SOR L'INTÉGRATION
(Comptes rendus liebdomadaires des séances de l'Auadémio des sciences. T. LI, 18fi0, p. 46-48. Joatnal de mathématiques pures et appliquées. Il série, T. IX, 1864, p. a42— 247.)
Sur l'Intégration des différentielles Irrationnelles.
En vertu de ce que uous avons montré dans le Mémoire «sur l'intégratioû des différentielles qui contieuncnt une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré» (Journal de Mathématiques pures et a%ypliquée8 de M. Liouville, 1857), l'intégration de la différentielle
en termes finis, quelles que soient les fonctions entières f{x) et F{x\ se réduit définitivement à l'évaluation des intégrales de la forme
i V X* -*-l(ifi -\- mx^ -I- «3! -H J)
où l, m, n, p sont des valeurs connues et L une constante qui se détermine par la condition que ces intégrales soient exprimables en termes finis. Tant que cette condition peut être remplie, on trouve l'intégrale
ivar
v' ic* -I- îx' -«- ma;» -i- tix -i-p
d'après la méthode d'Abcl, en développant eu fraction continue l'expression
y X* -4- Ix^ -+- mx^ -+- nx -t-p,
et en poussant ce développement jusqu'à des dénominateurs où se manifeste leur périodicité. Mais comme cette périodicité n'a pas lieu dans le cas où l'intégrale
f— - . ■ "'"^ — —i^dx
pour toutes les valeurs de L, est impossible eu termes finis, on conçoit que cette méthode conduit à uue série d'opératious qui peut aller à l'infiui sans donner aucun résultat décisif. Cette difficulté ne saura être levée par la considération des intégrales qui déterminent la nature de la fonction
[-;= "''^^ dx
.' V a^-i-lsc^-i-vix'-t-nx-i'p
et par lesquelles on peut reconnaître s'il y a lieu de chercher son expression en termes finis, car pour cela il est indispensable d'avoir la valeur exacte de ces intégrales, tandis qu'elles ne peuvent être évaluées qu'approximativement. Pour l'intégration en question, on doit avoir un moyen qui, d'après la nature des quantités ï, m, n, p, et à l'aide des seules opérations algébriques en nombre limité, puisse manifester si l'intégrale
^dx
J y ic* -I- la:''' -1- mx* -i- «x -t-p
est possible ou non en termes finis. C'est ce que nous avons cherché à faire, et nous y sommes parvenu, en tant que les quantités l, «î, n, p sont rationnelles et le polynôme
x^ -\-lx^ -^ mx^ -t- nx -i- p
indécomposable en facteurs linéaires à l'aide des seuls radicaux carrés. Au moyen de la méthode que nous avons trouvée pour l'intégration des différentielles de ce cas, on parvient, par une série d'opérations identiques, ou à s'assurer que cette intégration est impossible en termes finis, ou bien à l'exécuter complètement. En tous cas le procédé se termine, et chaque fois on peut assigner la limite du nombre des opérations qu'on aura à faire. Kn remettant l'exposé de cette méthode à un Mémoire détaillé sur ce sujet, nous nous bornerons pour le moment à observer que, pour le cas que nous avons résolu, la méthode en question fournit un moyen infaillible d'assigner la limite où, en cherchant l'intégrale par la méthode d'Abel, on peut toujours arrêter le développement en fraction continue.
Cela posé, et en admettant, pour pins de simplicité, que la différentielle '""^ - — -dx est réduite à la forme
V (a* -i-px^ -*-qx-t-r
p, q, r désignant des nombres entiers, la méthode d'Abel relative au cas en question peut être complétée ainsi qu'il suit:
Si claus la différentielle
—^r====^^^ dx
V x''-*- px^ -I- ga: -+- r
le polynùiHG
a>^ -t- px^ -t- qx ^1- r
ayant pour coefficients des nombres entiers, n'est pas décomposaWe eu facteurs linéaires à l'aide des seuls radicaux carrés, cette différentielle, quelle que soit la valeur de A, ne pourra être intégrée en termes finis, tant que dans la fraction continue résultant du développement de
aucun des 2N — 1 premiers dénominateurs n'est du deuxième degré, JV étant le nombre des solutions entières des équations
y^ — 3xs =:p^ -t-12r, z^ \^%''s-x?f-\%x^}S^-^f-^~11 s^] = (4pV 27 3^) 3^-1 (i \{p^- 4r)V9iJg^] r.
Dans le cas contraire, pour une certaine valeur de A^ la différentielle
V a>* ->- px^ -i~ qx -i
s'intègre en termes finis, et Ton trouve son intégrale par la formule
ilog
i(i{x)-t-V x*-t-px^-*-qX'*
OÙ 9 (x) est la réduite qu'on obtient en s'arrêtaut dans le développement de
y 3;* -\-px^ -t-qx-t-r
en fraction continue au premier dénominateur du second degré, et X le degré du numérateur de cette réduite.
La méthode d'Abel ainsi complétée donne tout ce qui est nécessaire pour l'intégration des différentielles en question, vu qu'on peut toujours déterminer le nombre N qui désigne combien les équations
s^[4:X^z-xhf-'[Sxy3+4?f^27s^] = (4:p''-i'27q^)(i^~ie[{p^-4rf-^9pq^]r,
ont de solutions entières.
En effet, k duroière de ces équations suppose que le carré de z divise le nombre
Donc, eu cherchant les diviseurs carrés de ce nombre, on parviendra à assigner toutes les valeurs que peut avoir l'inconnue z. D'autre part^ en prenant pour s chacune de ces valeurs, avec le signe h- ou — , on aura pour obtenir a; et j/ deux équations qui déterminent complètement ces inconnues, et qui, d'après la forme de ces égalités, ne peuvent avoir plus de six solutions. Il sera donc facile d'éuumérer les solutions entières de ces équations, et on voit que leur totalité ne surpassera jamais le produit du nombre des diviseurs carrés de
(4 j?" -1- 27 g^} 3^ ~ 1 6 \^f 4 r)'' -»- 9 'p<i)\ r. par 12.
SUR
.u lAY Jt Jawtt A A AuiY JJJ& h£L Vis M IkiXika l i.iklj.ij.ik
îdx.
' X -\- a3f -H px -t- ya; -f- o
{Bulletiu de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pôtersbourg. T, III, 18G1, p. 1-12.)
(Lu le 19 octobre 1860.)
Sur l'intégration de la différentielle
L'intégration do la différentielle
V X* -I- ax^ -t- &a!* H- ïx -I- 3
ne présente aucune difflcnlté, si la fonction
aï* -+- «œ^ H- ^x^ -t-yx-H-^
a des facteurs égaux. En faisant donc abstraction de ce cas, nous supposerons dans tout ce qui suit que les facteurs de la fonction
a;* -I- ax^ -i- ^a;^ -h y^ -«- S
sont tous différents entro eux. Dans cette hypothèse, comme l'on sait, Tintégratiou de
dx
y ic* -I- cut;3 -H Pa;î -t- YX -t- S '
en termes finis est impossible; de là on conclut que l'intégrale
ne peut être exprimée en termes finis que ilans le cas où l'on donne à la constante A une valeur convenablement choisie. En effet, si l'on admettait que l'intégration de
<^-^^ fly,
V x'^ -\-itx* -t-'^x^ -f fx -i- s
en termes finis fut possible dans le cas de A = C aussi bieu que daiîs celui de J, ^ C?j , on trouverait que la même chose aurait lieu relativement à la différentielle
V x*-t- ax^ -t- ^x^ -t- 1^ -t- i
qu'on obtient en retrauchaut les différentielles
an-C
^dx,
l'une de l'autre, et en divisant leur différence par C — C^ ce qui est inadmissible. D'après cela les différentielles de la forme
= dx
Vx^-i- ax^ ■+- ?tx^ -i-yx-*
présentent l'un des deux cas: ou, pour une certaine valeur de A, l'intégrale f -7^ '^ ~^ ~dx
J Vx*-t-ax^-*-pa^-^-?x-^-■t
s'exprime en termes finis, ou bien, pour toutes les valeurs de A, une telle expression de
J Y x*-t- ax^-t- p3;ï -t-fx-t-S
est impossible. La discussion de la différentielle
V x*-i-axS-i-?>x^-t-1x-i-S
sous ce rapport est d'une très grande importance. C'est à cela que se réduit, en définitive, l'intégration des différentielles qui contiennent la racine carrée d'un polynôme du 3"^ ou du é""* degré, comme nous l'avons montré dans le Mémoire sur ces différentielles, et c'est par là seulement qu'on peut reconnaître, si la fonction elliptique donnée de la troisième espèce est réductible ou non à celle de la première. Ces questions importantes surpassent les moyens que possède l'Analyse dans son état actuel, faute d'un critérium infaillible par lequel, d'après les valeurs des coefficients a, p, y, 8, on puisse reconnaître si l'intégration de
= dx,
pour toutes les valeurs de A, est impossible en termes finis ou non. D'après
ce qu'Abcl a tloiiué daus son iu^éuieux Méuioin; sur l'iutégration de la
iVx^-i-^i
pour toutes les valeurs de A, n'est impossible en termes finis que daus le cas où la fractioa coutiuue, résultant du développemeut de
y X* -t~ ax' H- ^x^ -1- yir -+- §,
est dépourvue de périodicité. Mais c'est ce dout ou ne peut s'assurer aussi loin que soit prolongé le développement de
y a:* -I- ax^ -t~ i^x^ -t-yx-t-^,
vil que le nombrs de termes dans une période reste arbitraire. De même ou ne peut tirer, par rapport à cette question, aucun parti de la cousidératiou de certaines intégrales définies, d'après lesquelles on peut assigner analyti ■ quement tous les cas des différentielles de la forme
= dx
y at* -I- ax^ ■+- 0a;^ + y^ ~i
qui s'intègrent en termes finis; car, pour recouuaître par là que la différentielle donnée, pour toutes les valeurs de A, n'admet pas une telle intégration, il est indispensable d'avoir les valeurs exactes de ces intégrales, tandis qu'elles ne peuvent être évaluées, d'après les coefficients a, P, y, S, qu'avec une approximation plus ou moins grande.
Pour la solution complète des questions importantes que nous venons de mentionner, on doit trouver un procédé qui, d'après les coefficients a, [i, Y, 8 et à l'aide d'une série d'opérations algébriques eu nombre limité, conduirait à reconnaître que par le chois convenable de A il est possible ou uou de rendre l'intégrale
-dx
exprimable en termes finis. C'est ce que nous avons cherché à faire pour le cas de œ, ^, y, S rationnels, et, pour ce cas, nous avons trouvé une méthode qui, au moyeu des opérations algéhriques et en nombre limité, conduit ou à trouver l'expression de l'intégrale
avec une certabe valeur de A, ou à reconnaître que pour aucune valeur de A cette intégrale n'est possible en termes finis.
Cette méthode d'intégration de la différentielle
- dx.
sont rationnels, consiste en ce qui suit: 1) On réduira l'intégrale
ÏVW.
ds,
où l, m, n sont des nombres entiers, ce qu'on peut toujours faire par la substitution linéaire
x = a^ ^ -H èy , si la fonction
a!^ ~+~ ry.x" -+- px^ ^- ya; Hh- S
a un facteur rationnel du premier degré. Dans le cas contraire on réduira préalablement l'intégrale
en posant
^.,„^>.UB-^.ï
