X -H r fÉ^-i- Z i^nfK

doit être de degré ne dépassant — 2 w et, par conséquent, dans son développement siiivant les puissances descendantes de x^ tous les termes jusqu'à cckû en -^ doivent disparaître. On eu tire le système d'équations qui doivent être vérifiées par les coefficients des polynômes X, F, Z et qui seront linéaires par rapport à ces coefficients. Si ces équations seront compatibles, leur solution va nous founiir les coefficients des polynômes X, Y, Z\ dans le cas contraire il sera évident que la valeur considérée de n n'est pas admissible. Le nombre n étant inconnu, comme on le voit, une pareille détermination des polynômes X, T, Z exige à éprouver les diverses valeurs du nombre n, jusqu'à ce qu'on ne parvienne aux équations qui admettent des solutions. De telles épreuves de diverses valeurs de « sont d'autant plus pénibles que, pour chaque valeur particulière du nombre w, il faudra former de nouvelles équations, et ces équations, avec l'augmentation de n, deviennent de plus en plus compliquées. Une pareille difficulté se présente dans la résolution du problème que nous considérons aussi bien dans le cas du radical carré, mais dans ce cas on l'écarté à l'aide de fractions continues, car alors on n'a que deux polynômes à trouver et les conditions qui les déterminent se réduisent à ce que les expressions X^Y V U soient de degré ne dépassant une certaine limite « et que la différence X — YV iï soit en même temps de degré ne dépassant — n\ ce qui démontre immédiatement l'identité du rapport ^ avec l'une des fractions réJuites obtenues en développant le radical V 7? en fraction continue. Dans le cas que nous étudions ici, oii l'on a trois polynômes à trouver, il est évident que les fractions

continues ne peuvent être appliquées; le procédé, remplaçant ici le développement en fraction continue, sera l'objet des paragraphes suivants,

§ 7. L'expression

ne peut être de degré inférieur à — 2 n, si ses termes

X, Y fR, E^, ZfR;'B^

et, par conséquent. les expressions

<p (œ i/R) =X-i-OLT i^R^^ -t-a^Z fR^^B^,

tp (a^ fB) = X-i^o}Y fË^-h- a Z fR.^B^

sont de degré non supérieur à n; car autrement le degré du produit

f^(fR}.(f(y.fR).^(oc'fR)

serait négatif, ce qui est impossible, par ce que ce produit se réduit à une fonction rationnelle et entière. On voit de laque les polynômes cliercbés X, Y, Z, pour lesquelles l'expression

<!^ifR) = X-t~YfR^-^ZfR^^

est de degré ne dépassant — 2n et dont chaque terme est de degré ue dépassant n, réduisent cette expression à celle d'un degré le plus petit possible, au quel elle peut être abaissée dans le cas où les degrés de ses termes ne dépassent pas la limite n. Il est clair de là que ces polynômes, pour une certaine valeur de N^n, fournissent la solution du problème suivant: Parmi les expressions de la forme