a-is — S'il ~^ 12,7—11,9
(ai9-22,55iOiaF(Xa,)-(%,-a2,5510)^.F(ia)^(24-22,551Q)'.0,002043-(22,a-22,551Op.0,002421 <^n - a^î» "■ 24 - 22,2
(iCj — 6,125)^ 1''(X^) — (a-, — G,125)' J'(Xt|) — (6,3 — 6,126)'. 0,000094+(G,1— 6,125)^,0,000101
[j:aa-18,375)'.F(3;ai)-(iCai— lS,375)'F(a^aa) (18,6- 18,375]^. 0,001 057- (17,4- 18,37 5)' .0,001256
a^îî — %i ^ 18,6 — 17,4
(Xaa~20,912)' J'(a:;t)-(a't 6-20,9 12f J'(^ae) (21,2-20,912)^. 0,00 1496-( 19,8-20,9 12)^. 0,0 01 805 *î8 — «25 21,3 — 19,8
Dès lors les éqiiatiOQS que nous avons trouvées (§ 28) pour la détermiuation des coefficients
Kf„ Kj, K^, Ks nous douûeut
62,157"J-firj = ^"^-0,000014-+-0,000026- 0,002217=0,00691 9,
et par là ou obtient
^a= ^Sr ^ 0,00000630, K,= ^i^^ = — 0,0000000476.
En portant ces valeurs de
dans l'oxpression cherchée de F(x), on a
F(3;J = 0,0003465-1-0,00011131 (a;~12,25)-i-0,00000630{a;— 12,25)^ — 0,0000000476(a;— 12,25f, ce qui présente toutes les valeurs données de F(s!) avec une approximation très suffisante, comme on peut le voir d'après cette tahie:
Valeurs de F{x^) oLaervées.
Valeurs de F(«m) ealculéce.
Différences.
§ 30. D'après la formule (14), et en preuaut, suivant TexpressioE obtenue de F{x),
ir"(3;) = 0,0000126 — 0,0000002856 (a;— 12,25),
on trouve que les erreurs qu'on commet dans nos valeurs des coefficients
en remplaçant, comme nous l'avons fait, la courbe y = F{x) par un polygone, sont comprises respectivement entre les limites
— 0,0000023 et —0,0000040,
-t- 0,00000059 et -i- 0,00000079,
— 0,000000022 et —0,000000032,
— 0,00000000059 et —0,00000000081.
D'après cela on reconnaît aisément que ces erreurs sont notablement au-dessous de celles dues aux observations. Ces erreurs seraient encore plus petites, si les valeurs de l'argument des observations des n°' 4 et 5 n'étaient pas si éloignées entre elles.
§31. Par la méthode exposée dans les sections précédentes, on parviendra à trouver les coefficients de la fonction
avec une approximation plus ou moins grande, suivant le nombre de ses valeurs connues. Mais comme les quantités
qui entrent dans nos formules dépendent essentiellement du nombre «, on ne peut les employer à la recherche de l'expression de F{x) sans fixer d'avance le nombre de ses termes conservés, et conséquemment, tant qu'on ne sait rien sur ce nombre, il est important d'examiner les différentes hypothèses qui s'y rapportent, et de chercher séparément, dans chacune d'elles, l'expression de F{x), ce qui augmente considérablement les calculs. Nous allons montrer maintenant comment par notre méthode on parvient à
une formule d'interpolation, qui lève complètement cette difficulté. La formule que QOus donnerons à présent embrassera toutes les hypothèses possibles sur le nombre de termes dans l'expression de F (a;), et répondra à chacune d'elles suivant qu'on prolonge plus ou moins la série que cette formule représente. Sous ce rapport elle ne laissera rien à désirer, seulement, comme toutes les autres formules de ce Mémoire, elle ne donnera pas de résultat avec la moindre erreur à craindre, résultat qu'on ne saurait trouver directement qu'à l'aide de notre série citée plus haut.
§ 32. Pour parvenir à la formule d'intci-polation dont nous avons parlé, convenons de désigner par le symbole
l'expression de la forme
ni ni pa r*
udx — îtdx-t- iidx — . , .-i-(— i)" udx,
OÙ
la, I4,
sont les racines des équations
fc+
frn-
Vs^
rsî)
dans le cas de n impair, et des équations
dans le cas de n pair.
D'après cette notation, les formules, trouvées dans ia Section TII pour la détermination du dernier coefficient de la fonction
D'où, en substitiiaut la valeur de F{x)^ nous tirons
UAn-t-A,x-i-. . . .-i~A„x")^An\af-t-A, ix-t- . . . . -+■ A„ ix'^ = sA ,
ce qui suppose
Soit maintenant
JTf^O, jx=^0,. . . .jx"'
f{x) = «„ H- a, X -H «^ a:^ -Iune fonction dont on cherche la valeur pour
D'après la valeur de
f[x) = «g -+- ([^ a; -I- «g a;^ H- . . . ■ -•- <i^ *"' on a
J f{x) = [ (fflg -H fflj a; -+- (ïg œ^ H- , . . .-»-«,„ x^)
= rti, I x" -H fl^ J a; -H rïg \x'^ ^- .... H- rtjjj x'"'
et comme nous venons de voir que
Ji^o^O, [a; = 0, J3^ = 0, [3;"~^ = 0,
cela nous donne, dans la supposition de n < m -i- 1 ,
D'où, eu faisant
nous obtenons ce système d'équations:
^f{x) = a^^x° -\- a^^x-{-a^^x^ -^ . . . .-i-a^^x^, jf{x)^a-y^x-~i-a^jx^ -i- . . . .-Hflj^jja:'",
(20) jf{x) = ajx^ H- .... -H ajx"\
Ces équations déterminent tous los coefficients
%, «i, «21 ■ ■ ■ ■%i de la fonction
d'après lesquels on trouvera aisément sa valeur pour x^=s.
§ 33. Pour parvenir directement à la valeur de /'(s), nous prendrons la somme des équations (20), après les avoir multipliées respectivement par les facteurs arbitraires
tf,, û^, û^,. . . .<^„^,.
Ainsi l'on obtient
^>J/'(a;)+ÈJj/'(œ)-.-(9j/"(a;)-i-....-i-fJ^^jAa:;)=rto^AK-^«i('^iJ^-^^J^)
D'où résulte cette valeur île f{s) = a^ -»- «j s -\-a,^s^-^- . . . .-\-a^z^\ (21) 0,lf{p)-^0,lf{x)^0,[f{x)^. . . .-^û,^^JJ{x}=m,
les facteurs
Ûj, 0^, 0^, 0 0^
étant choisis de manière à ce qu'on ait
I a 0 1 ij 1 "a
Or, d'après la forme de ces équations on voit que les facteurs
qui entrent dans l'expression (21) de /'(s) sont les fonctions de s, respectivement des degrés
et que leurs valeurs ne dépendent nullement de m, nombre de termes de la fonction cherchée. Donc si Ton fait )»= co, l'expression de f(s\ donnée
par la formule (21), jouira de la propriété dont nous avons parlé dans le §31. Pour s'en assurer on n'a qu'à remarquer que, dans le cas de «i =: oo , la formule (21) se réduit à une série infinie
ejm H- tf, jf(ai) H- û,sm -^ . . . . ,
et que cette série, arrêtée au terme 0^^Jf(x), donne la valeur de /"{^) qu'on trouve d'après (21) dans la supposition de
f[x) = aa-t-ajX-t-a^x^ -t- . . . - h- «„, a^"'. § 34. Nous allons chercher maintenant la loi de la série
f{„) = ajm -,- o,sm -*- â,jf(x) -H .... ,
qui résulte de la formule (21) dans le cas de m:^^ co.
Les équations (22), qui déterminent les fonctions
pour m = oo, deviennent
Par la solution de ces équations on trouve aisément les fonctions
mais il est difficile de reconnaître leur forme générale. Nous montrerons maintenant comment on y parvient par une méthode toute particulière.
En vertu de ce que nous avons vu (§ 32) relativement aux expressions
ïx'^, ïx, fiC', . . . . fic""', ■h -H -it n
ou a
fa? = 0, <3f=0, f3;"=0, ,
jx = 0, J3: = 0, ,
D'où il suit que, saus rien chaugor aux équations (24), elles peuvent être mises sous cette forme :
e,jii'-i-0^jx'-i-â,jif-t- = 1,
û,ïx-t-fAix-t-0„ïa:-t-.... = s, '■l "i "•
ejx'-i- 0jx'-i- e,jx'-i- = s',
âjjif-h-e^jx'-t-o^fx'-t'. . . . = s',
Or, si l'on multiplie ces équations respectivement par
a étant une quantité quelconque, et qu'on prenne leur somme, il en résulte -•- tf. Tt f ^" H- 4 f rc -^ T f *' -H 4 f ^' -H . ■ ■ . 1
3 |a^j a'J a'J a'Jj J
cette formule se réduit à celle-ci :
(25) «Jiié^.* «Jc^^-^^-fii^--- ■ • •=iî^-
Pour trouver les quantités contenues dans cette formule, remarquons que d'après notre notation
r^i r'^2 r'^is c'^ ^
D'où il suit
f 1 \__ 2 2 __2 ^ ,^xf
Jja— 3!]^ a-f-ft """a— -(Il a — -la a— 1)3
et comme
a-i-fi a— T), a— ï]3 a— 11)3 "''' *■ a — ft
dlog(a-«-fe) 2f? log (g— Tjil 2(?log(g-'.i2i ^ 2ij log [g-Tial ^
da tfa dot da
^ (g — ■»l;)^-..(a-t-fi)
il en résulte
A l'aide de cette formule on obtient aisément la valeur définitive de
Dans le cas de « impair, les quantités 1,, II. .
sont (§ 32) les racines des équations
(a; -t- Vx^— h'f^— (x — /«=— fi')
2 Vx^ — II'
et par là on trouve
eii désignant par G^ et C, des valeurs indépendantes de a. B'après quoi la formule (26), pour n impair, nous donne
<^log^ ■ ■ ■ ■ —
En passant au cas de n pair, nous l'emarqucrons que, pour ces valeurs de n, les quantités
lia, 11*,----, sont les racines des équations
et par conséquent
(a-,,) (a--,.). . . .=0, ^ ? ^J -irH^ ^J— ,
D'après cela la formule (26), pour n pair, nous donne
' Va^ — Ki (a -^■ Va» — Aï)""*"' — (a ~ Va^ - fi^)""
~ 452 - Par les espressious trouvées de
on obtient, pour n = 0, 1 , 2, .... ,
r I 2 4ft2
J j(a — xf- ■^ /a* — h^ (a -i- V'aî — h^f- (« — /a^ — h^f '
J ^{^ - ^r ~ Vi'-h^ (a -^ A"^:::rftâ)-' {„ yt^^rp)^ ' en vertu de quoi la formule (25) devient
Pour simplifier cette formule nous poserons
ce qui nous donne
et d'après cela notre formule se change en celle-ci:
8 r Ot '2h^__ se, •!__ 1
§ 35, Les deux membres cle cette équation se transforment dans des sommes très simples. En effet, comme
OQ trouve
D'autre part, à l'aide de la décomposition en fractions simples, ou obtient
Li-^fLVlY 2>'^ï-ft»l 0(«-3-iV-Â=)^ Au-s--/2*-/iï (hw-î+y'sï-P)^ Im-s+Ve^-K^
et par là
-,ft2 ^ ^(^^/^ilIfiFi^ ^(,^Ygi-hif
