II

En abordant cette question, désignons pour abréger

E {ax-i-h}-i-l— {ax -+~h) = <ç, {x), 0) <

' ax-i-b — hi («a; -4- i) = '^ (x);

calculons les valeurs

et dans chacune de ces suites de valeurs chassons tous les termes égaux ou supérieurs aux termes qui leurs précèdent. Eu désignaut par

les termes qui restent après cette opération, il est facile de remarquer qu'eu général le terme

aura la plus petite valeur que peut prendre l'expressiou q> (a;) pour x < N^^, . En effet, on voit, d'après ce que nous avons dit sur la réduction des termes de la série

T(0), cp(l), <f(2), T(3)

que ie terme <^[N^) ne peut rester que dans le cas, où l'on a

9(o)><p(Ay,

■p(l)>T(AV,

D'autre part pour qu'aucuu des termes

tp(A'„-t-l), ç(A'„-h2) tf(N^^^—\)

ue reste après cette réduction, le moindre de ces termes ue doit être inférieur à 9 (N^), qui est le moiudre des termes

9(0), 9(1), Cf(2),.... 9 (A'.);

car autrement ce terme serait moindre que ceux qui le précèdent, et par conséquent ne pourrait pas être chassé de la suite

0(0), cp(l), ?(2),,...

La suite

^.(M.), -HM,), ■i{M,). . . . ■iiJiÇ, +{lij^,) ,

jouit de la même propriété, le terme

•lyant la moindre valeur que puisse prendre <^ (x) pour les valeurs de x de puis x^=0 jusqu'à x = M ^ — 1 .

Il en résulte que les suites

fiN,), <?iN,), <^(N,), .... <p{N^), 9(N^^,\ ....,

^(If,), <^{M,), '^(M,),. . . . ^(M^), ^{M^^X- •■■.

obtcuues par la réduction énoncée ci-dessus des termes des suites