IX

d'après quoi, en faisant

3 a* -t- IG aî0 - 16 ay — 16 il= ->- 64 *

aa" — 8a!i-i-16r "'

on obtiendra

-t-va:

/--Jf^r',^^t" '

où la Qouvolie intégrale contient sous le signe du radical un polynôme doué du facteur rationnel s.

2) On examinera si la fonction

est décompoaable en deux facteurs rationnels du second degré

[s^ -t-p2) [z^ -t-rs-^-s) dont les coeflicienfs ^?, r, a vérilieiit l'équation

(1) s {p^ —pr -I- s) =^ nombre carré, et au moins l'une de ces deux iHégalités:

(2) ^r — 2s>0. ou 4s — ï-^>0.

Dans le cas où il est possible de décomposer la fonction

é* -+- y -+- im^ -+- ns eu deux facteurs

{s^ -i-ps), {z^ -+^rz-i- s),

qui remplissent ces conditions, et quejp n'est pas égal à r, on réduira l'intégrale

en posant

(p — '•)''|g°-^pg)^.

ce qui donne

1, yT^-y^i -i-(n — r)ï La nouvelle intégrale

se réduira de la même maiiière, en tant que la fouctiou

h \S -^ (P — *■)'] [(^1 -^P^ —^^f -^ 4 s^i] est décomposable en deux facteurs rationnels

qui remplissent les conditions

Sj (^1^ -—Pi^i -+- Sj) = nombre carré,

ï^/i— 2Si>0, ou 4Si~r^^>0,

p^ n'étant pas égal à r^. Et ainsi de suite. — Si, dans ces réductions, on rencontre une intégrale

dans laquelle la fonction

se décompose en deux facteurs

[s^ -\~pfi) [s? -+- r^s^ -+- s^.)

dont les coefficients jj^., r^ sont égaux, on trouvera immédiatement l'expression de cette intégrale, d'après la formule

^^V Z{^-^. p^i -t- y g,-2 -I- piZj H

en prenant

Dans le cas contraire on répétera ces réductions jusqu'à ce que l'on par- Tienne à l'intégrale

^-*-Si

-rf3i,

dans laquelle la fonction

s\ -+- l-S^y -+- )Kj 3\ -t-n-s-,

n'est plus déconiposable en deux facteurs rationnels du second degré

qui remplisseut les conditions

s- {^^j — p-^r-^ -i- s^J ^^ nombre carré, p-^r-^ — 2Sj^>0, ou 4 s- — r^^ > 0,

et on ti'aitera cette intégrale par nu iirocédé que nous allons exposer tout de suite.

3) Ayant à intégrer la difféi-eutielle

t-ia'-t-m

z^ds.

oii la fonction

^* H- h"' -f- ms^ -t- ns

n'est pas décomposable en deux facteurs rationnels

'(s^ -+- j}s) if' -\-rs-*-s)

qui remplissent les conditions

s {p^ — pt -H s) = noiB&re carré, pr — 2s>0, ou 4s — r''>0,

on calculera, d'après

les formules

, , ft^-4mf)î

-f'-^t "1 2 ^i' „ 8 liuii -*- 16 ni

»<-., = - 2'», -f-l-iA

;„ = ?, :\ = m, ng = n,

eu poussant le calcul jusqu'à ce que l'on rencontre daus cette suite une valeur fractionnaire, ou que l'on trouve deux systèmes de nombres

qui soient respectivement égaux. Dans le premier cas on conclura que l'intégrale

f , '^^ iz,

pour aucune valeur de B, n'est exprimable en termes finis. Daus le second cas il sera certain que cette intégrale, pour une certaine valeur de B, est exprimable eu termes finis, et son expression sera donnée par cette formule:

,di! = \og{Vz^Vs,^

.Va,

sont des fonctions algébriques de g qui se déterminent ainsi:

__ l'y. Jq' — I ?o"'o -t- i «0

/ 3* -«- /gS^ -I- BloS* -f- «O» — S^ — Y ^ l's 'l' — T 'l"'! -*- 3 "i

f- ii^i^ ^ mi V-^ «1^1 -

Quant à la valeur de Ji, elle sera donnée par cette formule: .

Le nombre des opérations qu'on aura à faire pai' cette méthode d'inté-

gration sera toujours limité. Les réductions à exécuter, d'après le B 2, sur l'intégrale

dans le cas où la fonction

^;* -H h^ -+- mz^ -+- nz

se décompose en deux facteurs

(z^-+-pz) (^^ -I- r« -+- s),

qui vérifient les conditions (1) et (2), seront en nombre inférieur au plus petit exposant des facteurs premiers dont se composent les termes de la fraction

pr — 2 s -I- 2 V s (y' — pr -H s) ys(j)î-pi--4-s) '

réduite à sa forme la plus simple. Le nombre des systèmes

qu'on aura à calculer, d'après le K 3, en traitant l'intégrale J y ï* -I- ï^» -I- mz^-i-nz

OÙ la fonction

z* -+- W -I- in^ -\- ns

ne se décompose pas en deux facteurs

vérifiant les conditions (1, 2), ne surpassera pas celui des solutions entières des équations

Z^ (4 X^Z — X^Y^ — 1 8 XYZ^ 4 P -H 27 2^) = n^(4rra — /W — 18^m>i-i-4ffi^-i-27w^),

qui ne peuvent être qu'en nombre limité; en effet, d'après la dernière équation, le carré de l'inconmic Z doit être diviseur de

n^{i^l^% — Ihïi" — 1 8 ?mn H- 4 m^-f- 27 11^),

et tant qu'où fixe la valeur de Z, les deux autres inconnues se déterminent complètement par ces équations.

Pour montrer sur des exemples l'usage de cette méthode, nous allons chercher, en premier lieu, l'intégrale

f , '*^ dx.

J V a:*-i-afl-t-x-t-\

Comme la fonction

n'a pas de facteur rationnel du premier degré, on réduira cette intégrale, d'après le M 1, eu posant

De cette façon on obtient

En remarquant que la fonction

ne se décompose en deux facteurs rationnels du second degré

(s'' -+- pz) (2^ -\-rs~i-s) qu'en prenant

^=^1, ri^ — 1, s = — 1,

et que ces valeurs ne vérifient pas la condition

s (p^ — pr H- s) = nombre carré,

on passera immédiatement à la recherche de l'intégrale

suivant le J?. 3. Pour cela ou calculera les nombres

L, Mr., «Il)

d'après les formules (3), en prenant

L'on obtiendra de cette manière

l„= 0, )Wo = — 2, no=— 1,

îj = 4, «i, = 4, Hj =^ 1,

En remarquant que le dernier système dos nombres

est identique au second

on s'y arrêtera, et on conclura tout de suite que l'intégrale

}V3^ — 2ei — z

pour une valeur de 2Â, convenablement choisie, est exprimable en termes finis. Comme dans ce cas

\t.= l, v = 2, on aura, -d'après (4),

f, '-""^ d!!=hg lyv) -^Uog {V7, vi,),

où les fonctions

en vertu de (5), se déterminent ainsi :

l'a V— j^qWq-i- j«o

l'.îi'-

k îi"'! -*-

LA

ifanij-t-.

-iî

/"«ï* — 4 ^jJ -I- 4 s^''— a^ — îgï -t- 2 ^j y s' — 2 ^^ — s

D'après cela on trouve

f , "'^ - * = log (y^) -1-4 log (yi; y^)

D'autre part, comme on a

[A = l, v=2, ^o^O, ?i = 4, ^2— — 4, on obtient, d'après (6), pour la constante 2 A cette valeur:

D'où il suit que

D'après ces valeurs de l'intégrale

et de la constante A, la formule (7) nous donne où

Eu portant cette valeur de s dans l'expression précédente de l'intégrale J Vfl;«-t-a^-t-aî^-i '

on obtient en définitive

= ilOB (.'-i-Vx'-^^^--^^-^})'

6 (œ2 — y 3^-1-3:2-1-3; M- j) (a!» -i-J — Va;*-)-»* -i-K-t-S)^

oii

Prenons encore pour exemple l'intégrale

f , "^ fc

J y ^' -I- 5 iS ^ 3 j2 ^

Coniine la fouction

se décompose eu deux facteurs rationnels

eu prenant

et que ces valeurs vérifient la condition

s (p^ — pr-i-s) = nombre carré et l'inégalité

pr — 2s > 0,

on réduira, d'après le j\^ 2, l'intégrale

en posant

Ou obtiendra de cette manière

f B-l-J! j I f Si-I

Jy.'-^

Ip-

-4-iog

'Vï;-yï7^r9

étant composée de quatre facteurs rationnels du premier degré

ou trouve, pour sa décomposition eu deux facteurs rationnels du second degré

(js^ -t-pz) {s^ -t-rz -\- s),

trois systèmes de valeurs pour p, r, s, savoir:

Or, comme aucun de ces systèmes ne rend la quantité s {f^ —pr -+- s) égale à uu carré parfait, on cherchera l'intégrale

= dis.

par le ]\rs 3. Mais, en passant à la détermination des Bombres

d'après les formules (3), ou devra s'arrêter sur \, eu remarquant qu'il résulte pour lui une valeur fractionnaire

de là on conclura tout de suite que l'intégrale

■ ' ■■= as. ,

et conséquemment celle en question

, dz,

est inexprimable eu termes finis, quelle que soit la valeur de la constante B.