M). ■'Ç 1 V (. -t- Vr^wf - (» - /g^T
De plus, en remarquant que
Vi I 1 2 1 2 I
,^ (2|i-l)P'^lP'*'8P"*"5P"*"7P"^9P"*"
('-à)('-?p)('-fp)----'
on trouve que cette fonnule peut être mise sous la forme
et par là ou obtient
C'est au moyen de cette formule que nous trouverons l'expressiou générale des fonctions
§ 37. Pour trouver la valeur de Û-i remarquons que la formule (26), indépendamment du nombre p, ne peut avoir lieu, à moins que ses deux membres no contiennent les termes avec j^ égaux entre eus. Or, dans le premier membre on trouve que ce terme est
en passant à la recherche des termes correspondants dans le second membre, nous trouvons que le produit
se réduit à
qu'on peut mettre sous la forme
t par
des nombres impairs
sans facteur carré, et en supposant qu'on prenne le terme
avec le signe -i- ou — suivant que les diviseurs premiers de d sont en nombre pair ou impair. Le second membre de notre formule se réduit par conséquent à
4ftTV'«S-ftï (^''p)*"
et par là on trouve que les termes avec ^ sont
— d^ l XP '
en désigiiant par
ceux des diviseurs impairs du nombre X qui ii'out aucun facteur carré. Quant aux signes de ces termes, conformément à ce que nous avons vu, on prendra en général
avec le signe h- ou — , suivant que les diviseurs premiers de d sont ou nombre pair ou impair.
En égalant entre eux les termes avec j^ que nous venons de trouver daus les deux membres de la formule (26), nous obtenons cette équation;
^p ~ 4Ai^y^:=p xp— cil X ^^
ce qui donne pour la valeur cherchée de la fonction d^
4h^2Vei—h^
§ 38. Par l'expression trouvée de Û^^ ou obtient aisément toutes les fonctions
suivant lesquelles est ordonnée notre formule {23). Ainsi, eu remarquant que dans les cas de
le nombre X n'a point de diviseur qui soit impair et en même temps sans facteur carré, nous trouvons pour 6^^, 0^, 0^ ces valeurs:
4fiT
ih^Vi^-
-ftï
g-ha^
4fi*ysî-
-ft*
Dans les cas de
les diviseurs impairs de X et sans facteurs carrés étant
dj = 3, d^=5, rf,=:3,
l'expression trouvée de Û^ nous donne
^ 4&5y^3ftï 5 éhVg^^^
222|fi!
?ie '
I6s>-16ASi3+^A4^
Quant aux quantités
contenues dans notre formule (23), remarquons que, d'après le § 32,
f^l fl2 p3 ffc
J/'(3;)= f{x)dx— f{x)dx-^ f{x)âx — . . . .-»-{-i)" f{x)dx,
et d'après les §§ 17, 19,
\^h cos —
71^^ h cos "^"^ j ^ , ïij = ft cos '"^"^^|- ,-..., ce qui nous donne
/^/■(x)= f{x)dx— f{x)<ix-t- f{x)dx — H-(-i)" A^)'^^'
D'où, eu faisant
on obtient
çh
jj(x)^ j f{x)dx~ \f{x)dx, J—h Jo
J^/(a;)=^ f{x)dx— f(x)dx~t- f(x)dx, J-h J 1 , J 1 ,
//{«)= mdx— fix)dx-t- f{x)dx~ f{x)dx,
J—h •'il -'0 -' 1 ,
ys-i-i, ys— 1, y5— 1, ys+i^ f{x)dx~- f{x)dx-+- I f{x)dx — f{x)dx-i- f{x)dx,
J.- 2 " p-T" (-0 (.T" pT'' pA
/s Aa=) = f{^)d^ — f{x¥x -f- /'{a;)da; — fix)dx ■^- fta;));»; — f{x) dx, J—h J y», •'il, •'0 *'i^3, Ji,
En vertu des valeurs trouvées de
^1, ^3, Oz^ ^4J
notre formule (23) se réduit à ce développement de la fonction f{z): (27) m=^\f(x)dx- \mdx-\f{x)dx- {-.-^ \f{x)dx-\mdx-^\f{x)d'.
— f{x) dx — f{x) dx -H f{x) dx — f{x) dx J—h -J 1 , -^0 -^ 1 ■
ys-i-i V5-1 tÊnLh V5-^-i^
^(a;) dx — f{x) dx -*- f{x) dx — fix) dx-i- f{x) dx
V3 1 1 ys
/.^ 2 " p^ 2 " pO p2 " p2 " pït
— /'(x) dx- f(x)da>t- f(x)dx- f(x)dx+ f(x)dx- f{x)dx J—h J ys, J 1 , Jo Ji, •'v'S.
qui, suivant le nombre de termes qu'on y conserve, donne l'expression f(s) sous la forme d'im polynôme de degré plus ou moins élevé. Quant à l'évaluation approximative des expressions
f(x) dx,
f)dx,
f(x} dx
f{x)dx— f{x]
J—h Jo
ff{x)dx-^(]
f{x)dx,
— 460 ~ d'après les valeurs données de f(s)
fw, fw, m fw,
on y parviendra, eomnie nous l'avons montré dans le g 22, à l'aide du plauimètre, si l'on a la représeutation graphique do la courbe
dans le cas contraire ou les cherchera à l'aide de la formule (15) qui, par le changement de x eu s, F{x) eu f{s), devient
(28) rf{z)ib- ?h)dz^ r'f{!,)iB-....-*-{~i)- [/•(»)*=
■'^i «^li *^% '^■'lu
j rU^t-U,-<-....-^M,-M,,^i-U,,^,-~....-Mf^U,,^i-^....-M, — U,.,.^ "^L-«.-,s-...-{-im„.
..-(~i)'*,i,r(->)'itf,(„^--..-(-i)'JM,
(a--n-»}.l'/WH'f-<lj)'/(«'-i-i) ^ («"-n-%P/|gi-)-(«."-ii,)'/(w"-n)
sont les couples de termes dans ]a suite
respectivement les plus proches des quantités
ili, Il 1,,
et
U, = (s, - «,) /-(a,), Jf, = (3. 2,) /•« ,
Daus la formule (27) les limites de la variable sont — A et -i-/i, ce qui suppose que dans la suite des valeurs donuées de f{z)
fw, /■« m
les quantités s^ et ^. sont, au sigae près, égales. Or, tant que cela n'a pas lieu, on y parvient très aisément par le seul changement de la variable, savoir, en preuant pour la nouvelle variable 0 la différence s — -'"T^^
§ 39. Pour montrer l'usage de la formule (27) nous allons l'appliquer au même exemple que nous avons traité plus haut (III). Dans cet exemple les valeurs limites de la variable sont ir, = 0, x^^ 24,5. Donc, coufomiément à ce que nous avons dit, ou prendra pour la nouvelle variable, que nous désignerons par z, la différence
D'après cela, la table des données que nous avons eue dans le § 27 hange en ceilc-ci:
Comme dans cette taMe les valeurs limites de s sont 2,= — 12,25, %= 12,25,
on prendra
ft= 12,25,
et pour cette valeur de h ou aura, d'après la formule (27), ce développement de la fonction f{ê):
/•12,25 [- çO pl2,25 -j
(29) m = i ma. - md. ~ ^d. ^
J— 12,25 L^— 12,25 JQ J
r , — 8,662 ç-ft (-8,662 /•12,25 ~i
