i)4»iî

sera satisfaite, si pour les limites

i = 0, i = « les fonctions

se réduisent à zéro, ou, ce qui revient au même, si pour les mêmes valeurs de i, les expressions

F(S), Fii-t-1), F{i-i-2\ F{i-i-l~l)

sont égales à zéro, car dans ce cas la fonction F{i) et ses X — 1 différences finies s'annulent pour ^ = 0 et i = w. Or l'annihilation des fonctions

F{ï), F{i^ï), Fii-i-2),.... F(zH-X— 1),

pour i = 0 et i^n, suppose qiie la fynction Fii) s'annule pour

et pour

et contient par conséquent dans son expression les facteurs

i — n, i — w — 1, i — Il — 2,.... i — n — X-i-1.

Donc, l'équation (3) sera satisfaite si, en posant

f(fl = A'-F{ij,

nous prendrons pour F(i) une fonction contenant comme facteur le produit

i{i—'[)ii—2)....(i—X-^-l){i—n)(i—n—l)ii—n—2)....ii—n—'k-^~l).

D'autre part, pour que la fonction cherchée f{i) soit de degré X, la fonction F{i) dans la formule

doit être évidemment de degré 2X et par conséquent du même degré que le produit

i{i—l){i—2)....{i—'k-t-ï)ii~n)ii—n—l){i—n-2)....{i—n—}.-i-l).

D'où il suit que la fonction f{i) de degré X, susceptible à satisfaire à l'équation (3) est donnée par la formule

en prenant

Par conséquent, en vertu de ce qui a été démontré dans le paragraphe précédent à l'égard des fonctions

«j>oH ^M, ^^{x), ,

elles seront représentées généralement par la formule

(6) '^yix)=CyA^x(x—l)....{x—l-i-l){x—n){x—n'~i)....{x—n—'A-t-l),

C( étant un coefficient constant.

§ 5. A l'aide de l'expression trouvée des fonctions

la détermination des sommes contenues dans notre formule

î%{i]Ui l'i'iW'',' 2tl;j(i)«i

it=^ 'l'o (^) -+- "« '^i (^) -*- ""« 'Wi^)-^ î

2VW ^V» 2;vW

est considérablement simplifiée.

Nous allons montrer maintenant que les sommes

contenant les quantités Uq, u^, n^,. . . ., se réduisent à des sommes, composées des différences finies de ces quantités d'ordres 0, 1, 2,. . . ., et commodément calculables; quant aux sommes

2f,(i), 2'^',(i), if,(i) ,

qui ne contiennent pas ces quantités, elles se déterminent définitivement.

Pour transformer les sommes du premier genre, remarquons que leur forme générale est

qui se réduit, après la substitution de l'expression (6) de ^lis:}, à la suivante :

(7) G^^^ti^A^i{i—l) {'(— A-i-l)(«— m)(ï— w— 1) (i— )?.— Xh-1).

Or, en vertu de la formule 2 U-A^ V^= Uf^ A^'-' V—A U-^ A^-^ r^-f- .... — i—lf ù^-' U^y Vi

mentionnée ci-dessus (5), en y posant

JJ^ = u^ , V.^î{i—\) (i — X^-l)(ï — î^)(^ — « — 1) {i—n~\-\-l),

et remarquant qu'alors la fonction F^ et ses différences AF,-, A^ V.,....A.^' ' F^ s'annulent pour i = 0 et * = n, nous trouverons

^u^A^Hi— 1) (i — A-i-l)(i — ïî)(i~n— 1) . . .(i — n—l-t-l) =

(-if-hii—l) {i—l-t-l}(i—n){i-n—l} . . (i~n—X-t-l)A^u^^,

ce qu'on peut représenter sous une forme encore plus simple, remplaç-aut dans la seconde somme * par i-t-\, ce qui donne

{— 1)^2 (ï-hX){ï-i-X— l)..,.(îH-]) (ï-i-X— w) (ï-i-X-w-l)....(-i-n-t-l) ASf,,

ou, ce qui revient au même,

"2 {i't~l){i^2) (^-^-X)(M-—^— !)(« — « — 2) (k — i— X)AS(;.

Or comme dans la dernière somme à partir de i =: — Xài = — 1, et de i:=n — X h i^n — 1, la fonction se l'éduit à zéro, on pourra y remplacer les limites

par les suivantes:

sans en altérer la valeur et d'après la formule trouvée, ou aura ^u.A^i{i'~l) (^ — X-i-l)(ï — )î.)(i — H — 1) (i— ii — X-i- 1) =

ce qui donne, en vertu de (7), la formule suivante pour l'évaluation des sommes