SUR LES FRACTIONS

jCaUze aSzessêe à 31Ï, ^tascÂm^ann et ûm ie 4Sj30 septemête 4865 Sans (a séance 9e /a Société 31Iat-^éfnaUqu& Se 3Uoscou.

(MaTeMaTHieCKÏfi CSopHHKï., tomi. 1, 1866 r., CTp. 291—296. Journal do malhi^matiqiiiif pures et appliquées. Deuxième série, X, 1865, p. 353—358.)

Sup les Tractions continues algébriques.

Le 13 septembre 1866.

Monsieur,

Parmi les diverses applicatious des fractions continues algébriques qu'on a faites jusqu'à présent, celle que l'on rencontre daus V interpolation d'après la méthode des moindres carrés se distiague par uu caractère tout particulier: dans ce cas les fractions contiaues servent à déterminer les termes dans certains développements de la fonction en série. Cette interpolation et toutes les séries qui en résultent n'embrassent encore qu'une partie miuimc du champ d'un tel usage des fractions continues, et qui est peutêtre aussi vaste que celui d'usage ordinaire de ces fractions dans l'analyse. Ka effet, à l'ordinaire elles servent à trouver les systèmes des polynômes X, Y, qui rendent la différence uX — T" la plus proche possible de zéro, en supposant bien entendu que la fonction u soit développable en série ordonnée suivant les puissances entières et décroissantes de la variable, et que le degré d'approchement se détermine par sa plus haute puissance dans le reste. Pour résoudre la question concernant Vinterpolalion d'après la méthode des moindres carrés (Jownal de MatMmatiques pwres et appliquées de M. Liouville, 2* série, t. III, p. 235), il s'agissait de faire tendre le plus possible la différence de la forme uX — T, non pas vers zéro, mais vers une certaine fonction (vers -■zzx^ d'après la notation du passage cité), et c'est ainsi qu'on est anivé à uu nouvel usage des fractions continues algébriques. Or ce cas particulier d'approchement de l'expression uX — Y h. une fonction donnée n'est pas ie seul qui se présente dans l'analyse et qui demande un nouvel usage des fractions continues algébriques : quelle que soit la fonction donnée ^, la détermination des polynômes X, Y, qui rendent l'expression uX — Yla plus proche de v, se résout aussi à l'aide des frac^ tiens continues, et pai' des formules analogues à celles que l'on trouve dans Vinterpolalion d'après la méthode des moindres ca,rrés. Cette question sur la

détermination des polynômes X, T dans l'expression uX — Zest d'autant plus intéressante, que par sa simplicité elle se place immédiatement après celle que l'on résout ordinairement au moyen des fractions continues algébriques, c'est-à-dire où il s'agit seulement de rendre l'expression uX — F aussi proche de zéro qu'il est i Soit

la fraction continue qui résulte du développement de la fonction u, et

ses fractions convergentes. Si l'on convient de désigner par E la partie entière d'uue fonction, les polynômes X, Y, qui rendent la différence uX — Y la plus proche de la fonction v, seront donnés par les séries suivantes:

Y=-Ev-^{Eq,Q,v — q,EQ,v)P,~{Eq,Q,v-q,EQ,v)P,-t-....; Ces séries sont finies ou infinies en même temps que la série des fractions

et leurs termes, comme il n'est pas difficile de le remarquer, présentent des polynômes dont les degrés vont en croissant. Arrêtées aux termes convenables, ces séries fournissent pour X, Y des valeurs entières et de degrés plus ou moins élevés, suivant le nombre de termes que l'on prend, et en tout cas ces valeurs de X et Y sont celles qui rendent la différence uX — Y aussi proche de v que cela est possible avec des fonctions entières de mêmes degrés que X et Y, et aussi avec des fonctions de degrés plus élevés, mais inférieurs aux degrés des fonctions que Von obtient en prenant dans les expressions de X et Y un terme de plus.

Les valeurs de X et Y qui jouissent de cette propriété remarquable résultent du développement de la fonction v suivant les valeui's des fonctions

n^=uQ^ — P,, B^~uQ^ — P^, 2i^ = uQs~Ps,

dont les degrés sont au-dessous de zéro et vont en décroissant. Un tel développement de la fonction v est facile à obtenir. Si l'on été de v sa partie entière Ev, et que l'on divise le reste par M^, le nouveau reste par B^, et ainsi de suite, il est clair que les quotients de ces divisions, multipliés re-

spectivenient par 7»'i, 2?2, . . . . , et ajoutés à Ev, doiiueront la valeur même de la fonctiou v exacte au dernier reste près. Or le développement de v que l'on trouve de cette manière présente, comme il est facile de s'en assurer, la série suivante :

OÙ les termes sont certaines fonctions dont les degrés vont en décroissant.

Dans le cas le plus ordinaire, oii les dénominateurs qi, q^., q^,. ■ ■ .de la fraction continue

sont tous du premier degré, cette série se simplifie beaucoup; tous les facteurs qui accompagnent les fonctions J^i, M2, -Bg,. ■ . . deviennent constants, et leurs valeurs se déterminent très-aisément : ces facteurs se réduisent aux produits

où .4,, ^a, ^g,. . . . désignent les coefficients de x dans les dénominateurs îii %, 'iï!' ... et Zi, ia, Xg,. . . . les coefficients de — dans les produits

Qi'"^ Q^^, Qz^i — D'où résulte dans le cas en question la série suivante, pour le développement de la fonction v:

V — Ev-^ A^L^B^ — A2L^E2-\- ,

et ces valeurs de X et Y, pour rapprocher la différence v,X — Z le plus

possible de v:

X^ A,L,Q, — A,L,Q,~i-...., r^—Ev-i-A^L.P. — A^L^P^-i-

Dans le cas où la fonction v peut être représentée par la somme

^ (x) étant une fonction entière, et K^, K^, K^, , «i , a^a , 3:3 , .... des constantes, on trouve, en posant §, = 4^1 (;»), Q^ = ^s {^), Ç3 = I3 (s') - ■ ■ -, les expressions suivantes des quantités Li, L^, L^,....:

L, = K, ^, (X,) -+- K, 4., (X,) -+- K, I, {X,) -t- . . . . = 2 Z, 4-, (a;,), ig = K^ (j,^(a;,) -+. A:,4;g{ic,) -t-Ks'\>^{x^)-i- = 2 K^'\>^{x;),

Pour ces valeurs de Lj , L^, L^, . . . . les séries précédentes deviennent

V = mi-i-J^SKi'\,^{x,)B,--J,2K,'\^,{x;jB^-i-A,SK,'\,^{x,)B^—....,

1= A,2K,'^,(x,)Q,- J,2KMx,) Q,->-A,2EMx,)Q—

r= — J*-i-^,27f,4, (a:,)P, — J,27f,4,(i,)Pj-Hj,2K;^;,(ii)7's—

où l'on a

W:)=Q„ U^)=Q„ lsW = «,

Daus le cas particulier où la fonction v se réduit à un seul terme -^on trouve, d'après la première de ces formules, le développement suivant deji-.,

ji^ = y), •!',(«) A -^.i(<')-S'î-^44'3(»)B.~-- -,

OÙ chaque terme présente le produit d'une fonction de a par une fonction de X, comme cela a lieu dans la série qui résulte du développement de {x — a)~^ d'après la formule de Newton.

En faisant dans les formules précédeutcs

^ ^ F{x,) | -F(x,) ^ ^ F(x^) ^ y Fixé on trouve les valeurs des polynômes X et Zpar lesquelles la différence

s'aijproche le plus possible de jr——-., et comme un tel rapprocliement constitue la condition nécessaire et suffisante pour que le pulynùme X réduise au minimum la somme

S^(X — F{xSf

(ce qui n'est pas difficile à montrer), il s'ensuit que l'expressiou de X, déterminée de cette manière, présente la formule à'' interpolation d'après la méihode des moindres carrés.

Je n'insisterai plus sur le parti qu'on peut tirer du développement en série suivant les fonctions déterminées par le moyen des fractions continues algébriques; ce que je viens de dire suffit pour faire voir tout l'intérêt que présente le sujet vers lequel m'ont porté vos leçons et vos précieux entretiens.

Agréez l'assurance d'une estime profonde, etc.

P. Tclïébichcff.

SUR