V,„ AP,,, A*-' !/,,

pour i^n; donc en appliquant cette formule à notre somme, les termes

U,, a'-' F, — A i7,, a'--' Fj -h .... — (— l)' a'-' i7,j . F, se détruisent et la somme se réduit à

D'après la valeur mentiouée ci-dessus de la fonction U^, nous trouverons

a'£/,j = A*(ii — i-i-X— 1) {« — «-1-X— 2) (» — »)

et remarquant que

F, = (!-i-X)(î + X-l)..,.(i-X+l), nous réduirons ainsi la somme 2(n— «— l)()i— i — 2) (n— !— X)A'(i-i-X)(!-i-X — 1), . . .(!— X-i-1)

à la forme suivante :

Quant à la recherche de cette dernière, elle se fait facilemeut à l'aide des procédés connus du calcul inverse des différences. Ainsi, sachant que

1 (iH-X) (i-HX-l). . . .{l-l)-^G,

et remarquant que l'expression

se réduit à 0 pour i = 0 et prend la valeur

^^ (n + X) (n-i-X— 1). . . .(n — X) ou

pour i = n, nous obtenons

En vertu de cela, nous trouvons d'après la formule précédente que la somme

est égale au produit

ce qui, étant substitué dans l'expression trouvée de la somme 2'|^^(^), donne la formule

§ 7. En vertu de ce que nous avons inoutré par rapport aux valeurs des fonctions ^o(ic), ^^(x), ^^(x),. . . ., renfermées dans la formule

I +„((]•( 2+,«»( ïfc(i)»(

et aux sommes de la forme

cette formule se réduit à la série suivaDte :

2!.i 3Î{i-t-l){n — i—l)àni

(U) «"~-i- ' i...(.;ii) \x(x — n)-t-

6l(iH-l)(iH-2)(«-i-l)(»-i-2)a%(

~ ii:2i„(.«-i-l(.'-2') A'a;(a;— 1) (i — ») (i — m — 1) ^

7Ï(i-H)(i-H2)(iH-S)(«-(-l)(«^i^21(l