PAR I.A METHODE
(Mémoires de l'Académie Impériale des sciences de St-Péfcersbourg. VIP i a\ I, 1859, Kl 15, p. 1—24.)
(Lu Je 29 avrU 1859.)
Sur l'interpolation par la méthode des moindres carrés.
Dans le Mémoire Sur les fractions continues j'ai donné la série qui présente le résultat définitif de l'interpolation parabolique par la méthode des moindres carrés. Comme cette série fournit directement l'expression de la fonction interpolée sous la forme d'un polynôme avec les coefficients les plus probables, et sans qu'on fixe d'avance le nombre de ses termes, on conçoit que, sous le rapport théorique, elle ne laisse rien à désirer pour l'interpolation parabolique. Mais pour rendre son usage tout-à-fait praticable, U restait à indiquer la marche commode à suivre dans l'évaluation de ses termes. C'est ce que nous avons fait pour le cas le plus simple où les valeurs de la variable, correspondantes aux valeurs connues de la fonction interpolée, sont équidistantes. En traitant ce cas particulier dans la note Sur une nouvelle formule, nous avons indiqué une réduction de notre série à la formule que voici, très propre à l'application:
-^„(„ï lî)(^2ï)^ 1.2 1.2 ^«.-■'PaW
n{n^-l^)[n^-2^(n^-3^)j^ 1.2.3 1.2.3 " "cVsW
-I- etc., en désignant par
les valeurs données de u qui correspondent aux valeurs équidistantes de x
et en faisant, pour abréger,
Dans cette série les signes de sommation s'étendent à toutes les valeurs de i, depuis i = 1, jusqu'à i = n, et
%(^)> fiC^ <?M, ?8(^).
sont des fonctions entières de ^ qu'on tire de la formule
en adoptant pour l les valeurs
Comme ces fonctions sont liées entre elles par l'équation 9,W = 2 (2i ^ 1) 29,,(2) -{l- \f [«>-(( - 1)'] T,,W,
et que
on trouve sur le champ
Ce développement de u qui résulte de notre série, tant que les valeurs
sont équidistantes, est très commode pour l'évaluation de l'expression de u, vu que ses termes, comme ceux de la formule d'interpolation de Newton, coatiennent les différences
Am,., A\, A^m^,. . . .,
dout les ordres vont en croissant, et que ces différences, sommation, ne sont accompagnées que des facteurs
qui d'après la propriété connue des nombres polygonaux, s'évaluent aisément par seule voie d'addition. Et comme cette série nous fournit l'expression de u avec les coefficients les plus probables, on conçoit qu'elle ne laisse rien à désirer pour l'interpolation dans le cas particulier où les valeurs de la variable qui correspondent aux valeurs connues de la fonction sont équidistantes.
Mais ce n'est pas le seul parti qu'on puisse tirer de notre série pour l'application; son usage est aussi très utile dans tous les autres cas d'interpolation parabolique, comme nous allons le montrer à présent, en indiquant la marche qui conduit aisément à la détermination successive de ses termes. On verra, d'après cela, que notre série procure un moyen très propre pour évaluer, terme par terme, l'expression de la fonction interpolée u, et qu'elle donne, en même temps, la somme des carrés des différences entre ses valeurs connues
et celles qui résultent de l'ensemble des termes trouvés pour son expression. D'après quoi on aura, sur le cliamp, l'erreur moyenne avec laquelle les termes trouvés de « représentent ses valeurs données, et par là on reconnaîtra tout de suite celui auquel on peut s'arrêter. Ainsi, au moyen de notre série on trouvera tout à la fois et le nombre de termes de u qui sont importants pour l'interpolation et leurs coefficients déterminés par la méthode des moindres carrés. Pour faire comprendre la supériorité de cette méthode d'interpolation sur celles dont on se sert ordinairement, remarquons qu'elle donnera précisément, eu général plus aisément, les mêmes résultats, que ceux que l'on trouve par la résolution des équations fournies par la méthode des moindres carrés qui suppose que le nombre des termes dans l'expression de u soit fixé d'avance. D'autre part, en déterminant et le nombre de termes de u que l'on doit calculer et leurs valeurs prescrites par la méthode des moindres carrés, elle sera, si ce n'est dans certains cas exception-
nels, plus espéditive que la méthode d'interpolation de Cauchy qui est loÎD de donner les résultats les plus probables découlant de la méthode des moindres carrés.
D'après ce que nous avoDS montré dans le Mémoire cité plus haut, si les valeurs données de la fonction u
qui correspondent à
sont a,ffectées d'erreurs de la même nature, et que l'on cherche son expression, par la méthode des moindres carrés, sous la forme d'un polynôme de degré quelconque, on aura*)
u = K^'^^{x)~i-K^^^{x)-\-K^'lf^{x)^ ,
où
sont des coefficients constants, et
'î'oia'X 'l'i(^), -l'a H
les dénominateurs des réduites de la somme
qu'on trouve par son développement en fraction continue
Dans cette fraction les constantes
a,, ttj, «3, . . . .
peuvent être choisies arbitrairement. Pour fixer les idées, nous supposerons
*} Fous n'emprunterons de notre Mémoire antérieur que ia forme de cette si tout ce qui est important pour son application sera donué daus ce qui suit.
qu'elles sont choisies de manière à ce que les coefficients de x c quotients
ffi, Sa, 9s,
soient égaux à 1 , et nous désignorous par
les valeurs de
qui remplissent cette condition. D'après cela, et en remarquant que les dénominateurs
2i, Sa, «3,
seront des fonctions du premier degré, on aura, pour la détermination des fonctions
4'o(^)' ^i(^)= la(^)j
ce développement de
en fraction continue:
D'où l'on tire, pour l'évaluation de ses réduites
9o(a=) ÇlN y^Ça^) n('«)
les formules suivantes:
^x (ic}= (3;-&^) ^l^x-, (^)- «X 4'x-2 (^); ?x (^)=(^-^) fx-i (^)-«x î>,-î (^)'
et par là, en faisant
ou obtient, relativement aux fonctions
Bq, fij, jB^, . . . ■ ît\t cette suite d'équations:
if^=(3;6^)iî^ — a^S^,
C'est au moyeu de ces formules que nous parviendrons à déterminer toutes les quantités qui sont importantes pour l'évaluation des termes de notre série.
Comme les réduites
ToW ¥i>) yaW y^L(^) ¥{1-1-1 W %{x)' g<,{*)' ■l'î(*)' ^^' îlT^TI^''
de la fraction continue
qui résulte du développement de
ont pour dénominateurs les fonctions
+.(»'), ■i/A"), U") iw. i+, w
respectivement des degrés
0, 1, 2, IJL, i».H-l, ,
la fraction
représentera la valeur de
.^x — Xf
exactement jusqu'à ^, et, par conséquent, la différence
sera de degré inférieur à — 2]}.. Mais la fonction 'if^ix) étant du degré i»., cela suppose que l'expression
jî,=+,(^)2ï^-ï.W'
est d'un degré inférieur à — p., et de là on conclura que son développement ne peut contenir les termes avec des puissances de .-r supérieures à x~^~* . Donc, on aura
en désignant par
(t., p.), (tt, Ix-Kl), {^,^^2),....
les coefficients de
dans le développement de R .
D'après cela, en adoptant pour l'indice ^ les valeurs
ou trouve pour les fonctions 5 suivants:
B a5),aa,fi9
(23 (2jS) . (Hé)
p ^().-l,l-l) ^ (1-1,1) ().-l,>-Kl)
p (t,l) , (1,1-1-1) , (1,1-1-2) ^ ^ aP>"»"'- a^-i-î x^-«-s
sont des valeurs constantes qui se présentent comme quantités auxiliaires.
gin.
Eu portant dans les formules (3) les développements de
d'après (4), on olDtiendra cette suite de formules:
-y 1 ^tm , (0,1) , (o,g) ,
(M) (W)t(a, — (,. ;, >rl°'°>-4-!5iL),M), 1
x^ x^ X* — * 1' L "^ ^ï iC' J
ft2)^M^(y)^
=(.-6,)[ei'^a|^tt)^....]
-«. L4r ^-^îs--^Siî--^•■•■J'
M^ ^ (Ui^i) , (y*:2) ^ — te i)P-'''-') , l'~'''l I C'-l.'*!) I „ 1
La première de ces formules, d'après le développement de en série
BOUS donne
ic a;^ *:' . . - - ^ j^2 ^3 ....
D'où il suit
(0,0) = 2a;/, (0,1) = 2^;., (0,2) = Sx/,
Par la seconde on obtient, en égalant entre eus les coefficients des mêmes puissances de x,
ce qui nous donne
(1,1)=(0,2)-6,(0,1), (1,2) = (0,3) — ii,(0,2), (1,3) = (0,4)— S,(0,3)
Eo traitant de la même manière toutes les autres formules on recounaitra qu'en général, dans le cas de ^ > 1 , les quantités a^ et \ se déterminent ainsi:
et que toutes les quantités
en fonction de
se trouvent par cette formule :
(X, ii)^(X— 1, it-i-l) — Ï'^IX— 1, [i) — a^(X— 2, I.). On trouvera ainsi successivement les quantités «.„ &i,
et avec ces quantités, d'après (1), ou obtiendra aisément les fonctions
qui entrent dans la composition des termes de notre série.
§ IV
En passant à la détermination des coefficients de notre série, nous montrerons qu'en vertu des formules (2) et (4) ou aura
Sx,!'^,(x,)=0,
si [A < X, et
2xt^{x,) = Ct.,i,),
si fA = ou > À.
où F{x, x^) est une fonction entière qu'on trouve en quotient dans la division de 4'x(ic) par ^ — a^i- Or si l'on décompose la somme
Pour y parvenir, remarquons que d'après (2)
et comme le reste de la division de ■^^^{x) par x — x^ est égal à '^^ix^)^ cette formule se réduit à celle-ci:
n trouvi npose la
en deux parties
et que l'on développe, dans la somme
la fraction
X — Ki
en série
cette formule nous donnera
ce qui suppose, d'après (5), l'identité de ces deux suites:
aJ,-f-i œ^-i-2 3;>.-i-3
Mais comme
sont des fonctions entières, cela ne peut avoir lieu à moins que les termes avec les dénominateurs
dans ces deux suites, ne soient respect ivemeut égaux. Doue
2^j^(3;^)=0, 2a;,.(î/j^(3;.)=:0, Xx^^'\,^X^.)=0, 2 a;/"' ^^^ (a; .) = 0,
2 a:/ ^I;;^ (ic^) = ÇK, X), 2 xj"^' <\>^^ (a;^) = (A, X -i- 1 ), ,
ce qui prouve les équations (5) et (6).
D'après cela il est aisé de déterminer les coefficients
de la série
u = KM^)'^I^Aii^)'^K,'\'Ax)-i-
Pour cela multiplions la série par fl;^'', où ]i. est un nombre quelconque, et sommons ses termes pour toutes les valeurs de
Nous obtiendrons ainsi
2 x^\ = -ffo 2 x>''\>^ (x,) ^K,2 xl''^^ (x^) -t-K^2. x^']^^ (x,)-t-. .. .,
où par Uf nous désignons la valeur de u qui correspond k x^^^x^, et comme, en vertu de (5) et (6), on aura
il en résulte
Zx/-u, = {0,^) K,-i~{l,iJ.) K^-^. . . .-H(f.— 1,[a) K^^-^(i,,i,)K^.
D'où, pour la détermination du coefficient K , en fonction des coefficients fffl) -^11 ■ • ■ -^a—ii ™ tire cette formule très simple:
^ 2xj^■«,•-(o,^t)go-(l,n)g^-....-(^l.-l,|J.)g^,
En adoptant ici pour l'indice [a les valeurs 0, 1, 2, 3,. . . ., on obtient, pour la détermination successive des coefficients
