X-^ Y fB^^ -t- Z fB

tdle que son degré ne dépasse — 2n et les degrés des expressions 9(œ "V^-R), (f{u? y M) ne dépassent n, où n est un nombre quelcouque entier et positif. D'autre part, d'après la formule

9 (fn) ^X-t-Y fRJt} -H Z 'VR^^, nous trouvons, comme on l'a vu dans le § 2,

3 Z = 9 {fR) H- 9 (a i^It) -+- (p {rj? y'R), 3 Y fË^^ 9 (i^It} -H a- 9 (ft fl-i) H- a 9 (a« f R),

d'où l'on voit, que dans la solution cherchée de l'équation (2) les termes

X, Y fn, R^\ z fR;' E^

seront de degré ne dépassant ceux des fonctions

9 (fR), ff (x fli), 9 (ce fR),

et, pai' conséquent, les degrés de ces termes ne dépasseront la limite n. Réciproquement, il est clair de la formule

9 {fR) =X-i-Y fR^-v- Z fR;'R., que les fonctious

9 (a "V'-S), 9 («^ 'PR)

seront de degrés ne dépassant n, si cela a lieu par rapport à cliacuii des termes

X, YfR^, ZfR;'B^.

Donc, eu vertu de la remarque précédente concernant la solution cherchée de l'équation (2), la déterminatiou decette solution se ramène à la recherche des trois polynômes X, J", Z^ pour lesquelles tous les termes de l'expression

o{fE)^X-^ YfR^~t-ZfB^^

seraient de degrés ne dépassant n et le degré decette expression elle-même ne dépasserait — 2 n, où « est un nombre entier positif quelconque. C'est de la détermination des polynômes

dans la foi'mule

ç (fi?) = X-i-r i^R^-i- Z fB^,

d'après ces conditions, que nous nous occuperons maintenant.

§ 6. En attribuant à n une valeur quelconque, nous trouverons, dans cette hypothèse particulière par rapport à », la limite supérieure des degrés des polynômes X, Y, Z, d'après la condition que les expressions

X, Y -pli, b;\ z fii;' n^

doivent être de degré non supérieur à n; et pour déterminer les coefficients de ces polynômes nous remai'quons que, d'après nos conditions, l'expression