X(a:Hh-X — n){x-^l — n~l)....(ci) — n-t-l)-t

^-^.ZA X.X(X— l)((rH-A — « — 2) {x — n~t-l)x{x—l)-i

qu'on peut écrire d'une manière plus abrégée sous la forme;

'{x-t-X — n) {x-i-X — n — 1). . . .(x — h -h 1) -Y^(x-t-'/. — n — 1). . . .(x — n-+- 1)3: -^^%^'{(e-i~l—n-~2) ix—n~i-l)x{x—l)

Une autre formule plus commode pour le calcul de a'' (x) se trouve au moyen de la formule connue

en l'appliquant au développement du produit

sous le signe à*' dans l'expression

ce qui nous donne

^r(-iri.2,...xx]

(>-l)XpH-l)(l-i-2)a;(^-l) (n— l}(n — 2) lî,22

On peut trouver eii outre une équation pour la détermination successive des fonctions

Remarquons dans ce but que les fonctions

qui, d'après ce qui précède, s'expriment comme il suit:

li.,(ï) = Cx,A''-'(i), doivent être liées par l'équation

car les fonctions

■^M^ |i(iC), ^^{x), 4'x-i(^)' '^x(^)' 'h-^x^^)^

désignent les dénominateurs des réduites de la fraction continue

En même temps la fonction

doit être linéaire,

c'est à dire do la forme

car, comme nous le savons, les fonctions 4'à m (^Jt 4^(^)' 4'),— 1(^) ^"^^^ ^^ degrés X-«- 1, >,, X — 1, ce qui suppose, en vertu de l'équation précédente, que %^y est du premier degré. Mettant Ax-^B h.\B. place de gj^j dans cette équatiou et substituant les valeurs trouvées ci dessus des fonctions tjjj i j (a;), ^■f^ix), 4')^j(ic), nous trouvons:

q^j a'-^"' [x) = (Ax -+- B) C\ A' ix) ^ Zj^^j C\^ A''~^ (ic),

ce qu'on peut écrire, après avoir divisé pai' C■^^^ , comme il suit:

A^'^' (ï) = {Mx -+- N) A^ (x) -+- F A^'^' (x),

Après avoir trouvé ainsi la forme de l'équation qui lie les fonctions

nous trouverons facilement les constantes M, N, P qu'elle contient; on n'a que d'y substituer les valeurs des fonctions

pour trois valeurs distinctes de x et chercher pour quelles valeurs des constantes M, N, P les équations ainsi obtenues se trouvent vérifiées. Ainsi, faisant successivement x = 0, â^^ l, a; = 2, nous trouvons pour déterminer les constantes

M, N, P, les trois équations suivantes:

a''"^' (0) = NA'' (0) H- P A^-' (0),

A^^' (1) = (iVf-+- N) A^(l} -+- PA^^-^ (1),

d'où l'on tire pour M, N, P les valeurs que voici:

Jf = ^^•"^' (ij „ ^^-^' m __ p M^^' (1) a^-' {o)\

ce qui donne, après la substitution des valeurs de

tirées des expressions trouvées ci-dessus de la fouction A''(x},

iV = — (2X-Hl)(n— 1), M=2 (21^ 1),

et par conséquent, d'après ce qui précède, on obtient l'équation suivante entre les fonctions A^"^' (x), à} (x), A^ ~' (x) :

En vertu de cette équation et observant que

nous trouvons successivement

^\x)~5{2x — n-^-lf~-n^-^-l,

A^{x) = 15(2x — n-i-lf — S(3n^ — 7)(2x — n-i-l),

A*(ic)= l05{2x~n-^-\y—^QiZn^—n){2x—n■^~lf-^-Q{fl^~l){n^~9),

A^{x) = 94^5(2x — n-i-lf—l050(n^—7)(2x — n-t-lf

H- 15 (15n* — 230?i^H-407)(2a: — n-i- 1), etc. '''■).

§ 8. En développant u à l'aide de la formule obtenue au § 7 et en y retenant un nombre plus ou moius grand de termes, nous obtiendrons les expressions de m sous la forme des polynômes de degrés plus ou moins élevés, représentant la fonction u avec une approximation respectivement plus ou moins grande. A l'aide de ces expressious approchées de u, on obtiendra ses valeurs

Mfl, Zfj, u^,. . . . u^,

avec des erreurs plus ou moius considérables; nous aîlons nous occuper

*) Ces fonctions, comme il est facile de voli', satisfont h l'éç[uation auiYantc aux diffé-

{x-^2){x-^2~ ») A^ r-r- (2.V -,-3-n — V- ~ X] i Y— X (1 -i- 1) Y = 0, >. désignant le degré de T.

maiutenant de la détermination de la somme des carrés d valeurs de

j erreurs daos les

qu'on obtient de cette manière, en retenant un certain nombre donné de termes dans le développement de u.

Eu prolongeant le développement de u d'après la formule (1) jusqu'au, dernier terme, nous trouvons:

2 +„(»)«( 2+,(i)«,- (13) U=^\ '\>oi^)->--\ ^A^)-

SKW"»

ce qui donne, comme il a été dit dans le Mémoire mentionné, tout à fait exactement toutes les n valeurs de la fonction n.

Elevant au carré les deux membres de cette formule et sommant pour toutes les valeurs entières de x depuis ^ = 0 jusqu'à x^n, nous aurons pour déterminer la somme

l'expression

2VW Sil^iM')

^Wli)

Or (§ 2), comme en vertu de la propriété des fonctions !„ (œ), 'j'i («), 4^3 (ic),. ... la somme

s'annule pour des valeurs inégales de ^ et v, l'expression précédente se réduit h celle-ci :

2fc'('),

(lui donuc, après une réduction, l'expression suivante de la somme ^it?:

D'autre part, en faisant passer dans la formule (13) X -h 1 termes du second membre au premier, élevant au carré et sommant depuis ic = 0 jusqu'à a; ^ n, nous obtenons d'une manière analogue pour déterminer la somme

2*oB»(

-hM)

l'expression suivante

Or, d'après la composition de cette somme, on voit qu'elle représente la somme des carrés des erreurs dans les valeurs

llg, M,, iig, . . . . «„,,

calculées à l'aide du développement de u en série

2VW 2»i'W

lorsqu'on l'arrête au (Xh- 1)"'° terme 2 itx W «f

-<l'lW-

Donc en représentant, pour abréger, la somme de telles erreurs pjir nous aurons, par ce qui précède

En comparaut cette expression de la somme 2d)^ à l'expression trouvée cidessus de la somme X it?^ nous remarquons entre elles la relation que voici:

qui nous servira pour la calcul de 2d-^^.

Quant aux valeurs des termes qui figurent dans cette formule, remarquons qu'en vertu de (8) et de (10), on a généralement pour toute valeur deX

(2+Xli)M;Y (2X-i-l)(l(i-.-l){»-.-2)...,(M-X)(n-i-l)(n-i-2)....(«-»-i)A^"iT

par conséquent cette formule prend la forme

(2X^Hl)(^2(i+l)(i+2),...(i-i-;,){«-»-l)(™-i-2).. ..(«-»-?>) A^«iJ '~" 1Î.2*. . . .iî.H (tt^ ~ 1') {b* — 2^). . . .(««— X2) '

et donne la relation suivante entre les sommes -2(^^, 2,d-^^^:

(2 X-I) { î (i-^l) ((-t-3). . . (i+X) (»-i-l) (n-i-2) , . . [n-i-l] ù?^UiJ Zd^ =Zd^^^ ■ "~lî.2ï. . . .)à:ÏÏ(ÏÏ^-1«)(«î^2î). . . .{n»-)fi] '

d'après laquelle il est facile de calculer successivement les sommes

Zd^^, Zd^^, Zd^,

et de voir comment elles diminuent à mesure que le nombre de termes retenus dans le développement de u augmente.

Quant à la première somme 'S.d^, il est facile de voir d'après les formules précédentes, qu'elle est égale à la somme des carrés des différences entre les quantités

«0, M,, Mg, .... î(„j

et leur moyenne arithmétique

parce que cette moyenne représente le premier terme du développement de u{U).

SUR

QUI COHTIKHSBHT

UNE RACINE CÏÏBIQOE.

(XKA»UIT PAK ï. I,. PD?ASCKXX2;KX.) 19^5 UHtnezpupcêauiu 3uchi£epetmiaA0$'é

(HpHnojKeaie Kt VII-mj" tomj" 3anH00KT. IlMnEPATOPCKoâ AKaneMia Haynt, M 5, I86îj r.)

(Lu le 16 fh-rier 386â.)

Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une racine cubique.

§ 1. Dans le Mémoire soua le titre Sur V intégration des différentielles irrationnelles j'ai montré comment on trouve, dans l'intégration sous forme finie des différentielles contenant «ne racine quelconque, le terme algébrique ainsi que les équations qui déterminent séparément chaque terme logarithmique. Pour résoudre complètement la question sur l'intégration soua forme finie de ces différentielles, il reste à donner le procédé pour calculer les termes logarithmiques d'après les équations qui les déterminent. Jusqu'à présent un tel procédé n'a été donné que pour les cas les plus simples.

Dans le Mémoire connu d'Abel sur l'intégration de la différentielle ^^ (Oeuvres compl., t. I, p. 65) nous trouvons un tel procédé pour le cas du radical carré, p étant une fonction entière et B une fonction sans facteurs multiples. Dans le Mémoire sous le titre Sur l'intégration des différentielles gui contiennent -une racine carrée d''un polynôme du troisième ou du quatrième degré j'ai montré que par le même procédé on peut déterminer les termes logarithmiques de l'intégrale \^ dx dans le cas même de p fractionnaire, pourvu que le degré du polynôme R ne dépasse 4. Ce procédé de la détermination des termes logarithmiques dans l'expression de l'intégrale f -^ dx consiste, comme on le sait, dans le développement du radical y M en fraction continue de la forme

les fractions réduites, que l'on obtient en développant l'expression V R, donnent les deux fonctions inconnues qui figurent dans le terme logarithmique

de l'intégrale jy^dx pour les cas considérés. On peut démontrer que ce procédé de la déterminatiou des termes logarithmiques s'étend à tous les autres cas de l'intégration des différentielles contenant une racine carrée et qu'il ne faut pour cela que prendre le développement du radical V R en fraction continue de la forme plus générale, savoir :

où s^, Sg, S3, sont certaines fonctions de x. iMais si le cas des radicaux

carrés peut être résolu toujours à l'aide des fractions continues, il n'est pas difficile à remarquer que les cas des radicaux des degrés supérieurs exigent une autre méthode; dans ces cas la détermination du terme logarithmique se réduit à la recherche des fonctions inconnues au nombre dépassant deux; tandis qu'à l'aide de fractions continues on ne résout que les questions à deux fonctions inconnues. Afin de montrer en quoi consiste la méthode remplaçant, dans le cas des radicaux de degrés supérieurs, le développement en fraction continue qui donne les termes logarithmiques dans l'expression de l'intégrale Jy^ dcc dépendant du radical carré, je montrerai dans le présent Mémoire l'intégration sous forme fini de la différentielle 1-- dépendant

d'un radical cubique VH, en supposant (comme l'a fait Abel dans le Mémoire cité ci-dessus, par rapport aux différentielles dépendant du radical carré) que p est une fonction entière et y Jï n'a pas de diviseur rationnel.

§ 2. Comme la détermination du terme algébrique dans l'expression des intégrales en question ne présente, comme on l'a remarqué, aucune difficulté, nous supposerons que ce terme a été préalablement éloigné de l'expression de l'intégrale f,— dx. Cela posé, d'après le § III du Mémoire

cité sur l'intégration des différentielles irrationnelles, le degré de l'expresion

ne dépassera pas — 1, et, d'après le § VIII du même Mémoire, le degré de l'expression

ne peut" être inférieur à — 1; car autrement le nombre de termes dans l'intégrale [t^ dx serait égal à 0. Donc l'expressiou -^ doit être du degré — 1, ce qui suppose l'égalité des degrés des fonctions "K^, -^. En appelant \ le uombre entier désignant le degré de la fonction rationuelle ^, nous trouvons doue que la fonction iï doit être du degré 3 X, c'est à dire de degré multiple de 3. D'autre part, comme, d'après l'hypothèse, le radical vH n'a pas de facteur rationnel, la fonction B ne doit pas avoir de facteurs linéaires avec l'exposant supérieur à deux, et par suite elle sera, en général, de la forme

01! iîj, J?3 sont composés de facteurs linéaires distincts.

Après ces remarques préliminaires nous passons maintenant à la détermination de l'intégrale \~- dx. Puisque ici, par supposition, p est une fonction entière et le radical VjS n'a pas de facteur rationnel, l'expression de cette intégrale par logarithmes sera, d'après le premier théorème du Mémoire cité ci-dessus, de la forme suivante:

(1) j^dx = Klog[<f{fM).f{o^fE).^<'\<y? fB)l

où ç [V^E) est une fouction entière de la variable x et du radical VB, K — une constante, a — une racine primitive de l'équation binôme

Comme 9 iVR) est une fonction entière de x et de vR^ elle sera eu général de la forme

où X, T, Z sont fonctions entières de x, ce qui, en remplaçant U par R-, S.\, se réduit à

oà les radicaux VB-^B^, VR^B^ se déterminent l'un par l'autre comme il suit:

(fR,B^^f=B^fB,Ui^.

D'après cela, eu mettant dans la formule précédente simplement Z à la place de Zli^, nous concluons que la fonction 9 (Viî) figurant dans l'espression ci-dessus de l'intégrale

\ ^ dx sera en général de la forme :