X-H YfB,B^^-f-Zfn,^n

où X, Y, Z sont fonctions entières, le radical Vll^ U^ est identique à y'B et le radical V R^R^ se détennine ainsi:

i?2 fRjB.^ = {-Vn^if = {fHf.

Il L'est pas difficile à remarquer que dans cette expression de cp { "l^ R) les polynômes X, Y, Z peuvent être censés délivrés de leur commun diviseur; car cela est équivalent à la supression dans le produit

cp (T^iï) . <p" {a -i^R) . 9"' (a? fS)

de ce facteur élevé à la puissance 1 -f- a -i- a^, et la somme 1 -+- « -i- a^ se réduit à zéro, d'après la propriété des racines primitives de l'équation a? — 1 = 0. D'après cela nous supposerons toujours que dans l'expression de la fonction 9 {VR) par la formule

<^{fR) = X-i-l-V%X^^Zi/R^^

les polynômes X, Y, Z n'ont pas de diviseur commun.

De plus, il est facile à voir que l'expression de l'intégrale par la formule (1) peut être présentée de sorte que les fonctions 9 {VU), tp [o-VM)^ 9 (a^ 'VR), s'annulant pour une valeur quelconque x = x^, ont pour facteurs des puissances entières (et non fractionnaires) de a; — x,. En effet, cette formule peut être représentée ainsi :

^^~dx=^K\og[yHfR).<{>^^iafR),f^^^ia'fM)j ou

l^i^ix = ïï,\ae[<f,(flt).,„''(r^fjt).f(efBf\,

OÙ

La fonction 9o(V7J) a évidemment la même forme que celle de (9 V E), c'est à dire X^i- Zf'RiR^^ -i- Zf'Ri^R^; or, d'après son expression par

la foûctiou cp {Vît), ou voit que si ^^(a'^yiï) s'annule pour x = x^ et contient en facteur la puissance n de x — x^, la fonction 9 {a** VE) doit s'annuler de même pour x — x^ et contenir en facteur la puissance ^Aex — x^, ce qui suppose n entier, car ç (VB), étant une fonction entière de x et du radical cubique YE, ne peut contenir en facteur la puissance fractionnaire de X — x^ autre que celle qui a 3 pour dénominateur.

Nous supposerons toujours que l'expression de notre intégrale est réduite à la forme dans laquelle les fonctions fCVE), fiaVE), (fia^VE), s'annulant pour une valeur quelconque x = Xj, ont pour facteurs des puissauces entières de a; — x^, et que les polynômes

qui figurent dans la fonction (^{yil), n'ont pas de diviseur commun. Cela posé, il n'est pas difficile à voir que pour aucune valeur de x toutes les trois fonctions

fifE:), r^iafE), <p{a^fE)

ne peuvent s'annuler simultanément . En effet, nous avons

(p ( f iï) = X -1- r T^^fî^H- Z f iVÂ. ce qui donne pour la détermination des expressions:

cp(a fE) ^X-^^a.YfE^^-t-a.'ZfB^^ ^,{a? fE) = X-\-o? YfE^-t-téZflRfR^;

d'où il suit, en vertu de la propriété des racines de l'équation œ' — 1=0:

9 [fm H- 9 (a fE) ■+- 9 (a' fE) =3X,

ç (fjt) -H a tp (et fE) -4- a^ ç (a^ fE) = 'àZ fîi^,

9 (fE) -t- a" 9 (a fS) -i-a'f (a^ fM) = 3 YfË^.

Or, on voit de ces équations que si toutes les trois fonctions

9(f R), 'û{afE), <s{efE)

s'annulent pour une valeur quelconque a; = a;^, et, par suite, sont divisibles, d'après ce qu'on a démontré, par des puissances entières de a; — x^, il en sera de même à l'égard des fonctions

et comme d'autre part les fonctions B^, R^ sont composées de facteurs linéaires distincts et, par suite, les radicaux

ne peuvent contenir en facteur une puissance supérieure à -g- <^6 '^ — ^i i cela suppose que les fonctions

coutiennent le facteur x — x^, par conséquent qu'elles admettent le diviseur commun; ce qui est contraire à notre supposition.

§ 3. Comme p dans la différentielle en question

est une fonction entière, nous parvenons, en vertu du § IX du Mémoire mentionné à la proposition suivante concernant la détermination de la fonction ^{VH) qui figure dans l'expression de l'intégrale

par la formule

L'expression

9 (fM) . tp" {a fS) . (p »' («^ fi?)

reste finie ^otir toutes les valeurs finies de la variable.

D'après cela il n'est pas difficile à démontres que les fonctions

9("l^iî), ^(afS), fùioc'i/R)

ne s'annulent pour aucune valeur finie de la variable. En effet, en supposant qu'une valeur quelconque x^x^ annule une ou plusieurs de ces fonctions

et désignant par [Xq, p.^, ^.^ les exposants du facteur ce — œ^ daos ces fonctions, nous trouvons que le degré du facteur x — 3;, dans le produit

ç ( fïi) . f (a fM) . tp»" {sa fR) doit être égal à

et comme, d'après la propriété énoncée, ce produit reste fini pour x^x^, la somme [a-i- n-^an-i^ga^ doit se réduire à zéro. Mais, d'après la propriété des racines primitives de l'équation a^ — 1=0, l'égalité

où iip, fi^, iJLj sont, comme on l'a vu dans le § précédent, des nombres entiers, ne peut subsister que pour

ce qui ne peut avoir lieu, car cela suppose que toutes les trois fonctions

■'!i{fB), <^i<^.fM), fi'iâfî}]

s'annulent pour x=;x^.

Après avoir démontré qu'aucune de ces fonctions ne se réduira pas à 0 pour une valeur finie de x, nous remarquons qu'il en sera de même à l'égard du produit

et comme ce produit présente évidemment une fonction rationnelle et entière qui ne peut rester différente de zéro pour toutes les valeurs finies de la variable que dans le cas oîi elle se réduit à une constante, nous en concluons que

(2) f{fîi}.f(oc fit) . 9 («^ fB) = G,

où G désigne une quantité constante.

g 4. Eu vertu de la proprosition du § précédent nous voyons que la possibilité d'exprimer l'intégrale

\^dx

par la formule (1) suppose la possibilité de satisfaire à l'équation (2) par la fonction <p (Vit) de la forme