LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES
XRABUÏX TAK G. A. POSSK.
iipu noMou^u H<inp&puêHUOc>'& dpoScû,
(UpHJioHienic Kl. IX-My TOSty 3anHC0JCi. HitnKPATOPOKoS Aiiweiiia HayK-b, J^ 1, 1866 r.)
Sur le développement des Fonotlons en séries à l'aide des fractions continues.
§ 1. Soit
uue fraction continue algébrique, les dénominateurs
2i> 32. Si,
étant des fonctions entières de la variattle x, ii la valeur exacte de cette fraction et
P, ^ Pg
ses réduites, qu'on obtient en arrêtant le développement
successivement à q^,, 5i, Sa,- . . . D'après les propriétés des réduites, pour déterminer les valeurs dus différences
on a la formule
£^ désignant la valeur de la fraction continue
et représentant, par conséquent, une fonction do degré négatif.
Ou voit par cette formule quo les fonctions
mÇj — i>, tiQ^ — P^, uQs — P.„ ,
qu'où obtient on multipliant les différences
-Pi -Pï -P3
par
«„ fe, ft ,
satisferont à l'égalité suivante:
Nous allons nous occuper maintenant des séries formées à l'aide de ces fonctions. Pour abréger, nous représenterons ces fonctions par
en posant
uQ^ — P^^B^, uQ^—P^ = M^, %Q^ — P^ = B^,....
§ 2. A l'égard des fonctions it\, B^, B^, . . . . en vertu de (1), on aura d'abord l'égalité
D'ailleurs, $,, Q^, Q-j,--.-, les dénominateurs des rétkiites
e.' Sî' «a' — '
représentent une série des fonctions do degrés croissants; doue, il est clair que dans la série
toutes les fonctions seront de degrés négatifs, qui vont on décroissant. D'après cela, ayant une certaine fonctiou v, développable en série procédant suivant les puissances entières déci'oissantes de x, nous pouvons obtenir, pour représenter la fonctiou v avec une approximation plus ou moins grande, uue série dont les termes seront composés des fonctions entières de X multipliées par les facteurs B^, R^, B.^, . . . .
Eu effet, si nous convenons de représenter généralement par le signe Xj la partie entière des fonctions, la difféi'ence v — £iv représentera une
fonction de degré négatif. En la divisant par Ji^ nous obtenons une fonction entière Wj comme qnotient et un reste r^ de degré inférieur à celui de B^. En divisant *•, par R^ nous obtiendrons aussi une fonction entière w^ au quotient, et le reste r^ obtenu ainsi sera d'un degré inférieur à celui de B^. En continuant de cette manièi'e les divisions des restes successifs par Rf, E^, . . . . nous trouverons une série de quotients
représentant des fonctions entières, et une série des restes
dont les degrés seront inférieurs à ceux de -fij, B^, i?3, . fonctions seront liées par les équations
r = iD B -+- r^ ,
Or ces équations, après l'éliminatiou de r^, r^, .... r^,, donnent la formule suivante pour la représentation de la fonction v
(3) v = nv-t-a^ B^-t-a^ M^-i-a^ Eg-i-. . . .-i~ »„-K„ -+■ r^-
Le degré de r^ étant, d'après ce qui précède, inférieur à celui de ii'^, cotte formule donnera, pour la représentation de v esacte aux termes d'ordre de B^, l'expression suivante:
V = -Ej!! -t- (^^ B^-^- a^ B^-i-c)^ B.j-1- . ...-+- «„ B„ ,
<^u S' ''*i)5 • • • ■ désiguant des fonctions entières. Toutes les fois que la fraction continue
sera illimitée, la série des fonctions
déterminées par ses réduites, le sera aussi et par conséquent on pourra aug-
lûenter iiuléfiniiiieut le nombre n dans l'expression do v, trouvée ci-dessus, ce qui nous conduit à la série infinie suivante pour le développement de v:
V = Jiy -H M, j^i H- «j J^a -I- «g -Bg -t- . . . .
§ 3. Dans chaque cas particulier, lesfonctious Uj, o^, a^, , comme
on a vu, peuvent être déterminées à l'aide des divisions successives; nous allons donner maintenant leur expression générale d'après laquelle chacune d'elles se détermine immédiatement.
Pour cela, nous allons démontrer d'abord que les degrés des fonctions
sont respectivement inférieurs à ceux de g^, g^j 5 la fraction continue
. . . . , qui figurent dans
En effet, d'après le § 2, ces fonctions représentent les quotients dans les divisions de
V — hjv, r^, r^,. . . .
par
Aj , -O.^ , -fSg ,....;
or, d'après ce qu'on a remarqué à l'endroit cité, v — tiv est de degré
moindre que 0,etr^,r^, sont de degrés inférieurs à ceux de M^jE^, ;
donc, il est clair que les fonctions
seront de degrés inférieurs à ceux des expressions ± B, E2
D'ailleurs, en vertu de (2), on trouve que les degrés de
Bj, M^, R^, . . . .
sont égaux k ceux des fonctions
par conséquent les
j Bi ^
seront égaux à ceux (
Or, en remarquant que Q^, Q^, Q^,. . . . désignent les dénominateurs des fractions réduites
^ Il ^
G2' Qs' «4' '
qu'on obtient en arrêtant le développement
successivement aux dénominateurs q^ , 2a, Sa, - ■ ■ ■ , nous trouvons que
^~2i' q:~^^'^Qo' Q,~
Il s'en suit que les fouctions
seront de degrés égaux à ceux des dénominateurs q,, q^, q^,....; donc, les fonctions
seront des degrés moindres que celles-là.
§ 4. Passant à la détermination des fonctions
remarquons que la formule (3), après la multiplication par Q^, donne Q^v=Q„ ÏV H- Wj 7Î, Ç„ H- «, ÏÏ, g„ H- -<-w„iï„Ç„-i-r„(3„.
Le degré de r^ étant moindre que celui de E^, et ce dernier, en vertu
de (2), égal à celui de 7A-, le terme r„ 0„ ne contient pas de partie Vn-t-i " "
entière; quant au t-erme Q^ ihv, il représente évidemment une fonction
entière. Il en suit qu'en déterminant la valeur de i^Q^v, d'après la formule , on trouvera:
fjQ^ v=Q^ ^v -+- E«, F,.^ Q^ -1- Eo^ Tï, e„ -f- -t~ Em^ n„ Q^,
622 — et retrauchaut cette formule de la précédente, on atira
Eu multipliant cette formule par q^ pour en tirer la valeur do i^q^ W^v — hjQ^vU nous arrivons à l'égalité suivante:
-I- -^- Eg^ (o„ -S„ Q^ — Eq^ 11^ Q^) .
Quant au terme tjq^r^Q^, on voit de suite qu'il se réduit àzéro; car r^ est de degré moindre que M^, et B^ eu vertu de (2) de degré égal à, celui de ^ — ; donc, le degré de q^ r^ Q^ sera moindre que celui de q^ Q^ ^ — ■ et par conséquent négatif, par ce que q^ Q^ 'q~~^ '^" Qnii "^ '^^n 9n '*' ^n-i-i! représente une expression du degré zéro.
§ 5. Pour déduire de l'égalité obtenue (4) une formule servant à la détermination de la fonction w^, nous allons calculer les valeurs des termes qui figurent dans le second membre de cette égalité. Remarquons dans ce but que d'après (1)
uQ^ =
On-H, -^ e„ Qr.
Multipliant par Q^^^, m étant l'un des nombres 1, 2, 3, .... (w — 1), n, nous aurons
" '" " "* vn-t-i ^^ 'n Vit
D'ailleurs, remarquant qu'en vertu de notre ]iotation
nous trouverons
Substituant la valeur de îiQ^^ tirée de là, dans la formule précédente, nous avons
d'où découle la valeur suivante du produit B Q :
(«) «„ e. = -p. g.,. - -p,,. e. -^ ârir^ % ?. ■
Déterminant à l'aide de cette formule la valeur de -f-Jw^, J?„, Q^^ et remarquant que 0) {P Q — P Qj) est une fonction entière, nous obtenons
Or en considérant la fraction
où le degré du facteur 6>^, d'après le § 3, est moindre que celui de 3,„, nous remarquons que le degré du numérateur y est inférieur au degré de im ^m ^^ P^' conséquent à celui de Q^^^, par ce que Q„^^^=Q^q^-t-Q„^i. Donc, cette fraction représente une expression dont le degré est moindre que celui de
et par conséquent, dans notre cas où m ne surpasse pas n, le degré de cette expression sera négatif, car pour m = ou < n, le degré de la fonction ^m-t-i ^^ surpasse pas celui de Ç„^j. D'après cela, dans l'expression trouvée ci-dessus de riw,„ .7^,„ Q^ le terme
E(- 1)"-^ "m Qrn Qn-^i -*- En Qn
s'annule et (^Ue se réduit à la suivante :
Ï^Wm K Qn = "^m (K Qm ~ ^m '?«)■
Or eu vertu de (5)
»„ -B» «. = »,» Vu 0™ - -P., «.) -^ 'liZ7*°'Q'' donc, d'après ce qu'on a trouvé ci-dessus
d'où l'on aura pour déterminer la valeur de
la formule suivante:
(6) Es»("„«„e„~E«,,„B^ç„)=j]
C'est à l'aide de cette foimiule que nous trouverons les valeurs des termes du second membre de l'égalité (4), ce qui va nous servir pour la détermination de l'expression de la fonction w^.
§ 6. Nous avons vu (§ 5) que la fraction I- 1)"-' <o^ Q^
représente une expression, dont le degré est inférieur à celui de ^p^- ; donc, la fraction
sera de degré moindre que
In
D'où il suit évidemment que le degré de cette fraction, à partir de m ^^^ 1 à w ^ n — 1, sera négatif. Doue, pour toutes ces valeurs de m
et en vertu de l'expression trouvée ci-dessus de
Ej„ ("m -S« Q„ — Ew„ -^m ^«)
noua tirons cette conséquence que pour
on aura
Eg^ ("m ''A„ Ç„ — Eu^ i?^ §„) = 0.
D'ailleurs, en faisant dans la formule (6)
m = w, nous aurons
Pour en tirer la valeur de
1«„ (o)„ B, e„ — Em, B„ Ô.) , nous remarquons que l'expression
~ 625 — après la aubstitutioû de Q^ q^ -i- Q^i au lieu de (?„n, se réduit à
ce qu'on peut aussi écrire de la manière suivante:
Quaut à cette dernière, elle.se réduit évidemment à( — l)"^^»^^: carie degré du secoua terme de l'expression sous !e signe rJ est iiégatif, vu que M^ est de degré inférieur à celui de (/^, le degré de Qn^ moindre que le degré de Q^^ et celui de t^ négatif.
Eu vertu de ce qui précède nous concluons que l'expression
se réduit à zéro pour m = 1, 2, 3, ... . (« — 1) et devient égale à
pour m = n; donc la formule (4) se réduit à l'égalité suivante
qui donne pour la détermination de o^ la formule
Eu y faisant
nous trouverons les expressions de tous les facteurs
(Jj, Q„, W.j, ....
qui figurent dans le développement de v d'après la formule
V = tjV H- W^ -?i'i~t- "a '^''a"*" % -^''j -I- . . . -
La diftérence
Q,v — ¥iQ^v
représentant la partie fractionnaire du produit Q.^^v. la détermination de 6»^^
àTaide de la formule (7) se ramèue à la recherche d« la partie entière daus le produit de ç„ par la partie fractionnaire de Q^ v.
D'autre part, eu exécutant le calcul dans la formule (7) on aura
„„ = (- 1)"-' [Ej„ ()„ . - E (g. E«. „)] , et, q étant une fonction entière, on obtient
l'expression précédente de »„ se réduit ainsi à la forme suivante :
Kemarquant encore que u„ est "une fonction entière de degré moindre que q^ et que le terme q^ ■t'Q„î' est le produit de q^ par une fonction entière, nous tirons de la formule précédente cette conclusion que o^, affecté du signe -t- ou — , représente le reste de la division par q^ de la fonction -Ejg^ Q^v, c'est à dire, de la partie entière du produit ?„ Q^v. § 7. Le développement de t) à l'aide de la formule
■y = rjy -H Wi 7?! -4- uig Ti^-+- co^ Mr^ -+-....
que nous avons indiqué, mérite surtout notre attention parce qu'il fournit la solution de la question suivante :
«Déterminer les polynômes X, Y pour lesquels la différence uX — Y représente la fonction donnée v avec le pltis grand degré d'exactitude qu'on puisse atteindre, lorsque le degré âti polynôme X ne surpasse pas une limite donnée.
Les polynômes X et Y, pour lesquels la différence t(X — Y s'approche le plus de zéro, s'obtiennent, comme on sait, immédiatement à l'aide du développement de u en fraction continue et c'est en vertu de cela que les fractions continues algébriques donnent" le moyeu de résoudre diverses questions de l'Analyse. Les polynômes X et Z, pour lesquels !a différence uX — Y s'approche le plus non pas de zéro mais d'une certaine fonction donnée, ne s'obtiennent pas immédiatement par le développement de )( en fraction continue, mais, commo on va voir, se déterminent par des séries d'un genre particuHer, dont les termes peuvent être trouvés à l'aide du développement de u en fraction continue, ce qui ouvre pour les fractions continues algébriques un nouveau champ d'applications, dont on peut voir un exemple dans notre Mémoire stir les fractions continues, contenant une formule d'interpolation par la méthode des moindres carrés.
Soit m la limite du degré d'ua polynôme X qu'on cherche à détermi- Hcr, en même temps que le polynôme Y, sous la condition que la différence îiX — Y s'approche le plus d'une fonction donnée v, et soit Q^, dans la série des dénominateurs
des réduites
Pi Pj Pj
Ç~i' Ç2' Qs' '
le dernier de ceux, dont le degré ne surpasse pas m. Dans cette supposition le polynôme X sera de degré inférieur à celui de Qn^__^■ Désignant par F^ et p^ le quotient et le reste de la division de X par Q^, par F^^ ^t Pm i ^^ quotient et le reste de la division de ?„ par Q„i etc. et remarquant que le reste de la division par i^^ ^ 1 est zéro, nous aurons îa série suivante d'équatious:
donnant par l'éliminatiou de
l'expressiou suivante du polynùme clievché X;
(8) X = F, e, -I- F^ ft -1- .... H- ?,__, ',)„, -t- F„ e,„
où
sont des fonctions entières inconmies.
Ces fonctions étant les quotients des divisions des fonctions
par
ft, «„■••■ e„„ 0.,
leurs degrés seront respectivement égaux à ceux des expressions
Or les fonctious
étaut les restes des divisions par
leurs degrés seront moÎDdrcs que ceux des
d'ailleurs le degré de X est moindre que celui de Ç„^j, d'après ce qu'on a remarqué ci-dessus; donc, les degrés de
Çl' Q2' ^«-1' Qn
seront moindres que ceux de
al par suite moindres que les degrés de
Ul, 9-2, in^„ Un^
parce que, d'après les propriétés des réduites, on a:
§2 §3 Q^ Qn Qn—i §n-t-l ^^n— i
Ou voit de là que daus le développement (8) du polynôme iucomui X les facteurs
seront des fonctions dont les degrés sont respectivement inférieurs à ceux des dénominateurs
Si, Î3> e„p %■
§ 8, Pour déterminer les fonctions
dans l'expression du polynôme cherché X, donnée par la formule
ainsi que le second polynôme inconnu Y, nous remarquons que d'après les conditions du problème la différence
uX—Y
doit représenter le pins près possible la fonction donnée v, ce qui exige que l'expression
uX — Y— V
s'approche le plus de zéro et par conséquent que le polynôme IF représente le plus près possible la valeur de la fonction uX — v.
Il en résulte que ce polynôme doit être égal à la partie entière de l'expression uX — V et par conséquent, d'après nos notations, nous aurons l'égalité suivante pour déterminer le polynôme Y:
D'autre part, en tirant de cette égalité que
uX~ Y—v ^uX — v — ¥i {uX~v),
nous concluons que le degré d'exactitude avec laquelle la différence
itX—Y
donne l'expression de la fonction o est déterminé par le degré de la différence
uX — v-~fi{iiX~v),
ou, ce qui revient au même, par le degré de la partie fractionnaire do l'expression uX — V.
Donc, pour satisfaire aux conditions du problème, le degré de la partie fractionnaire de l'expression
iiX- — -v
doit être rendu le plus petit possible.
Eu vertu de cela, ayant le développement de la fonction v d'après la formule
y = Ef -t- Oj 7Ï, ^- u, B^-i- ,
nous pourrons facilement trouver les facteurs
Fi, F^, i^;,, 'h\
dans l'expression du polynôme X, donnée par la formule
ainsi que le second polynôme inconnu Y.
Mettons pour cela dans l'expression uX — V les développements de X et de *, indiqués ci-dessiis, ce qui douuc:
— El,' ~ o, H, — a, B,— — <)„ /(„— o„^| B^.r-
Or d'après nos notations
Substituant les valeurs des produits
qui en résultent, dans la formule précédente, nous aurons
»Z— » = — E»-i-F,P,^-F,Pj^- -i-F„P„
-t- (F, — a,) II, -^- (F, ~a,)R,-^- -1- (F„ — (o J B„
En considérant cette expression de la différence uX — v, nous remarquons, que les termes
constituent une fonction entière, tandis que les autres représentent des fonctions de degrés négatifs, comme cela résulte de ce que les degrés des facteurs
./îj, 7?3, E^, ,
d'après le § 2, sont égaux à ceux des expressions
et les facteurs
sont composés des fonctions
dont les degrés {§ 3, § 7) sont moindres que ceux dejj, q^,.... q^, q^^^,--- Eu vertu de cela on trouve pour la partie entière de uX^v, Tcxpressiou
et pour la partie fractionnaire
la première nous donne d'après (9) l'expression suivante du polynôme Y:
r= — \lv -+- F, 1\ -f-F^P^-i- H- i?; P„,
la seconde va nous donner le moyen de déterminer les facteurs
qui figurent dans les cspressions des polynômes cherchés X et Y.
§ 9. En examinant la composition des termes dans la partie fractionnaire indiquée ci-dessiis de la fonction
nous romai
■qirous que les degrés
des facteurs
. . . li,
sont égaux
à ceux des cx[iressio] 1 1 1 ]
is
l'in-t-l
-On
et les degr
es des facteurs
sont inférieurs à ceux de
Si. b,--
mais pas plus petits que zéro, parce que ces facteurs représentent des fonctions entières. Par suite nous trouvons que le degré du terme
sera moindre que celui de
(F,~o.,)fl,
Jh Jh ±
«, 9i îi «
mais pas plus petit que le degré de
il" — L.
le degré du terme
sera inférieur an degré de
mais pas plus petit que celui de
etc. Or on voit d'après ces limites des degrés des fermes daus la série
{I'\— G),) B^ -V- (F,— o,) Ba -i~ . . . . -+- {F^~ o„) R^— u„^^ ^„^ — ■ - ■ ■
que les degrés des termes y vont eu diminuaiit constamment et par conséquent le degré de la partie fractionnaire de l'expression
vX~v,
donnée par cette série sera d'autant plus petit qu'il sera plus grand ie nombre des termes qui évauouisseut à partir du premier.
Cela posé, il n'est pas difficile de trouver les valeurs des facteurs
qui donnent la solution de notre problême. D'après les conditions de ce pro blême, le degré du polynôme X, représenté par la formule
ne doit pas surpasser la limite donnée m, ce qui suppose, en vertu du § 7, que le degré de F^ ne surpasse pas celui de ^— et, d'après le § 8, ce polynôme doit rendre le degré de la partie fractionnaire de l'expression
î(X — V aussi petit que possible, ce qui exige, comme nous venons de voir, l'évanouissement du plus grand nombre possible do termes h, pai'tir du premier dans la série
(F, - o,) F,, -- {F, - „J n, H- . . . . -,- (f„ — Bj B„ »„^, li„^ - .... Or les » — 1 premiers termes disparaissent quand on suppose P,=(o„ F, = a, i? , = u ,;
CCS valeurs des facteurs F^, F^, . . . . F„^^ dont les degrés sont respectivement moindres quo ceux de
d'après le § 7, étant possibles, nons trouvons pour la solution de notre problême
Pour ces valeurs des facteurs F^, F^, . . . . F^^ ia partie fractionnaire de liX — «> se réduit à
où le premier terme peut être annulé par un choix convenable du facteur F,, seulement dans le cas ou le degré de
7-; = o„ ne surpasse pas celui de ^, ou, ce qui revient au même, quand le degré de "« (?„ nesurpassc pas le nombre))?, qui est lalimite du degré dupolynômeX Dans le cas contraire, d'après les conditions du problême, le facteur F^ doit être de degré moindre que to^^, donc sa valeur n'influera sur le degré de l'expression
Ainsi, lorsque le degré de o„ Q^ est supérieur à m, on peut prendre pour F^ toute fonction entière pour laquelle le degré du produit F^ Q^^ ne surpasse pas m, limite du degré du polynôme X De foutes les valeurs de F^ satisfaisant à cette condition, !a valeur égale à zéro mérite une attention particulière, car elle fournit les expressions les plus simples des polynômes X et T, qui donnent la solution de notre problême.
En vertu de ce que nous avons montré par rapport aux facteurs
dans les formules
Y=—^]v-t-F,P,-^^FJ',-t- -^F^^P^,
on voit que la série
"i ^1 "+" "a ''^3 *+" "s (?s "•" ■ ■ - ■ ' arrêtée au dernier des termes dont le degré ne surpasse pas m, donne la valeur du polynôme X dans la solution de nôtre problême et que la série
arrêtée au terme correspondant, donne la valeur du polynôme Tdans la même solution. Cette solution sera la seule possible, si le premier des termes rejetés dans la série
'^i ^1 ~'~ '"'a ^2 "^ '"'s Qd '*' ■ ■ ■ ■
contient le facteur Q^ de degré supérieur à m, limite du degré de X. Dans le cas contraire ce sera la plus simple de toutes les solutions en nombre infini de notre problème, qui toutes donnent l'expression de v avec le même degré d'exactitude et peuvent être obtenues de la solution la plus simple eu y ajoutant aux polynômes X et T les termes
OÙ F est une fonction entière quelconque qui, étant multipliée par Q^, donne un produit de degré ne surpassant pas m, limite du degré du polynôme X.
Telle est îa solution de notre problême sous la forme générale.
§ 10. Les facteurs
contenus dans le développement de la fonction v d'iiprcs la formule
V = rjv H- «j /l'j -+■ &>^ 21, -i~ . ■- . . et dans les séries
Y= — Ef -H o, I\ -t- a^ P^ -+- t,)g 1\ -h- .... ,
qui déterminent les valeurs des polynômes X et J'pour lesquels la différence îiX — Y exprime le plus près la fonction v, s'obtiennent, comme on l'a vu (§ 6), à l'aide de la formule
ou
Dans le cas qui se présente ordinairement, où les dénominateurs g,, q,^, g.,.,... dans ta fraction continue
sont tous des fonctions du premier degré, les facteurs
se réduisent à des constantes dont les valeurs se déterminent aisément.
En effet, si
qj^^Aj^x-t-B^, q^ = A^x~^B^, . . . . q^:= A^ x -\- 2i^, .... la première des expressions indiquées ci-dessus du facteur o donne
D'ailleurs, remarquant que la différeuce
ne contient dans son déyeloppement de termes ni de degré 0, ni de degrés positifs, nous concluons que le développement de cette différence aura la forme
Or, étant raulti])liée par A^x-i-B^, la série précédente donne
A^L^-i — ^ — ^ n^?îH^ . . . .;
donc, en y rejetant la partie fractionnaire, nous aurons d'après la formule indiquée pour la détermination de o^:
(,>^=r(— 1)"-' A^L^, A^ étant, comme on Ta vu, le coefficient de x dans le dénominateur q^, et £„ — le coefficient de — dans la différence Q^v — TjQ^^v ou, ce qui revient
au même, dans l'expression Q^v, le terme J^Q^v ne contenant point des degrés négatifs de x.
En tirant de cette formule les valeurs des facteurs
Oj, «g, (ûg, , . . . ,
nous obtenons, en vertu du développement mentionné de la fonction v, la série suivante:
v = Ev-i-A,L^E, — A^L^Fi,^AsLsMs~. . . .,
et pour l'évaluation des polynômes X et Y, avec lesquels la différence îiX — Zreprésente la fonction v le plus près possible, nous aurons les séries
X= A,LjQj — A^L^Q^-^As Xg Qs -
désignent les coefficients de x dans les dénominateurs de la fraction continue
et
les coefficients de — dans les développements des produits
^1^, Q^-v, Q-iV, ....
suivant les puissances desceudautes de la variable x.
SOR UNE QÏÏSSTÏOH IRÏTHMITIQÏÏ]
(XHADUÏX PAK ». SÉLÏVAWOrr.)
apueMC/îmi/cacâoM'6 Sonpoc9'6.
(HpHnoaieiiie srh X-My loity SauHcoKi, KanapATOPCKoS AKaaiCMiii HayK'Ê, INs 4, 1866 r.)
Sur une question arithmétique.
Etant donné le degrô d'approximation de la différence y — ax vers zéro, on détermine facilement les moindres nombres x Qi y pour lesquelles cette approximation a lieu, en développant la quantité a en fraction continue. La question plus compliquée consiste à déterminer les nombres a; et ^ de manière que la différence y — ax s'approche vers h avec le degré d'approximation donné, 6 étant «ne grandeur donnée différente de zéro. Cette question peut être résolue aussi au moyen des fractions continues, comme nous allons le faire voir.
Nous envisagerons la question sous deux aspects, selon qu'on cherche les nombres x, y de manière que la différence y~ax donne la valeur approchée de h par excès ou par défaut. Dans le premier cas la différence y — ax derant être supérieure à J, si l'on suppose que le degré d'approximation, que l'on a en vue, ne laisse faire une erreur égale à 1, cette différence doit dépasser & d'une valeur moindre que 1, par conséquent en ce cas la quantité
y — ax — -l^=y — (ax-t-h)
est contenue entre 0 et 1 ; le nombre iucouuu y est donc égal au plus grand des deux nombres entiers entre lesquels est contenue la quantité ax -+- h. En dénotant en général par le symbole EA le nombre entier inférieur à A et le plus proche de A, nous remarquons que la quantité ax-i-h sera contenue entre les deux nombres
£i (ax -f- h), ri {ax-\-h)-i-\, et par conséquent l'inconuu y aura pour valeur y = £i {ax-\-y)-^ 1 .
Pour cette valeur de y uoiis obtenons
ij- — {(ix-\-'b)=: K {ax -y- h)-i-\ — {ax -i- h).
De cette manière on détermiuc le degré d'approximation de la différence y — ax vers h dans le cas où cette différeuce est plus grande que h.
Eu discutant de la même manière le cas, où y — ax donne une valeur approchée de h par défaut, nous concluons (iiic y doit être égal au plus petit des deux nombres entiers
E {ax -^ h), E {ax -^-l)-^-},
qui comprennent la quantité ax -+- b, par conséquent
y = l'j {ax 't- h), et
y^ax-^h = rj {ax ~i~ h) — (ax -+~ h)
= — i ax -i- h — K- {ax -+-l>)\.
Il en résulte que notre question se réduit à la détermination de la moindre valeur du nombre entier x satisfaisant à la condition que
Tj (ax -+-h)-+- 1 — {ax -+- h) ou
ax -t-b—^ Jli {az -t- b)
soit inférieure à une quantité donnée, qui détermine le degré d'approximation de la différence y — ax vers h.
