X-H Y fBjÇ^ ~t- Z fn,^ B^ = <f (fit

doivent être divisibles par x — œ,, si x — x^, annulant les expressions 9(l^iï), 9(aT'iÈ), 9(a^y'i2), ne réduit S à 0, ce qui aura lieu pour toutes les racines de l'équatiou r — 0 (car autrement, les équations 9 (a i^B) ^= 0, 9 , («^ l/'iï) = 0, contrairement à l'hypothèse, auraient une racine commune). Donc, d'après ce que nous venons de démontrer à l'égard de la différence

les polynômes X, Y, Z qui figurent daus son expression p,ir la formule

doivent être divisibles par chaque facteur linéaire de la fonction î; et, par suite, les racines de l'équation v,^=:0 étant supposées inégales, paicette fonction elle-même. En posant

nous parvenons ainsi à l'égalité

qui donne l'expression suivante de la fonction cherchée <\' (y'B):

où L, M, N, P sont certaines polynômes dont le premier, comme on l'a vu, est de degré inférieur à celui de i> ^^.

Nous avons trouvé cette expression de la fonction "jj ( v'iï) en supposant inégales entre elles toutes les racines de l'équation

mais il n'est pas difficile à voir que tout cela, par le passage h. la limite, s'étend au cas de racines égales. Quant à notre hypothèse concernant les équations

v^ ^ = 0, Vp.^ ^ 0, (pp, (a fli) = 0, (p^, {a^ fM) =^ 0,

d'après laquelle ni les équations

ni celles-ci

<Pp. (« "V'K) = 0, cpp, («^ fB) = 0,

ne doivent avoir de racines communes, il est aisé à montrer qu'elle aura , toujours lieu, si le produit

figurant dans l'expression trouvée pour ^ {'V'^), n'a pas de facteur commun avec la fonction ï' , qui évidemment appartiendrait aussi à la fonction

En effet, uous avous d'api^ès (4)

•l'p,(«ta).4.,, («'1^^) =

et, en remplaçant, d'après (3), le produit

par î'p,, nous obtenons

%-, (» tS) . %, (»■ y'.B) = T,^, (a fB) . f p, (ct'fS) . <p,, (f B) . «,,;

d'où il est clair que le produit

et la fonction v ^ auront le facteur commun x — x,, si x^=x^ est une racine commune des équations

II eu est de même, si x = 3\ est une racine commune des équations ?p, (a V'-fi) ^ 0, Çp, (a? -fit) — 0.

Pour s'en convaincre remarquons que, A désignant la détermination du radical VR avec laquelle ces équations ont lieu pour x = x^, nous pouvons les présenter ainsi:

D'où il est clair, que le produit

<(.,^, («tB). +,,(«" fii),

qui est égal, comme nous l'avons vu, à

Tp, («f'Bj.T,.. («' \'&)-<t.,-, (1^-B).»,„ s'annulera pour x ^^ a;, et pour toutes les déterminations du radical Vit fB = A, oiA, n'A;

ce qui (§ 2) suppose que cette lixprcssiou contient en facteur une certaine puissance de x — x^. D'autre part, on voit par la formule

que la réduction à iîéro de la fonction <^^^{i^B} pour a; == a:, entraîne la divisibilité de la fonction entière Vp, par la même différence x — x^.

§ 12. En vertu de ce qu'on vient de démontrer nous concluons que l'expression de la fonction ij' C^JÏ) par la formule

Vi ^^ ^-^)- V- {^''^I''')-^^ — ^M-i-NfM,ll^-i-I'fR,^B) v^^ aura toujours lieu, si le produit

qui y figure n'a pas de diviseur commun avec la fonction v^^ .

D'autre part, d'après la proposition du § 10, la fonction t}(p(y-fî), après avoir été réduite à la forme

doit avoir tous les termes

degré ne dépassant celui de -^ . Si cela aura lieu pour un seul système des polynômes L, M, N, Pqui figurent dans la formule

(en comptant identiques cens qui ne diffèrent que par un facteur constant) la fonction ^ {f'B) sera donnée immédiatement en calculant ce système des polynômes L, M, N, P. Mais si cela aura lieu pour les divers systèmes des polynômes L, M, N, P, il faudra, choisir parmi eux le système convenable. Les moyens nécessaires pour y parvenir seront indiqués plus bas, mais quant à présent nous allons montrer qu'une pareille complication dans la détermination de la fonction <^ (VB) par la formule

.J,p (fM)='}^^^ iafB) . '{.p, (a'fB) L- {M-t-NfB^'-t-Pi''ît^) Wp^,

ne se présentera que dans des cas exceptionnels.

A cet effet uous remarquons que, d'après § 8, les ternies de 1" expression

seront de degré ue dépassant n et, par suite, la fonction <?,^ (vJÎ) sera représentée par la formule suivante :

où, d'après § 9, X, X' désignent les degrés des expressions Vli-^It^, vR^Uj^. Or, comme la fonction 9.j (y'JÏ) peut être (§ 8) divisée par chaque facteur constant, l'un des 3» — X — X'-h3 coefficients

peut être égalé à 1 et, par suite, dans l'expression de la fouction (p (V-B) il ne restera que 3n — X — X' -♦- 2 coefficients inconnus. D'autre part, en portant dans la formule

9p, (>^-R) . <Pp, (a '^^) ■ 9p i (a' "^-S) = ^p,

les valeurs fies fonctions Op,{V'B), q>p,{«1^^)) fp—, («^ "^^-K) t'i'ées de (9) et développant en série les radicaux v'MjM^^, 'fU^R^, nous trouvons pour la fonction f l'expression de la forme

oii j?,, K^, K^,. . . . sont fonctions des coefficients qui figurent dans l'expression (9) de 'p.,Cy'-ïï). Mais d'après § 10 la fonction v^^ doit être de degré ne dépassant celui de -^ ou celui de x''-'-'^— ^ par conséquent nous aurons:

^, = 0, Z^ = 0, . . . . Kzn.^,~K-\'^2 = 0,

ce qui présente aiitaut d'équatious qu'il y a de coefficiciits à trouver, d'après la remarque ci-dessus, pour déterminer la fonction <p (V iï); et alors cette expression de v se réduit à la forme:

D'où l'on voit que la fonction v ^ sera en général du degré X-i-X' — 2 et que son degré ne peut s'abaisseï' au-dessous de cette limite que dans ce cas particulier, où l'équation

^8np i-)i-X'-i-3=0

se vérifie eu même temps que les équations

Eu passant à la détermination de la fonction

nous remarquons que d'après le § 10 tous ses termes, pris séparément, doivent être de degré ne dépassant celui de -^ ou de a: "*" ~^; et cette fonction elle-même doit présenter l'expression de degré ne dépassant celui de

5tS. ou de x'-'-'-K

D'où l'on voit, d'uue part, que les polynômes X, Y, Z sout de degrés non supérieurs à X-hX' — 1, X' — 1, X — 1 (les degrés des expression "V'-fi, Jï/, VR^^ S^ étant X, X') et, par conséquent, contiennent au plus X -i- X' -+- X H- X' = 2X -+- 2X' coefficients, et, d'autre part, que ces coefficients doivent vérifier les trois équations que l'on trouve en égalant à zéro les coefficients de a;^"^^'~^, x^'^^'~'^, a}~*~^''~^ dans le développement de (|*p("^'i?). Comme dans la fonction 9 (VE) et, par suite, dans la fonction i|^ ('V'B) on peut supprimer un facteur constant, l'un des 2X -1- 2X' coefficients de la fonction ^^ (vR) peut être égalé à 1, et alors pour déterminer les 2X -I- 2X' — 1 coefficients restants nous avons besoin , outre les trois équations mentionnées plus haut, de 2X -*- 2X' — 4 équations. Or ce nombre d'équations entre les coefficients de la fonction ^^ i Vïl), comme il est aisé à voir, va nous fournir la formule

pourvu que la fonction 4' reste du degré X -1- X' — 2. l]n effet, d'après cette formule la différence

+, (-(''Ji)-4.p^, {oiflt).%^, (a'flt).L,

où L est un polynôme de degré inférieur à celui de v^__^ ou de a; """ '~ , et, par couséquent, de la forme A^x '*' "^ -^ A,jt "^ ~ -+-... ■-*- A-i^^-y<^, doit être divisible par v ^\ et cela suppose que cette différence, censée réduite à la forme

contient les polynômes X, Y, Z divisibles par »',,; d'où l'ou tire, comme il est- aisé à voir, 3 (X -h X' — 2 ) équations entre les coefficients de 9 (V -fi) et i; en y éliminant les X-hX' — 2 coefficients de la fonction

L = A, x^-*-^'- ^ -I- A, x^-^"-'- ^ H- . . . . -t- Ax^v- 2

on obtient 3(X-i-X' — 2) — (X-i-V — 2)=2Xh-2X' — 4 équations qui manquaient justement pour la détermination des coefficieuts de la fonction t|j (Vli).

§ 13. Pour embrasser tous les cas possibles qui peuvent se présenter dans la détermination de la fonction -L {VB), il nous reste à montrer comment se trouvera cette fonction si elle n'est pas déterraioée complètement par la formule (8) ou si cette formule, comme on l'a remarqué ci-dessus, n'a pas lieu.

Dans le premier cas, après ayoir formé d'après la formule (8) et le § 10 les diverses équations auxquelles doivent satisfaire les coefficients de "Jj (VS), nous trouvons leur solution générale, ce qui n'est pas difficile à faire, vu que ces équations sont du premier degré. Les valeurs des coefficients de la fonction ^ (V-B) ainsi obtenues contiendront une ou plusieurs quantités indéterminées; mais les valeurs de ces indéterminées se trouveront aisément eu s'appuyant sur ce que la fonction ç ( VM) donnée par la formule (6)

j,o(|'Ji)..}.,({^ii).....}.p i(f^fi).'l.p(fii)

no-f, Pp— ï-Pp—i

doit être, d'après les conditions du problème, de degré le plus petit possible. En passant au cas où la formule (8) n'a pas lieu, nous allons montrer qu'à la place de cette formule on peut former, pour la détermination des coefficients de la fonction 4', (Viï), à l'aide des fonctions

une suite d'équations dont le nombre sera deux fois plus grand que celui des racines de l'équation

comme cela a lieu quand on tire ces équations de la formule (8).

~ 602 — Désignons piii- x, uno racine tiiiclcouque de réquation

et supposons que dans la suite d'éqnations

la première qui ne se vérifie pas pour x=-.Xi est

Dans cette hypothèse, en posant x^x, at attribuant au radical VB celle de ses valeurs pour laquelle ou a

nous trouvons d'après (4)

Comme la fonction 'p„i{V'-R), d'après (5), peut être présentée sous forme

pour préciser la valeur du radical avec laquelle ces équations doivent être vérifiées pour x^=x^, nous pouvons prendre à la place de l'équation

<Pf,(tiî) = 0 celle-ci

En remarquant que, d'après l'hypothèse, la fonction

ne s'annule pas pour x = Xi, nous pouvons diviser cette équation par

J—°. — . et par cela, pour préciser la valeur du radical avec laquelle pour

"p— a x=x-i les deux égalités

ont lie», nous obtenons l'ériiiatioû ne conteuant que les fonctions

%^, C^ii), %-^ V^^h ■■■■ Vo-"-' ^'^^^' V2' ^p-3'--- Va---'- V,u répétant le même raisonnement pour chaque racine de l'équation v^^ = 0,

uous déduirons relativement à la fonction '\i^{V^Bj une suite d'équations dont le nombre sera en général deux fois plus grand que celui des racines de cette équation.

Nous ne trouvons pas nécessaire d'entrer dans de plus amples détails concernant les cas singuliers quand la formule (8) ne suffit pas pour calculer la fonction ^ (V'-R) ou quand cette formule n'est pas applicable; car ces cas présentent peu d'intérêt sous le rapport théorique et ils ne se trouvent point dans les applications que nous avons en vue.

§ 14. y,n excluant les cas singuliers mentionnés dans le paragraphe précédent, nous avons, d'après les §§ 11 et 12, pour le calcul successif des fonctions

|.(tJî), •i'Ai'it), <^,(-^'ii) ,

les formules suivautcs

assujeties à la condition que les termes de la fonction <\i^ {vB) soient de degré inférieur à celui de 'M-^^B„ et que cette fonction elle-même se réduit à l'expression de degré ne dépassant celui de -^'. Les polynômes .L, M, N, P y entrent comme inconnues auxiliaires et le premier est, d'après le § 1 1, de degré inférieur à celui de v .

Quant aux fonctions primitives

elles se déterminent d'après le § 10 comme il suit: ,].„(y'iï) = 9„(V'i?),

où tpo(yiî), d'après le § 8, désigne la solution de notre problème pour la plus petite valeur de N pour laquelle l'expression

a des termes à radicaux. Si l'expresBion 'V^HiIi^ est de degré inférieur à celui de VR^R^, le degré de cette expression sera égal à la valeur de N pour laquelle on obtient la fonction (^^^{i^R) présentant la solution de notre problème. En remarquant que pour cette valeur de N, d'après les conditions de notre problème, le terme Z VR^ R^ ne peut figurer dans l'expression

9 ("V'B) = X -t- YfR^R^-i-ZfB^R^

et le polynôme y doit être une quantité constante qui peut être supposée égale à — 1 (car on peut diviser la fonction tp^C^i?), d'après le § 8, par un facteur constant) nous trouvons que 9o(1/iï) se réduira, dans le cas considéré, à la forme

X — fR^ B^.

Mais afin que cette expression, conformément aux conditions de notre problème, soit de degré le plus petit possible, il faut prendre pour X la fonction entière obtenue en extrayant la racine VR^R^, car c'est la seule fonction entière qui ne diffère de l'expression VR^ -B/ par des termes de degré positif ou nul. Ainsi, pour le calcul de la fonction '^^iVR), dans le cas où le degré de VB^R^ est inférieur à celui de VB-i^B^, nous obtenons la formule suivante

9„ (fR) ^ rj — fBji^,

où r-, désigne la fonction entière obtenue en extrayant la l'acine vRi R^.

Pareillement, en désignant par r^ la fonction entière obtenue en extrayant la racine vB^R,,, nous trouvons que lorsque le degré de V R^R^ est inférieur à celui de V jR^ R^, la fonction tp,, ivR) aura pour valeur

<^^{-^R)^r^~fR^Ui^.

En dernier lieu , si les degrés des expressions Y U^ R^ et vR^ R^ sont égaux, le nombre N, dans le calcul de la fonction % Ç^R), sera égal à ce degré et pour cette valeur de N, conformément aux conditions de notre problème, la fonction 9^ ( V-S) sera donnée par la formule

9„ (y'i?) = X-H a f !fi^ -I- p fB^^B^,

où a, ^ sout des quantités constantes. Pour trouver les valeurs du poIjDomo X et des constautes a, ^ qui figurent dans cette formule, nous remarquons qu'elle peut être présentée ainsi:

ç, {■V'i;) = X-Har,H-pi-3H-a (k'iïjiï/ — r,)-+-^ {v'^7^ — rj.

En réduisant cette expression de la fonction ^•^{yB), conformément aux conditions de notre problème, au plus petit degré possible, nous remarquons que pour l'abaisser jusqu'au degré négatif, il faut poser