VII

Les formules que nous veuoDS de donner pour déterminer successivement les termes

KM^), KMx), KM''),. . . . fi:^^;^(^)

dans le déveioppcmcDt de u d'après notre série, et pour évaluer, en même temps, la somme des carrés des erreurs avec lesquelles les termes trouvés de M représentent toutes ses valeurs données, nous fournissent une méthode d'interpolation parabolique, importante sous plus d'un rapport. En vertu de la propriété remarquable de notre série, cette méthode donne l'expression de u sous forme d'un polynôme avec les coefficients les plus probables. Sans fixer d'avance le nombre de ses termes, par cette méthode, ou les trouvera successivement l'un après l'autre, et on reconnaîtra tout de suite celui auquel on peut s'arrêter d'après la somme des carrés des erreurs avec lesquelles les termes trouvés de ii représentent ses valeurs données, somme qui donne sur le champ l'erreur moyenne de leur représentation. De plus, il est aisé de voir par la composition de nos formules que lorsque le nombre des valeurs données de u et celui des termes de son expression sont considérables, dans notre méthode d'interpolation les calculs sont moins prolixes que dans celles maintenant en usage.

Cette prolixité des calculs est due presque entièrement aux différentes multiplications et divisions dont le nombre s'accroit plus ou moins rapidement, avec ceux des valeurs données de u et des termes dans son expressiou. C'est sous ce rapport que nous allons montrer l'avantage de notre méthode d'interpolation, en laissant de côté les additions et les soustractions qui, dans le travail de ces calculs, n'entrent que pour bien peu de chose, et pour lesquelles ou peut aussi bien manifester l'avantage de notre méthode.

Pour trouver par nos formules l'exprcssiou de u avec X -t- 1 termes, on devra évaluer 3>. h- 1 sommes

2x^, 'Ex?, Ex?, Exf-,

2«^, Ex.u^, Ex^Uf,. . . . Ex^Uf,

et au moyeu de ces sommes, en cherchant les termes

/f.i(i), KMx), KMi;) K^i/lix),

par ce que nous avons tu, et en les réduisant à la forme définitive

A-i-Bx-^Gx'^-\- ,

on n'aura à faire des multiplications ou divisions qu'en nombre 4'k^-t-2.

Mais si l'on cherche cette expression de m, à l'ordinaire, par la méthode des moindres carrés, on est porté à calculer les mêmes sommes

Ex., Ex?, Ex?, Exr'^,

EUf, EXfU^, Ex^Uf,. . . . Ex^u^

pour la composition des équations déterminant X-i- 1 coefficients de w, et en résolvant ces équations à X -f- 1 inconnues, on tombe sur les multiplications et les divisions dont le nombre, avec l'accroissement de X, croît, comme on le sait, bien plus rapidement que 4X^-i- 2.

D'après la méthode de Cauchy, en cherchant, dans le développement de ^^, les termes

A-\~Bx-\-Q)?-i- -\-Hx^,

on doit, pour x = x^, x^, x^,. , . .x^, évaluer plusieurs fonctions, dont les degrés montent jusqu'à X, et composer par leur moyen les sommes qu'on nomme subordonnées. Or cela exige, évidemment, bien plus de multiplications qu'il n'en faut pour calculer les sommes

Ex^, 2»/, Ex^, Exf-,

Eu-, Ex^u^, Ex^u^,. . . . Ex^ u^,

qui se présentent dans l'évaluation de X-*- 1 termes de notre série, et aussi pour trouver celle-ci :

qui entre dans la détermination des sommes

2d/, Ed^^, 2(?/, ,

par lesquelles,, dans notre méthode, on reconnaîtra le nombre des termes importants pour l'interpolation.

D'autre part, pour trouver les fonctions, comprises dans les sommes suhor données, et pour évaluer par elles les coefficients A, B, G,. . . .H de l'expression de

u = Â-t~Bx-i-Gx^-t- -+- ifo\

dans la méthode de Cauchy, il est important de faire plusieurs multiplications et divisions dont le nombre total, avec l'accroissement de X, croît plus rapidement que 4X^ -i- X -i- 3, nombre des mêmes opérations qui se présentent quand, par notre méthode, d'après les valeurs de

'Lx., 5œ/, l.x^, ^xf\