X-i- r fË^-^Z fM,^n

où X, Y, Z sont des fonctions entières de x, et ïij B^ est la décomposition du polynôme B en produit de facteurs simples et doubles. Eéciproquemeut, en supposant que la fonction

satisfait à cette équation, on prouvera par différentiation que l'expression

K log [tp ( VR] . 9" (a pB) . m*' (a^ fR)] ,

sera la valeur de l'intégrale:

J fB '

où p^ est une fonction entière. En appliquant à cette intégrale ce qu'on a dit dans le § 2 relativement à l'intégrale

nous remarquons que l'expression /"- sera aussi du degré — 1. Outre cela, ii est facile à voir que les iutégraies de la forme

obtenues au moyen des solutions de l'équation (2), seront égales à un facteur constant près.

En effet, soient

i t/b ' i Vb

deux intégrales qu'on obtient au moyen du procédé indiqué ci-dessus en prenant pour -p (1^-fi) deux solutions différentes de l'équation (2); ces intégrales s'exprimeront seulement à l'aide des logarithmes, donc il en sera de même par rapport à l'intégrale

quelles que soient les valeurs des coefficients constants CoetC,. Or, en choisissant convenablement les coefficients 6^, C^, on peut réduire l'expression

Cq Po — Ol Pi fi pQ f^ P|

à celle de degré inférieur à — 1, puisque d'après la remarque ei-desans,

les expressions

JfL- -El Vb' Vb

seront de degré — 1; mais dans ce cas {§ 2) le nombre de termes dans l'expression de l'intégrale

J Vb

se réduit à 0 et, par suite, sa valeur est ttne constante, ce qui suppose l'égalité

CoPQ-O.Pl„Q

D'où il suit que les intégrales

ï^dx, \/^dx,

J j/B ' J i'jî '

déduites des différentes solutions de l'équation, ne diffèrent que par des facteurs constants.

Donc, il est clair qu'afin d'obtenir toutes les intégrales de la forme

ï^dx, J Vu '

exprimables par la formule (1), il suffit de trouver uue solution de l'équation (2), et qu'à l'aide de cette solution nous trouverons toutes les valeurs de la différentielle ^ dx, intégrables par une telle formule, en différentiant l'expression

K log [^ {fR) . ^" (a fE] . 9»' («^ fBj],

où la fonction 9 (y^H) satisfait à l'équation (2) et K est un coefficient arbitraire. Dans le cas, où il est impossible de satisfaire à l'équation (2) pour une certaine valeur de R, aucune intégrale de la forme J ~- dx ne s'exprimera par la formule (1).

Notre problème de l'intégration de la différentielle de la forme

Vu se réduit ainsi à la recherche de la solution de l'équation

f (i'n) . f (n f-B) . » (a» fs) = 0,

où

^{fB) = X-i-Tfit^B/-i-Zfs,'B, et

c'est ce qui nous occupera dans les paragraphes suivants.

Indiquons encore ici le lion qui existe entre la question sur l'intégration de !a diiférentielle

dont il s'agit, où B ^ ^i^^^, et la même question à l'égard de l'intégrale \^ — dx^ où Ba^B^^B^. En appliquant à la dernière intégrale ce qu'on

a déduit relativement à la première, nous trouvons que l'expression de la nouvelle intégrale par l'expression de la forme (1) sera la suivante:

l^dx=K, log [f,(fB,).<f„'{cc iyB„).f„''(«>fB,)],

où la fonction

% C^B,) = X, ^- r„ fB;'B, -4- Z, i^ïtf

représente la solution de l'équation

», (fB,) ■ 9, (a fB,) . cD„ («' fjK,) = G.

En comparant la forme des fonctions

(p, (fs,) = 2, H- r. fB^B^-H z, -VTÇB}, îf, (tt fii.) = X. -t- « r, i'BfB, -1- a" Z„ fBjB,', tp, («' fB,) = X, -I- a> r, fB.'B, -+- a Zo t-B,*/,

~ 573 — qui y figurent, avec celle des fouctioiis

qui détenûiueut la valeur de l'intégrale

pour B = BjB^\ nous remarquons, d'après la forme de ces fonctions, qu'où peut poser

<?,{fB,) = <f{-fB},

Comme pour ces valeurs des

9o(^^o1. <Po(«>^-fio), 9o(a'>^-So) l'équation

9o (fB^) . % (a fli,) . % (a^ fB^) = G

se réduit à l'équation

9(y'iî).9(afi?).9(a^ fB) = G,

à laquelle satisfait la fonction '^{'VB), il n'est pas douteux que ces valeurs des fonctions ^CVB), %(ayil), q>^{a^yB) correspondent complètement aux conditions de la formule ci-dessus qui donne la valeur de la nouvelle intégrale

donc, nous trouvons d'après cette formule

^^dx^K^ log [ç ( fR) . 'f W? fB) . ç"= (a fBJj . Ainsi la fonction (^(VB), que l'on obtient en résolvant l'équation

ç {fB) . ® (a fR) . <p (a^ fM) = C,

— 574 ~ va nous servir à déterminer l'intégrale

aussi bien dans l'hypothèse de

M = E, E^\ comme dans celle de

dans le premier cas l'expression de cette intégrale sera donnée par la formule

K log [ç (fE) . f (a fE) . ç«' {a? fE)], et dans le second cas par la formvile

K\Gg{^{fE).(f{<y? fE).nj^^[y.fE)\.

§ 5. Quant aux solutions de l'équation

9 {fR) . (f {« fE) . cp («^ fE) = G, où la fonction fCVi?) est de la forme

il est facile à voir qu'au moyen d'une seule de ces solutions on peut en trouver d'autres en nombre intini. Eu effet, si l'on satisfait à cette équation en posant

^{fE) = o,(fE),

où ^^{VE) est une fonction de la forme