À ONE SEULE VARIABLE

{Bulletin phyeico-niathomatiiiue do l'Académie Impériale des sciences de St.-Pctorstoarg. T. I, p. 193—200.)

(Tm le 14 octobre 1859.)

Sur le développement des fonctions à une seule variable.

§ 1 , Dans mou Mémoire Sur les fractions continues j'ai montré que si l'on cherche, d'après les valeurs données de la fonction F{x)

-FW, -PW -PW,

son expression approximative sous la forme d'un polynôme de degré quelconque, avec des coefficients indiqués par la méthode des moindres carrés, on parvient au développement de F(x) en séries analogues à celles de Fouriei', et qui sont ordonnées suivaut les déuorainateurs des réduites de la

fraction continue résultant du développement de l'expression

les erreurs probables des valeurs données de F(x)

F{x,), Fix;,, . . . F{x^ étant proportionnelles à

eW e(«i)' e(x„i-

D'après cela, en faisant des hypothèses particulièï'cs sur la suite des valeurs

iC^, x^,. . . . x^

et la forme de la fonction 0{x), ou obtient, pour le développement des fonctions, plusieurs séries plus ou moins remarquables. Si l'on suppose les valeiu-s

éqiiulistantcB, lufinimcnt proches entre elles, et que l'ou fasse

Xi^ — 1, »;„ = -I- 1, 0\x) =

Vi — »='

l'expression se réduira h

yi»M

/l — wï Vx^-

La fraction continue qui résulte de cette expression étant

on reconnaît aisément que ses réduites ont pour dénominateurs des fonctions entières de ic qui peuvent être représentées ainsi:

cos 9, cos 2 9, cos 3 9, . . . .

où

9 = arc cos x.

En vertu de ce que nous venons de dire, on est conduit au développement connu de Fourier de f(x) en série ordonnée suivant les cosinus des arcs multiples.

En faisant la même hypothèse sur les valeurs de

et en supposant que 0^(x) se réduit à une constante

x^~x^, on trouve que l'expressiou

^X — Xi

devient

et comme les réduites de cette expression ont pour dénominateurs les fonctions désignées par X'-''\ il en résulte la série connue, ordonnée suivant les valeurs de ces fonctions.

Dans une note lue à l'Académie en 1858 j'ai indiqué l'expression très simple des dénominateurs des réduites de

quand on a

et que les valeurs

^lî ^31

sont équidistantes. Ceci nous a fourni une nouvelle série pour le développement des fonctions, série d'autant plus remarquable qu'elle ne laisse rien à désirer pour l'interpolation parabolique dans un des cas les plus ordinaires de la pratique.

Nous allons indiquer à présent encore deux cas, où les dénominateurs des réduites de l'expression

ai — 3^,-'

ont une forme remarquable, ce qui, en vertu de nos recherches antérieures, donne encore lieu à deux nouvelles séries pour le développement des fonctions, séries qui, dans certaines circonstances, fourniront les l'ésultats avec la moindre erreur à craindre.

§ 2. Si, depuis — oo jusqu'à -t-oa, les différentes valeurs de la variable X ont la probabilité "j/— e~ ''^ , et que l'on cherche pour toutes ces valeurs de x l'expression approximative de F{x), sous la forme d'un polynôme, avec la moindre erreur à craindre, on aura, d'après notre Mémoire cité plus haut, cette formule pour la détermination de l'expression cherchée de f(x}:

— 504 ~ sont les dénomiuateurs des réduites de la fraction coutinue qui résulte de

Or, ce développement de F(x) se réduit à une forme très remarquable, toutes les fonctions

comme il est aisé de s'en assurer, étant exprimables de cette manière très simple ;

(1) ^,{x)^e''".c-l"', -j;,(^) = £W.^,. . . . .^,(^) = efa'.'^. En effet, d'après ces valeurs des fonctions

ou trouve en général

J V~ e~''-'\(x)F{x)ix= >/iJ '^^ F(x)dx=(- 1 )' V\\''-'"' ^" W <*^,

J /l <:-"' 'h'i'-^ ''^■= /ij '^^U'^V'-^-i)' -/■^J«-""'i',"'W<îi>:

CD vertu (I{; quoi la formule précédente devient

= )/|J e-b' F{a.) ix . '\, {X) - -^- e-"-' !<' (x) ix . ■!,, (x) ■otJ <'-'"''I'"'('')<''=-U^)-jâW-\ i-'"'l^"(':)dx.W)

fcW, 'J'.W, W), fcW>.---

sout des fouctiuus entières de x qui, d'après (1), ont les valeurs suivantes: <]^^ {x) = e*^^^ . e— ^^* = 1 ,

^^ {%) = e''^' -^jr- = — 8 /c^ r' -I- 1 2 k^ x,

Cela nous douce eo définitive cette série l'emarquable : F(x) = y\ e-S^* F{x) dx-i-y^\ e~*^' F' (x) dx . ^

H- /A e-~-^^'F"{x)dx.~^^]/^ e-^^'F"'ix)dx.^^ -i-etc.

qui, sous forme de polyuome, fournit les expressions approximatives de F(x) avec la moindre erreur à craindre pour toutes les valeurs de x, entre x = — oo et x^=-i- oo, tant que leurs probabilités s'expriment par la formule "j/ — e^ *. Si l'on fait fc = oo , cette série se réduit à celle de Maclaurin qui donne l'expression de F(x) avec la moindre erreur, tant qu'il ne s'agit que des valeurs de x dans le voisinage de a; = 0. Or c'est ce qu'on pouvait prévoir, vu que la fonction |/ — e~ "" , que nous avons prise pour exprimer les probabilités des différentes valeurs de a;, dans le cas de Je = oo, cesse de s'évanouir seulement pour x égal à zéro.

D'après le développement de F(x) que nous venons d'obtenir, on trouve plusieurs identités intéressantes. Ainsi, en cliercliaut, d'après {2J, la valeur de l'intégrale

\ e-''^F'(x)dx,

on parvient à cette formule :

/y e-!^^^F^x)dx^l e->'^^F{x)dx\-t-^l e-^^'' F' (x) dx\

-ro[/ ^-'^'F'-ix)dxj -H,-^ Ij e-'c^U-""ix)dx

D'autre part, cq ayant égard aux valeurs (1) des fouctions

'i^.ix), 'l'.ix), ■]>^{x), ,

on trouve qu'elles sont liées entre elles par l'équation

4^^ (x)= —2 kx '\ii^ (x) ~2(l — 1) lc'\>i__^ (x).

De là l'on tire aisément les valeurs de ces fonctions, et l'on trouve sur le champ ce développement de l'intégrale

en fraction continue :

-^* -^2ix^

V2fc.x — -

§ 3. En passant à l'autre cas, nous supposerons que les valeurs de x sont comprises entre 0 et -i~ oo, et que ke~'''^ désigne la loi de leur probabilité. En cherchant, dans cette supposition, et sous forme d'un polynôme, l'expression de F{x) avec la moindre erreurà craindre, on aura, conformément à ce que nous avons montré dans le Mémoire cité,

F{x) = -^ ^, ix) -H -°^ ■^,{x)-^^....,

f ^e— te ^p^î (a;) (ja; f te— ^ ^^2 {x} dx

OÙ

sont les dénominateurs des réduites de la fraction continue qui résulte du développement de la formule

Daus ce nouveau cas on trouve aussi les expressions très simples des fouctions ^aix), '}'i(3'), que voici:

(3) 'h(x) = e .6 ,^,(a;) = e •— jj- 4',(a') = e ■ ^i ,

D'où il suit en général:

fa-'''^,(3;)F(3:)t(a;= k'''''^j" F(xjdx

La série précédente prendra donc cette forme:

F(x) = I Se-" ii'(ï) <lx . i W — p '« K-" 7'" (x) ix . ^, (ï)

-i-^Alid'e~'^r(x)ix.\,{i) — ,p^\ hx'e~'"'I"'(x']ix.'!f,(x)

où l'on aura, d'après (3),

•I, (a:) = c" . 'm^ = *V - 4 fa + 2,

<,, (I) = e»» . ""'"^r" = — *W H- 9 4V ~ 1 8 faH-

Cette nouvelle série comprend aussi celle de Maclaurio comme cas particulier, correspondant à & = oo . En cherchant, d'après cette série, la valeur de

on obtient cette identité:

et, d'après les formules (3), ou trouve que les fonctions

sont liées entre elles par l'équation

de là résulte ce développement de l'intégrale

du = , 1»

en fraction continue: