X-i- YfË^-i-ZfËfR

et l'équation dont il s'agit se réduit pour cette valeur de (p{"ï^iî) à l'égalité

[9, (fB) . ç„ (a fB) . ço {«s f Jî)]i^-^(^i-^(^ z= C,

qui aura lieu si la fonction 9u("|/iÈ) vérifie notre équation.

En vertu de cela il n'est pas difficile à montrer que pour chaque équation résoluble

9 {fB) . 9 (a fB) . 9 (a^ fB) = G,

ou peut trouver une telle solutioû, dans laquelle la fonction 9 {VB) est du degré négatif et les fonctions ç (« fjl) et 9 (a^ fB) sont de degrés positifs égaux entre eux.

En effet, soit

i!^{fB) = o^{fE)

nue solution quelconque de notre équation; Wg, m,, n^les degrés des fonctions

^>,{fB), ^^{y.fB), fraisa fB)

et N le plus grand des nombres Wj,, «,, n^. Eu posant dans la fonuule cidessus qui détermine les solutions de notre équation d'après l'une d'elles

nous trouvons

9 (fB) = 90^-'"'^ (tiJ) . 9/-"' (a tiï) . 9/-"» {y? fB).

En remarquant que, d'après l'hypothèse, les fonctions f^^{fB), ^^{a fB), 9o(a^"V^i2) sont des degrés «o, «,, n^, nous trouvons d'après cette formule que les degrés des fonctions

9(tiî)-9/-^{^^M'o^'""U« t-B).9o''~"^(«^ ^^S,), 9 {a tJÎ) = 90''-"'' {^ '^^) ■ 9/^"' («' ^P^) ■ 9/^"' C"^-^), 9 (a^ y^S) = 9/-"" (a^ fB) . 9o^-"' (fB) . 90^""= {« f'iï)

ont les valeurs suivantes:

N («0 -*- «, H- «j) — n^^ — «/ — n/, iV" (no H- «i -H «3) — n^ «1 — w^ «g — «3 Ho , iV {np -H n, -I- «3) — Wfl **2 — **i '^o — w-a **! ■

Or la somme «o -+- Wj -+- % désignaut le degré du produit

q>o (-fB) 9o (a fM) . <?, (a^ fM),

qui, d'après notre équation, se réduit à \me quantité constante, cette somme doit être égale à 0; et, par suite, les valeurs ci-dessus des degrés des fouctious

9 (fB), cp (a fS), 9 (a^ fs,}

se réduisent à celles-ci

— Wo^ — Wj^ — n^, — n^n^ — '^[3^2 — ^o"2j — "0*^3 — ^^o^i — **a*H'

Il en résulte que la première de ces fonctions est du degré uégatif et les deux autres sont du même degré, et comme la somme de tous ces degrés se réduit à — («0 -i- Kj -H n^f = 0, on s'assure que les deux degrés égaux doivent être positifs.

Après avoir démontré que parmi les solutions de notre équation il se trouve toujours une telle, dans laquelle l'expression (fCVli) est du degré négatif et les expressions fflcLYM), <f{o?yR) sont du même degré positif, nous allons nous occuper maintenant de la recherche de cette solution. En appelant w le nombre désignant le degré des fonctions cp (a 'V'B), 9 (a^ i^B) dans cette solution et remarquant que, d'après notre équation, la somme des degrés des fonctions 9 (i^B), 9 (a i^B), 9 (n? i^B) est 0, nous trouvons que le degré de la fonction 9 (V^) sera égal à — 2n. Réciproquement, il est facile à voir que notre équation sera vérifiée toujours si, le degré de cp(y'iï) ne dépasse — 2w, et les degrés des fonctions t^{ay'E), ^(a^ P'B) ne dépassent n, où n est un nombre quelconque ; car alors le degré du produit

9(fi?).9(«l^'J5).9(a^ fM)

ne dépasse 0, Or il est clair d'après la composition de ce produit qu'il se réduit à une fonction rationnelle et entière et une telle fonction, étant du degré zéro, sera égale à une quantité constante, ce qui suppose l'égalité

9 {fB) . 9 (a -^B) . 9 (a^ fB) — C.

Il en résulte que la détermination de la solution cherchée de l'équation (2) se ramène à la détermination de la fonction o {VB) de la forme