IL, K,, IL, IL

cette suite d'équations:

5, Sa',in-(0,l)go ■^1— (1,1)

2 iCfSwf — (0, 3) JJTq — (1, 3) g, — (2, 3) Jfa (3,3) '

Il nous reste à montrer comraeut on parviendra d'une manière facile à trouver la somme des carrés des différences entre les valeurs données de u

correspondantes à

et celles qui, pour les mêmes valeurs de x, résultent de notre série arrêtée au terme K^ -^-^ {x), X étant un nombre quelconque. Pour y parvenir, uous allons montrer qu'on aura

(7) 24.^(^.)4;Jrc,) = 0,

tant que v <; |j;, et

dans le cas de [t ^v.

En effet, d'après (1), la fonction <\.^{x) sera de la forme

x' -i- AyX^'^'^ -H A^x''~^ -+-....,

et par conséquent on aura

Mais en vertu de (5), dans le cas de v < fi, tontes les sommes 2x;^^{x^), 2x;-'<\>^{x,), ^x,'-^'<\>^ix,),....

se réduisent à zéro, et par là, d'après la formule précédente, ou trouvera

ce qui prouve Téquation (7).

De même, dans le cas de

on trouve, d'après (5) et (6), que la somme est égale à (;/, [>.), et que les sommes

s'auDulent. En vertu de quoi, pour fJL ^^ v, la formule (9) nous donne l'équation (8)

Au moyen des équations (7) et (8), que nous venons de prouver, il est aisé de montrer qu'on aura toujours

Pour s'en assurer, observons que notre série

prolongée jusqu'au dernier terme, représente exactement toutes les valeurs données de u

et par là on aura

2**( l^t, (:ï^,) = ff« 2^0 (^i) ^^ (3^;) H- ^1 2.p. (a;,) 1^ (*■,) H- ff, 24. J^,) '^^ C.;J M-- . , . .

Mais d'après (7) les sommes

s'annulent, et d'après (8) ou trouve

Donc le développemeut précédent de llUf'\i(x^') se réduira à un terme

ce qui nous donne l'équation (10).

En vertu des équations démontrées, il est aisé de trouver la somme

2[»,-«.*.(a!,)-/f,-l',(ï,)-. . . .-K^M'-if.

pour î = 1, 2, 3, .... n, désigne les valeurs données de w et l'expression

KAMi)-^s:,'i,{x,)-HKMx,)-H.. . .-Hifj4-,,(3^,)

leurs valeurs approchées, obteuues par uotre série, arrêtée au terme ff^ '|^ {xj. Pour cela mettous le carré

[», - X. <!-. (li) - 7f, <., (^,) - K, +, (a;,) — ....- Zx 4.^ (iti)]'

sous la forme

-t-Z,4,,(j)J[;f.+.(a^,)-+-ï,+.K)-i-X,4;,(2!,)-H .... -<-Ki>l'i(ï..)]

ce qui nous donne =2»,'— 2Xo2!(,Wa!,)— 2î:,S«,4i,{i,)— 2y,2!i,<li,(a:,)— ....— 2ff^2«,i])l(a;,)

-^Ji,K^^^,^xM''^)^^^'^'il(n)U':,)'^-K^Ii2^^^^(xM''.^*■■■■*^JVU^M''i -H

-t-i{,K,i.^,(x,yf^x,wK^K,si\,,ixM''i)*Ji>.^'^i'i(''M%)*----'^s^^^

Mais d'après (10) uous aurons

2a,4i,(ï,) = (0,0)K"„ 2»jili,(!C,.) = (l,l)X,, 2«,ifs(x,) = (2,2)/!:, ,

et d'après (8) et (9)

2>l'.K)iW = (0.0), 2i(a;,)|,(:i,.) = (l,l), 2+,(ï..)|,(:t() = {2,2),

SJf,(x,)^,(x,) = 0, 2^yx,]-^,(,x,} = 0 ,

En vertu de quoi la foriaule précédente devient

2h-K.+.W-K,+,K)-Jf,'l'ï(a:,)- -Xj+jW]'

= 2ji,"—2{0,0)X„' — 2(1,1)»,' — 2(2,2)/(','— . . . .—2(k,l)K^' -H(0,0)ï,'-t-(l,l)Z,'-*-(2,2)7f,''-i- -!-(>, X)isr,',

et se réduit à celle-ci :

2[»,~K,'^,(x,)-KMx,) — K,<f,(x,)~- — Z,4-,(i,)]"

= 2ll,i' — (0,0)Z,> — (l,l)Z," — (2,2)74'— ■ • ■ ■ ~(>;'>-)K{'.

Telle est la formule donnant la somme des carrés des différences qui existent entre les valeurs données de u et leurs représentations par la série

» = ï,4.„(a;)-4-X,4,,(l)H-if,,j,,(l)H- . . . .,

arrêtée au terme K^ '^^ (x). En désignant, pour abréger, cette somme par

nous aurons

2rf,' = 2«,'— (0,0)jr," — (I,l)ï," — (2,2)7V— .... — (>.,X)7fj'. D'où, pour la détermination successive des sommes 2d', 2d', 2i',

qui correspondent respectivement aux cas oir notre série est arrêtée aux termes I, 2, 3, résulte cette suite d'équations:

2(J,' = 2m,= — (0,0)X„', 2(Ji» = 2(i,» — (1,1)^,», 2(i/ = 2*,'— (2,2)B,',