X-i-YfRji

ne dépassera — {N — X -+- 1), comnic cela suppose la formule

m<~(2iV— X — A'-i-2), pour X' > N.

Nous trouverons le même pour JV< X et ^X'.

Quant aux valeurs de N qui sont inférieures à X et à X', dans ce cas, notre problème, comme on l'a vu, a pour solution

et, par conséquent, on a ici m ^ 0, ce qui est encore conforme avec la formule générale pour m, qui pour X > N, X' > N donne

Nous voyons donc que, pour toutes valeurs de N, la fonction ç (Vi?) obtenue par la résolution de notre problème sera de degré ne dépassant — (2N — X — X'-+-2). En prenant N=n^^^ — 1 et remarquant que, d'après notre notation, la fonction œ if^JÎ) qui résout notre problème pour iV=«p^j— 1 est

nous en concluons que le degré de cette fonction ne dépasse pas — (2n — X-X')

d'après notre notation, est de degré X-+-X', Cela nous donne le théorème suivant concernant la suite des fonctions

<?AfR], ^i(t7î), 9, (fi?),.... 9p(ti^), 9ç^,(flt),....:

Tliéorèiiitt.

Le degré de Vexpression ^, {VE) n'est pas supérieur à celui de ■ ' ■■■'-, où » est la limite des degrés des termes de la fonction

§ 10. En vertu de ce qu'on vient de démontrer, le calcul des fonctions Ço(V^-fi), ?.("V^i^), 9,(>^-BJ,....

peut être réduit à la détermination des fonctions plus simples, dont les termes sont de degrés inférieurs à celui de -fii-^a» tandis que les degrés des

termes des fonctions f (VM), quand p grandit, deviennent de plus en plus élevés. Ces nouvelles fonctions s'expriment à l'aide des fonctions

comme il suit:

I'.(V'-B), fA'l^B), <p,(fiî),....,

!.. = ^. (fli) . ,f, {« fB) . cp, (t,." fS), V, = <p, (fB) . », (a fB) . (p, (x' fB), "i = ?! i'^B) ■ fa (« '^B.) ■ ?, («' "f^),

v, = 'i,(fB).^^{ai'H).'i^{«.'pB},

■{;, (t B) = cf , (f jS) . ip, (a f -B) . 1)0 («" fB), i(., (T^B) = 9, ( VR) . 9, (et fB) . (p, («' i'/i),

I, (tB) = îp, (tiJ) . ?,, (=< V'a) 9,, («» tiï). Dans les formules qui déterminent les fonctions

le radical disparaît évidemment et, par conséquent, ces fonctions sont des polynômes; tandis que dans les expressions des fonctions

i/,{fB), |,(fJi), •]/,{{' B),....

le radical vU reste, et par suite, ces fonctions seront tle la même forme que les fonctions

c'est à dire de la forme

-zvnnL.

Mais ici tous les termes, comme nous allons le prouver, seront de c inférieurs à celui de B^M^ et il en est de même à l'égard des fonctions

Pour s'en convaincre nous remarquons que, d'après le § 8, tous les

termes de l'expression q>^j {Vit) et, par suite, les expressions 9 (a VB), 9 ^j {o? VE) elles-mêmes seront de degrés non supérieurs à celui de

et l'expression 9 (yj^), d'après le théorème du § 9, sera de degré i périeiir à celui de ■ J'*'^ ■ ; d'où l'on voit que la fonction

sera de degré ne dépassant celui de

Or, la suite

«0 , Wj , «2 , . . . .

étant composée, d'après notre notation (§ 8), des nombres entiers croissants, le nombre m — « ^ ne sera pas inférieur à 2; donc nous concluons, en vertu du précédent, que la fonction •]>, {VR} sera de degré non supérieur à celui de -^^.

En examinant pareillement les expressions des fonctions

pour lesquelles la formule précédente donne

^p (a V2Î) = <pp (a fB) . 9,, («^ t-K) - 9p. { f^), ^p (a^ fB) = 9p (a« f 7f) . rp^^, ("f iï) . 9^^, (« fP.),

nous concluons que ces fonctions seront de degrés ne dépassant celui de

et, par suite, celui de

car, d'après notre notation, h , n sont des nombres entiers dont le premier est plus petit que le suivant.

Etaut ainsi convaiucu que toutes les trois expressions

\(flt), i^i^fB), ■!/,(«' fB)

seront de degré non supérieur à celui de — ^— ^, nous en couchions qu'il en sera de même par rapport à leurs termes.

En aljordant l'examen du degré de la fonction v„ , nous remarquons que, d'après le théorème du § précédent, l'expression ç (k-K) sera de degré non supérieur à celui de —^ — — , et, d'après notre notation, tous les termes

des expressions

ç, (a V'B), cp, (»» fB)

sont de degré no dépassant n ; donc, en vertu de la formule la fonction w, ne peut être de degré supérieur à celui de

et, par suite, à celui de

car, n„^, , », étant des nombres entiers et n.^. >«. , la différence n^ , — n ne peut être inférieure à 1 .

Après avoir déterminé ainsi la limite supérieure des degrés de nos nouvelles fonctions

nous allons maintenant donner les expressions des fonctions cherchées

qui fournissent la solution de notre problème, à l'aide de ces fonctions plus simples et ensuite nous nous occuperons de la détermination de celles-ci. D'après (4) nous avons l'égalité

qui, étant multipliée par œ (V-B), donne

t. C^-B) , ?p, (ta) = 9, (ta) . ,p„, ( ta) . »j, (« t«) . ^ ,, (..' ta).

Or, d'après les formules (3), qui déterminent la valeur des fonctions

ffl, v^, v^,. . . ., nous avons

nous trouverons donc

+, (ta).Çp, (ta) = tpjtB).!',.,,

d'où l'on ottieut la formule suivante, qui sert h déterminer 9 {VB) d'après ?p-,(ta);

ï (ta) = '"-'^^'*''^^'.

Eu remplaçant ici p par p — 1, p — 2,. . . . 3, 2, 1 et remarquant que, d'après (4), 9^ (VU) = 'j'o ( ^-S), nous obtenons une suite d'équations qui, étant multipliées membre à membre, donnent après la réduction

/-,V T,, ^0 (i^B) ■ *i (y S) ■■■■•\'p-, iVm . 4ip &B)

C'est ainsi qu'on exprime la fonction tp„ (Vii) à l'aide des fonctions plus simples

<|..(ta), -i/.ifR), +,(ta),....

§ 11. En passant à la cléferinination des fonctions

+.(ta), 'j-,(ta), -j-jk'a)

nous trouvons, en vertu des formules (4),

■)-,(ta).4,,(«tB).+,(=<»ta) = <P, (fE) . <p, (» ta) . ç, (»' ta) . fj, ( Vb) . cf^p, (I ta) . ç'^., (»^ ta),

ce qui, d'après (3), donne l'égalité suivante

% (fit) . -1., (» i^E) . % («.' fE) = v^ . v'^, ; d'où il suit

Cette formule va nous servir à calculer v^ d'après '>'^^,, lorsqu'on connaîtra la fonction ^ (VZt).

En abordant la détcrminatiou de la fonction '];. (V./?), nous remarquons que dans les équations

ainsi que dans les équations

S^P i {a f -Bj — 0, (p^^ (a^ f 7?) == 0,

peuvent se trouver des racines communes, ce qui, comme nous le verrons, complique considérablement la recherche de la fonction J^ Çp'U). Nous examinerons ces cas singuliers après, et maintenant nous allons nous occuper de la détermination de la fonction f\i. (Yli) dans le cas général, quand ni les équations

ni les équations

n'ont de racines communes.

D'après (4) nous avons

^p (fïi) = 9p {■y'R) . Çp, (a ■y' M) . 9^, («= tM), %^, (tiî) ^ 9^, {fil) . 9p^, {a f.n) . 9^^ (a« fM).

En déterminant à l'aide de la seconde de ces formules les valeurs des fonctions

ç.^, (atiï), 9p, («'T^i?)

et les substituant dans la première formule, nous trouvons

, (tj)^ tp-.(.»ii).*,-.(.-i-ii)..p,(i/«

ce qui, eu vertu de l'égalité

?,-. ( l^-B) ■ Tp-, t» l^-B) -1,-, K f») = »,.. se réduit à ce qui suit

Comme l'équation

par l'hypothèse, n'a pas de racines communes avec Téquation

*',, = 0, la fraction

9p (v'JÎ) . yp t(a-r'-R).yp Jaaf-.B)

ne peut devenir infinie pour aucune racine de l'équation, «P, = 0,

et dans ce cas, comme on le sait, on peut trouver toujours une fonction entière, de degré inférieur à celui de t; j, qui pour toutes les racines de l'équation

aura la même valeur que la fraction

pour l'une quelconque des trois déterminations du radical vU. Dans lo cas présent nous déterminerons la valeur du radical VB de la manière suivante: d'après i'égalité

9p, C^'-S).9p, {« V'-S).<Pp„, {>x?fB) = v^^,

chacune des racines de l'équation

doit annuler la fonction <f,^{yM) au moins pour l'une des trois déterminations du radical qui se distinguent par les facteurs a", œ, a^; et comme,

par l'hypothèse, les équations

^ (a fB) = 0, <pp^ (a^ \^M) = 0

n'ont de racine coinniiiûe, l'égalité

pour chaque raeino de l'équation

n'aura lieii que pour une seule déterininatiou du radical. C'est avec cette valeur du radical que nous considérerons la fraction

9p(i^Ji)-9p-2("v'-Ri yp-i(''M'^«)

et soit, dans cette hypothèse, L la fonction entière de degré inférieur à celui de v , qui pour toutes les racines de l'équation

(supposées d'abord distinctes) a des valeurs égales à celles do la fraction. Pour cette fonction L, comme il est aisé à voir, la différence

s'annulera pour toutes les racines de l'équation

et pour chacune des trois déterminations du radical VR.

En effet, en vertu de l'expression ci-dessus de la fonction «^ (fi?), cette différence se représente ainsi

ce qui après la substitution des valeurs des fonctions

ip^, («• fit), +p, («■' fii),

selon (4), et après le remplacement du produit

V„. (fit) ■ 9p-. (» V'^) ■ %^, («' fB) par v.,^, d'après (3), se réduira à ce qui suit

<P,, (« V'-B) ■ ?p, {«" tiî) !pp, (fa) . !)j. . D,

Eu examinant cotte expression de la différence

nous remarquons que, pour les racines de l'équation

?P, ("V".^) ■ Tp- (=< "^-^) ■ ?p-. («' ^-^) =^ '-'p-i = 0, l'un do ces facteurs, à savoir

s'annnlfi si l'on attribue au radical VB celle de ses valeurs pour laquelle l'équatiou

n'est pas vérifiée; dans le cas contraire, en vei'tu de la propriété de la fouetton L, s'annule son dernier facteur D. On voit donc que, pour chacune des trois déterminations du radical VB, la différence

^P, (a V''^)- V> ^''' ^^0--ï>— ^p (^-S) s'annule pour les racines de l'équation

^p-. = ^■ En vertu de cela il n'est pas difficile à voir que notre différence, étant réduite à la forme X-^ YfB^B~^^ZfR,^B^=^^{fB), contiendra tous les trois polynômes X, Y, Z divisibles par la fonction v , . Y.ïi effet, d'après le § 2, les polynômes X, Y, Z qui figurent dans l'expression