X-i-arj-t- p^g^^O

et pour l'abaissement ultérieur il faut choisir ensuite les constantes a, ^ de façon que la puissance la plus élevée de x provenant des développements des différences

disparaît dans l'expression de la fonction %(y7ï) à l'aide de la formule

9, {fE) = a ifR^^ — /-i) -1- p ii^M^^ — r)

On voit qu'alors une des constantes a, ^ reste arbitraire; et par conséquent on peut la prendre égale à l'unité d'après le § 8.

§ 15. Nous avons expliqué {§ 14), comment on peut déterminer les fonctions

et calculer successivement les fonctions

Vl, ^3, V^,

Ces fonctions, d'après le§ 10, servent à exprimer les fonctions plus compliquées

fjfB), <p, (fiî), <p,(fS),....,

qui sont introduites (§ 7) afin de parvenir à leur aide à la solution de l'équation

9 (fM) . <p (a f iï) . <p (a? fR) = G,

si cela est possible. Or la solution de cette équation détermine la fonction (p(VJ?) qui, au moyen de la formule

donne toutes les intégrales de la forme

J i/E ' exprimables en termes finis.

Comme la solution cherchée de l'équatiou

cp {fH) . 9 (a fE) . 9 («2 fM) = (l

doit, d'après le g 7, se trouver daus la suite des fonctions

T.CV'B), T, (1^-B), fA'fB),

l'une d'elles doit nous donner la solution de l'équation, si celle-ci est possible. En désignant par

celle des fonctions de la suite qui donne la valeur de <f){VE) satisfaisant à notre équation, nous voyons que cela suppose l'égalité

9^ ( V'iî) . 9^ (« i^K) ■ 9^ («? ^'îi) = C\ et comme, d'après notre notation (§ 10), le produit

est égal h v^, la fonction v doit se réduire à une constante.

En vertu de cela il est facile à reconnaître daus la suite des fonctions

^0, fj, Vg,. . . .

celle qui correspond à la fonction 9 (V-fi) fournissant la solution de notre équation: cette fonction v aura une valeur constante. Après avoir trouvé cette fonction dans la suite

nous trouvons, d'après (6), eu posant p = H- l'expression suivante

pour la valeur de la fonction 9(1/^) qui corresponde à v ■ ce sera justement l'expression de la fonction (^{VB) vérifiant l'équation

9 ( V'ii!) . 9 (a fil) . 9 {a? fn) = G

et doiinant, au moyen de la formule

^^dx = K log [q) (fi^).9" (a>'iï).<p'''(a'' l^JÏ)], toutes les intégrales de la forme

exprimables eu termes finis.

Nous avons vu (§ 2) que dans l'expression de cette intégrale les facteurs rationnels de la fonction cpCv'i?) disparaissent et, par suite, dans l'évaluation de cette intégrale, on peut prendre à la place de l'expression précédente de la fonction ^'{yB) celle qui suit:

T (fM) = i. {fB).i/, (fB). . . 4^, (i'B)^ (fi!).

De plus, il n'est pas difficile à montrer que, dans l'évaluation de cette intégrale, on peut s'arrêter aux fonctions '\i (VR) et v si v n'est composé que de facteurs figurant dans la fonction .R, B^.

En effet, si D est le diviseur commun à tous les termes de l'expression tp (VB), nous trouvons, en posant

(10) ï(tiï) = '-li|5,

que (f) (V-B) satisfait à l'équation

9 (fM) . 9 (a fM) . <p (oê fR) = G.

Pour le démontrer nous remarquons que, d'après (3), nous avons

9^ {fn).^^ (a i/R) . 9j^ (a^ i^E) == v^^;

et, comme, d'après l'iiypotiièse, w ne contient pas de facteurs différents de ceux do la fonction B^ 7?^, il suit de cette équation, qu'aucune des expressions

V^ifB), 9,(«tS), 9^1^' fB]

ue SG réduira à 0 pour les valeurs de x autres que les racines de l'équatiou

et, en vertu de (10), il en sera de même à l'égard des fouctious

f{f«), tp (» fS), <f{a?fB).

Quant aux racines de Téquatiim

elles ue peuvent, comme on le voit par la forme de la fonction

cp (fj-l) = X-t- YfBjïI-*-^ ^WK^

annuler une des expressions

9 (f -«), cp (a fR), 9 {a? i^Ii),

sans annuler les lieiis autres; or, aucune valeur de x ne peut annuler à la fois toutes les trois expressions, d'après ce que nous avons démontré dans le § 2 à l'égard de la fonction déterminée par la formule (10). On voit de là que la fonction 9 (V H) dont il s'agit ne s'annulera pour aucune valeur de x, quelle que soit la détermination du radical, et, par conséquent, elle satisfstira à l'équation

9 (\^R).<f {ai>'n).<? (a.^ f}i) = G,

et en mémo temps elle donnera l'expression de notre intégrale par la formule

J J"- dx = K log [9 {\/R) . 9 ^ (œ -fi^) . 9«' (a^ fB)].

Or, en portant ici la valeur de la fonction 9(y7î) d'après (10) et remarquant que 1 -H a -1- a^ ^ 0 et que I) disparaît, nous trouvons que cette intégrale s'exprimera à l'aide de la fonction f^ (Vit) comme il suit:

dx=^K log [9^ ( fR) . 9/ {a. fE) . ^/ (a? -pK)].

D'oîi il est clair que dans l'évaluation de cette intégrale on peut poser 9 {VR) égal à 9 (V-R), si v ne contient pas de facteurs autres que ceux des fonctions R^ et R^; et, par suite, dans le calcul de la fonction ^(VR) à l'aide de nos formules on peut même s'arrêter à la valeur v qui contient la variable x; il suffit que cette fonction ne contienne do facteurs autres que ceux des fonctions R^ et R^.