S — 2 AB

^ m Bv °

correspondant à la position horizontale du balancier, a pour tangente la verticale W avec laquelle elle a, dans le voisinage de ce point, 7 éléments communs, et que cette courbe coupe la même verticale à nue distance de G moindre que BG, ce qui entraine encore un élément commun entre ces lignes dans l'éteadue de la course du point G.

D'après cela ou voit aussi avec quelle extrême rapidité les déviations du point G de la verticale VV (fig. 1) diminuent à mesure que l'amplitude d'oscillation du balancier diminue, vu que ces distances, par rapport à l'inclinaison du balancier sont du 7""^ ordre. Quant aux cas ordinaires de la pratique où l'inclinaison du balancier ne présente jamais des angles d'une valeur considérable, on trouve que le jeu de ce mécanisme, sous le rapport de la précision, l'emporterait très notablement sur le parallélogramme de Watt, Ainsi, par esemple, si l'on considère le cas traité par Prony dans sa Note connue: Sur le parallélogramme du ialancier de la machine à feu (Annales des mines, tome XII), oîi la longueur du demi-balancier ÂB est 2,515 mètres, la verge BG est 0,762 de mètre et la limite de l'inclinaison du balancier est 17°35'30", on trouve que, dans ces circonstances, le mécanisme dont il s'agit ne présenterait que des déviations de la verticale inférieures h 0,05 de millimètre. Mais dans ce cas, suivant Prony, le parallélogramme de Watt présente les déviations qui vont jusqu'à une valeur 40 fois plus grande, savoir 2 millimètres, et qui est loin d'être négligeable dans le jeu d'un pareil mécanisme.

Jusqu'à présent, en cherchant à s'approcher le plus près possible du mouvement vertical, nous n'avons pris eu considération que le nombre des éléments communs entre la verticale et la courbe décrite par le point G, tandis que le rapprochement de ces ligues et conséquemment la précision du jeu du mécanisme dont il s'agit dépend notablement de la position de ces éléments. Cette question a été l'objet de nos recherches dans la 1" partie du Mémoire sous le titre; Théorie des mécanismes connus sons le nom des parallélogrammes, où nous avons proposé des méthodes pour rendre un tel rapprochement le plus parfait possible. Or, si l'on applique ces méthodes à notre cas actuel, on pourra trouver les petits changements qu'on doit faire dans les valeurs des paramètres du mécanisme pour rendre son jeu le plus précis possible. Au moyen de ces corrections, les déviations du point G de la ligne verticale seront réduites à peu près en proportion de 1 à 2' (§ 5 du Mémoire cité), et comme nous venons de voir que, dans les cas ordinaires de la pratique, ces déviations elles mêmes présentent des valeurs très petites, nommément, des centièmes parties du millimètre, on conçoit que, dans ces cas, par les corrections des éléments, la précision du jeu du

mécarnsme pourra être portée jusqu'à une limite inaccessible anx moyens techniques de la construction des mécanismes. On est donc certain qu'il n'y a aucune raison, pour les cas ordinaires de la pratique, de rechercher un mécanisme qui serait capable de donner le mouvement rectiligne avec une précision encore plus grande. Et comme, conformément à ce que nous venons de montrer, on parvient à ce degré de précision par un mécanisme composé des mêmes pièces que le parallélogramme de Watt, usité maintenant, et dont les défauts du jeu se font souvent sentir dans la pratique, on conçoit que notre mécanisme modifié est digne d'uue attention particulière.

Remarquons encore que si dans les valeurs données plus haut des éléments de ce mécanisme on change le signe du radical V 5, on parvient à cette nouvelle forme :

Pour cette nouvelle forme le degré de précision du jeu de ce mécanisme

reste le même ; seulement, pour sa construction, on sera obligé de prolonger le balancier au delà du point B d'une longueur égale à

ce qui présente de grands inconvénients pratiques.

SFR L IHTURPOLATIOH,

XKADUXT PAR G. A. POSS^.

Of'S

WhvmcpnojiupovawHi.

icpnojiWji

(UpHJioiKSHie Bt IV-Mj" TOMy SanHGOKt IlMnBPATOPCKofl AsassMia HayEt, J^ 5, 1864 r.)

Sur l'interpolation.

§ 1. Dans le mémoire sous le titre «Sur les fractions continues» j'ai donné une formule d'interpolation par la méthode des moindres carrés, quelles que soient les valeurs données de la fonction à interpoler. Maintenant je vais montrer les simplifications dont cette formule est susceptible dans le cas particulièrement remarquable où les valeurs connues de la fonction sont prises pour des valeurs équidistantes de la variable. Dans ce cas, la formule générale d'interpolation, correspondant à la formule de Lagrange, se réduit à une série, correspondant à la formule d'interpolation de Newton, contenant comme celle-ci dans ses termes les différences finies d'ordres successifs 1, 2, 3,. . . .etc., ce qui offre, comme on le sait, un grand avantage dans les applications. Cette série donne l'expression des quantités à interpoler sous la forme des polynômes de différents degrés selon le nombre de termes qu'on y retient, les coefficients de ces polynômes étant les mêmes qu'on obtient par la méthode des moindres carrés en résolvant tout un système d'équations dont la forme change quand on passe d'une supposition particulière sur le degré de l'expression cherchée à une antre. Il est facile de voir combien la recherche de telles expressions se simplifie par l'emploi de notre série d'oii elles découlent directement et successivement de tous les degrés à partir du degré 0. Mais cette circonstance n'est pas le seul avantage qu'on puisse tirer en employant cette série pour l'interpolation; elle est encore très appropriée pour faire voir à combien de termes, ou, ce qui revient au même, à quel degré dans l'expression cherchée pouvons nous nous restreindre. Dans les procédés ordinaires de l'interpolation par la méthode des moindres carrés il nous faut refaire chaque fois le calcul de toutes les valeurs données à l'aide d'une formule particulière pour chaque supposition sur le degré de cette formule. Cela est d'autant plus péuible que ces calculs doivent être répétés plusieurs fois jusqu'à ce qu'on parvient à

nue expression représentant les données avec im degré suffisant d'approximation, car il est difficile de deviner d'avance le degré d'une telle expression.

Sous ce rapport, notre formule offre cet avantage important qu'en ajoutant successivement un terme après l'autre dans l'expression à interpoler, nous pouvons en même temps voir comment diminue successivement la somme des carrés des erreurs qu'on commet en déterminant à l'aide de cette expression toutes les râleurs données, d'où il est aisé de déduire aussi la moyenne quadratique de ces erreurs, d'après laquelle on peut juger de la suffisance du nombre de termes retenus dans l'expression cherchée.

§ 2. Soit

la série des valeurs données de la fonction m, qui correspondent aux valeurs suivantes de la variable x:

En appliquant dans ce cas la formule générale d'interpolation*), nous trouvons pour l'expression de u sous la forme d'un polynôme d'un certain degré à coefficients déterminés par la régie des moindres carrés^ la série suivante:

S'J'oWwi 24'i(i)«ï 2itî(j)Mi

(1) U = ^„ U^)-*--„ ^i(^)H-4^ ^,ix)-i-....,

2V(') SVW 2V(i)

OÙ

4'o(*). ■Wi'^l i^J^). —

désignent les dénominateurs des fractions réduites dans le développement de la somme

en ft'action continue de la forme

L^, Xg, L^,. . . . étant des constantes. Dans le cas particulier que nous considérons, les fonctions

*) Formule (6) du Mémoire mentionné.

s'obtiennent facilement sans qu'il soit nécessaire de recourir au développement de la somme

en fraction continue; on découvre en même temps, comme nous allons le voir, la loi très remarquable de leur formation en vertu de laquelle la série (1) prend cette forme, commode pour les appliquations, dont on a parlé dans le paragraphe précédent.

§ 3. Pour obtenir les fonctions

sans recourir au développement de la somme

en fraction continue, remarquons que, d'après ce qui est démontré dans le Mémoire cité, ces fonctions, d'une part, sont des degrés

et d'autre part, elles satisfont aux équations

it<f)-^;fi) = o, l^,(.)|j(i) = o,.... |4^,{i)4*^{i) = o,

ou ce qui revient au même,

(2) |4.^(i)'fi{i) = 0,

pour i«. < X,

Ces propriétés, comme il est facile de s'en convaincre, déterminent complètement les fonctions

en faisant abstraction des facteurs constants qui restent tout à fait arbitraires tant qu'on ne fasse aucune supposition particulière sur les constantes ij, 1^2, Z3,. . . .dans la fraction continue

provenant du développement de la somme

et qui se suppriment évidemment dans la formule (1).

Pour faire voir que les propriétés énoncées des fonctions 4*0 {^)i 4*1 (^)' 4'a(x) , les déterminent à des facteurs constants près, soit

une fonction entière étant comme '\iy (x) de degré X et satisfaisant comme celle-ci aux équations

Or,

"î'o(^)> -l-iW. 'l'A^l 4';,,{^)» '^x(^)

représentent une série de fonctions entières respectivement des degrés

donc, la fonction entière f(x) de degré X peut être représentée par la somme

Ag ^0 {^) -*-A^'\l^{x)-t-....-^- Ay j ({'x-i (^) -^ -^x 4^Â (^)' où

étant des constantes.

Kn portant cette expression de f{x) dans les équations précédentes, on trouve

2|jora = ^|']^o(^)^i(i)-^^i|'V(0-^.-..-^-A|4^i(^)4'x(0 = o,

} Ia-^i (^) /■(^)=^o Hx-, H) 4'o{ïJ-....-^x i f 'l'A -, (^)--^>, f Ia-. (^) ^x(^î=0.

d'où l'on tire, en yertu de (2) les égalités suivantes:

Cela suppose

Ao=0, A^ = 0, 4^, = 0,

car les sommes des carrés

composées des valeurs des fonctions réelles "i^oC^); ^i(^)i- • • -'l*),—/^)! ^^ peuvent pas s'annuler. Or, les coefficients

dans la formule

f{x) = A,-^,{x)-+^A,'^,{x)-i-.. . .~i-Ai^^'\>^,{x)-^A^^^ix)

étant nuls, ou voit que la fonction f{x), satisfaisant comme '^x{x) aux équations mentionnées ci-dessus, est égale à

A-^ désignant un coefficient constant; donc, ce n'est que par un tel coefficient qu'elle diffère de t^j (x), ce qu'il fallait démontrer.

§ 4. D'après ce que nous avons démontré, la détermination des fonctions

'^oH '■l'l{*), |2(^)) .

à un facteur constant près, se réduit généralement à la recherche d'une ionctiou entière de degré X, susceptible à satisfaire à l'équatiou

?]j (a;) étant une fonction entière de degré [j., et ^ un nombre entier variant de 0 à X — 1 inclusivement.

Pour faciliter la recherche de la fonction f{i) d'après cette condition, nous allons la considérer comme la différence finie d'ordre X d'une certaine fonction F(i). Cela posé, mettant pour f(i) son expression

dans l'équation précédente, nous la réduirons à la forme suivante 2 4..(.)A'F(i) = 0.

Or en remarciuaut que chaque somme do la forme ^ U^ A V^ peut être transformée comme il suit;

(5) 2 v.^''Vi=u^^!^'-'v—LU^^^'•~''v.-^ ~{~'yf^~^u.^. V.

(ce qu'on vérifie aisément en prenant les différences finies des deux membres de cette égalité), noua trouvons d'après cette formule

D'ailleurs, '^„{^) étant une fonction entière de degré moindre que À, la différence a''({i (i — X) se réduit à zéro et l'expression précédente de la somme S-Jj («)A^i^(i) devient

2.if^(i)i!-F(i) = it^{i-\)\^-'F{i)-à\^{i~'i)A''-'F<f)^. . . . (!)» A*-' 4;^(»->,).F(i)H-a D'où l'on voit que l'équation