KS

font voir le degré de petitesse que puissent atteindre les expressions 9(3;), 4^ (x) pour les différentes valeurs de x. Pour cette raison ces suites peuvent servir à la résolution de notre problème.

Soit p. ex. 9{-ZV(j) le premier terme de la suite

ç(JVo), q>(A^j), 9(Ay, .... v{N^,), 9(ZVJ,

ne surpassant pas une certaine limite e. Le moindre nombre x pour lequel la différence y — ax, étant supérieure à &, exprime tas près sera x = N . La même cbose s'obtient au moyen de la suite

^(M,), -i^iM,), '}^(M,), .... ^(M^), ^{M^^^), ....

si l'on suppose y — ax moindre que h.

La résolution de notre problème est aiusi réduite à la formation des

TTO, tTO, ,<f{N,) T(Ay, <p(]V„,)

it(M,), ■!t(Mi, i/(U,) i/(U), it(U^^), ....

On calcule aisément les termes de ces suites, comme nous allons voir, au moyeu des nombres x et y, pour- lesquelles la différence y — ax s'approche le plus de zéro. On obtient ces valeurs de x et y, comme on sait, à l'aide des fractions continues de la manière suivante.

Après avoii- développé a en fraction continue

on calcule Its réduites principales

et les réduites intermédiaires

■ ■ ■ e>(..-u> Pjto-ii

■ ■ • (3,(»-ij!

où

et en général

Po 1

Les nombres a: et y pour lesquelles la diifércuce y — ax, tout en restant positive, s'approche le plus possible de zéro sont

x=q;, q;\ — ç/'i-", Q„ Qi, q;, — , y = p,', -Pi", .... pi''^''\ p„ p;, p;',

tandis que les nombres x et y pour lesquelles la différence reste négative et s'approche le plus possible de zéro sont

x=Q„ g;, Q,", Q,''^-'\ Q„ Ql, ,

y^p,, p;, p;' p^''^~'\ Ps, Pi,

Ces systèmes des valeurs de a; et y jouissent, comme on sait, de la propriété que chacun d'eux l'éduit la valeur absolue de la diiférence y — ax h un tel degré de petitesse que l'on peut atteindre dans la supposition de y — «3;>0 ou y — - «a; < 0, en laissant ic -invariable ou bien en le diminuant. Ainsi p. ex. en posant x =: §/, )/ = Pj' on obtient la plus petite valeur possible de la différence y — ax pour x:=: ou <. (^Z et y — fl3;> 0.

Par celte raison, en dcsigoant par

les plus petites valeurs qu'obtient la différence y — ax pour 3;=], 2, 3,.... lorsque y — «3: > 0, on conclut que dans la suite

chacun des termes

%iQ^}, 9M'h ■■■■ 9o(^,"^"")> ?o(^.), MQs): ■■■•

sera inférieur à tous ceux qui le précèdent. De même, on désignant par -4-,(l), -^;.(2), -^.,(3), ....

les valeurs de la différence // — ax les plus approchées de zéro pour

x=i, 2, 3, . . . ., lorsque

y — ax <. 0,

nous remarquons que cliacun des termes

UQÙ, UQA Mi:'): ■■■■ i(ft"'""). ilft)

de la suite

sera Inférieur à tous ceux qui le précèdent. On Toit de là que les suites

9o«>i% '^M\ ■■■■ ?o(<3i"^"''), 'Po^^a), ïo((^3%

UQ^). UQil UQi'l ■■■■ UQ^''~'^ UQ^^ ■ ■ ■ ■ '

jouent ie même rôle par rapport aux suites

♦■,(1), i(2), +.(3),. ..-, que les suites considérées plus haut

î (*.), 9 (IfJ, 9 (W,), .... 9 (A'J, 9 (-'VaH-,) • ■ ■ • > ^/(itf.),. if{M,), \(U,), .... ^(M,), 'HjV.' ■ ■ ■ ■'

par rapport aux suites

Pour abréger nous dénoterons les nombres

e;, e,", .... o,'"^", q„ e,', . ■ ■ ■ , e„ e,', ft" ft'""", «,

par

m., m^, OTg, en vertu de quoi les suites

4'.(«.)> i. («,'), i(ft"), ■ ■ . ■ •!'. («.*""), >!'.(«,), .

90 K): 9oK), 9oW> '

'|>o(m(|), 'l'oC'Wi}, 'l'o{%\

Les expressions

comme il est facile de s'en couvaiiicre, s'obtiennent des expressions

cp (a:) = -Tj {ax-i-b)-t-l — (ax -t- h), |(a:) = as; -I- & — rj {ax -+- h),

quand on suppose b égale à zéro. En effet, pour que la différence p — ax s'approche le plus possible de zéro pour la valeur donnée de x, le nombre inconnu y doit s'approcher le plus possible de la quantité ax et, par conséquent, doit être égal à un des nombres entiers qui comprennent la quantité ax. Mais puisque ces nombres sont

E (ax) H- 1 , E (ax),

les valeurs de ^z — a3> les plus approchées de zéro seront

hj (ax) H- 1 — aï, Jij (ax) — ax.

La première de ces valeurs étant positive et la seconde négative, nous concluons en vertu de nos notations, que celle-là se représentera par ^o (x) et celle-ci par '\'^{x) de sorte qu'on aura

I <p^ (a:) = .Cj (ax) -4-1 — ax, (2) <

J 1^^ (x) =: ax — Tj (aaî).

Pour parvenir à la détermination des termes

■|«), -KiX), -K*,!. ■ ■ ■ ■ •KJf,), ■+(«',*■)

nous cherchons d'après les formnles (1) l'expression de la différence

— 646 ~ L étant un nombre positif quelconque. Nous obtenons q, (jY^) fp (iV^ -,- i) = E (fliYg -t- ;,)-,- 1 — (rtA^ -+- h)

— L {aN^ H- fflL -t- fc) — 1 -I- ffliVg -I- «-L -H ou, après la réduction,

ç (JV^) q, (JV^ -1- £) = «L — [E {a'N^ H- rti: ^ &) — E {aN^ -+- &)] ■ Mais ii est facile de voir que pour vl > 5 la diffôrcuce

E^— Es,

est égale à

ou à

Yj{A — B)'^\,

ce qu'on peut évidemment exprimer par l'égalité suivante

en supposant que dans l'expression

on choisit convenablement l'uu des deux signes ±.

Par cette raison l'expression trouvée ci-dessus de la différence

ç {J\;) — Y (jV^ ^ L) prend la forme

9 (N^) — cp (iVg ~i- L) = aL — E (aL) — i^ ;

donc, en remarquant que d'après (2)

aL— E {aL) = -\>JL),

nous en concluons, qu'on aura

où il faut choisir couvcnablcment le signe dans l'expression ^^. Dans le cas particulier, où l'on a

cette formule uous doune

Pour déterminer le signe qu'il faut y choisir, remarquons que le premier membre de cette égalité est positif, car les termes de la série

?(iv.), o(Ay, i(N,),. . . . t,(Ay, ?(*;,,),. . . .

vont eu diminuant; et que le premier terme du second membre "J^oCA^^^^ — N^) d'après (2) est inférieur à un. La formule ne peut donc avoir lieu que dans le cas où

d'où il résulte évidemment que dans l'expression ~^- on doit prendre le signe inférieur. Eu choisissant ce signe uous obtenons

(3) ? {N^) — 9 (A;^.) = '^0 {AV, - Ay . Il eu résulte que

(4) ■MK^^-^\)<9{»,)-

D'autre part il est facile de voir que pour

L < N^^^ — a; aura lieu toujours l'inégalité

^;.(i)>»(ay.

Pour le démontrer, supposons que L soit un nombre pour lequel cette inégalité n'a pas lieu; ucus allons voir que pour telle valeur de L l'inégalité

est impossible.

En effet, si l'on avait

'^^m non >9(A',), la formule précédente

ç (Ay - ? (N, - H X) ^- ^, [L) -.- ^ ,

uc peut être satisfaite que pour

Mais comme cp(A^gH-X), d'après le § II, est inférieur à 1, cette inégalité n'aura lieu que pour le signe inférieur rt , ce qui réduit la formule précédente à celle-ci

qui exige

Riais d'après le § précédent aucune des valeurs

=p(A',H-l), <p(A;-t-2),.... ç(jY^^^1)

uc peut être inférieure à <fiN^). Par conséquent cette inégalité est impossible, si JVg •+- X est égal à un des nombres

iVgH- 1, A'g-H2, -^^3+,— 1

ou, ce qui est la même chose, si

Donc pour toutes les valeurs de L inférieures à la différence N^^^ — N^ ou aura

d'où il suit d'après (4)

Ou voit de là que dans la suite

i(i), i(2), i(3) iiAW.-'V,),. . . .

le terme

est plus petit que tous ceux qui le précèdent, et par conséquent on trouvera ce terme dans la série

4'n(*'*o)i 'l'oO^Jï 'l'o(*"2)i ■ - • ■ !

conformemeut à ce que nous avons dit (§ II) sur la formation de cette série. Eu désignant par

celui des termes de la série

qui est égal à nous trouvons et d'après (3)

Ainsi pour déterminer iV^.^, et œ (ÏV'^^.n) au moyen des valeurs N^ et 9 {K^) on aura les formules suivantes

Qnant au chois du terme 'loO'Va) '^'^ ^•'' ^^""^

qui sert d'après (6) pour déterminer les valeurs de N^^^ et f^iN^^^i) au moyen deiV^ et <?{N^), il est aisé de le faire. D'après la formule (4) le terme

ne surpasse pas la valeur

mais tous les termes

qui le précèdent, d'après (5), sont supérieurs à 9(JVg); donc le terme

de cette série sera le premier, et, par conséquent, le plus grand des termes qui ne surpassent pas (?{N^).

En considérant de la même manière la différence

pour X ^ ilip ^j — ilip et pour X < Jf — 31 on obtieut (7) '*' ' •''

cP(,(«v-) étant le plus grand des termes de la série

90 («o), 9o(«i), -PWî ;

qui ne surpassent pas ^K-AC)-

§ IV

D'après les résultats obtenus dans le paragraphe précédent tous les termes des séries

peuvent être calculés au moyen des premiers termes 9(-A'd), ■■J^(-Mo)- Ainsi, en posant dans les formules (6)

ou trouve

N, = N^^ )îV„ , 9 (iY,) = 9 (^"^'o) — "I^o {'"i%),

■iV'x = -^x-i -+- "'i^x, , 9 i^\) = 9 (^\-,) — 'l'o ("Vx,)) ce qui nous donne, en éliminant A''j , N^,...,N■^^^J çl-'V,), 9(iV„),..,, 9{iVj^|),

j iVj^ = A'o ^ "Vo -I- »?;i, -^ • ■ ■ ■ ->- "'!<.},i,

1 9 (-A^>,) = 9 (^M — 4-0 («ï^-o) — 'l'o ("vJ ~ — — "l'o (»Vx-i) ;

d'où i! suit

(9) 9 (iVo) = -l^o ("Vo) -^ 'i'o i"%i) -'-^ - ■ ■ ■ ^- 'J'o ("Vx-,) -t^ 9 W-

D'après ce que noua avons dit au § III,

sera le plus grand des termes

to("*o), '4'o{'V5 4'd(%)i- • ■ -î

qui ne surpassent pas <f(N^), '\'oi'^ti^I,^) sera le plus grand de ceux qui ne surpassent pas 9 (Nj ) = cp (IVg) — 4*0 ("Vu)' "^o ("Vî) sera le pins grand de ceux qui ne surpassent pas <ù {N^)=(f {N^) — i]jp{m^|)=tp(ÎN^g) — 4'o("Vo) — 'l'i)("Vi)' etc.

Donc la série

4'0 (Wfio) ■+- "l'A (™f»,} -*- -^ "l^O ("Vj,l)'

qui, d'après la formule (9), donne la valeur de (ù{N^) à <?iNy) près, peut être obtenue quand ou développe la quantité ç(iV(,) eu une somme de termes de la forme

•^ùi'"h\ M^h), '\>o{fih)' '

en détachant successivement de la quantité 9(iV„) les plus grands termes possibles de la série

ou, ce qui est la même chose, quand dans le développement de çC-N^) en série

on a en vue que la série arrêtée à un terme quelconque ait une valeur moindi'e que '^{Nq) et la plus rapprochée à '^{N^y).

En supposant que ce développement de la quantité 'i'(Ng) prolongé indéfiniment conduit à la série

'W («Vc) -+- 4'o (w,.,) -+- 4*0 ("Vs) -+- — '

on conclut que cette série plus ou moins prolongée sert à détenniner d'après les formules (8) les différents termes de !a série

f{N,), 9 (.¥,), »(iV,),....

et les nombres coiTcspoudants

En s'an-êtaut au terme 4'o("V)^i) ^^ ^^ ^'-^'i^

on obtient d'après la formule (9) la valeur de ff{N„) avec l'erreur ffiN-^J. Donc pour déterminer le premier terme de la série

^(N,), 9 (.¥.), 9(iV,), 9i^,),....

ne surpassant pas la limite s (ainsi qu'exige notre problème), il faut prolonger la série

jusqu'à ce qu'où obtienne (^{Nf) àsprès. Si l'on doit reteuirpour celaXtermes

le premier terme de la série

9(iV,), «(-^a), 9(^3), ,

ne surpassant pas e, d'après (8), sera

cp (iV) = 9 (Wo) — ^0 (mf.„) — 4<o (mf,,) — — 4-0 («Vj,i).

et le nombre iV correspondant aura la valeur

N= No -t- m^t^ -I- m(,j -»- -+- m(,j^j .

Ces expressions des quantités 9 (N) et du iiombre N peuvent avoir des termes égaux entre eux. Pour trouver ce qu'où obtient en réunissant ces termes égaux remarquons que dans la série

^0 (^h) -*~ 4-0 {'»u^i) -+- '-Po (*'Vî) -+- ,

d'après ce que nous avons dit à l'égard de sa composition, cbaque terme ne sera pas inférieur à celui qui le suit. Par conséquent la série considérée se réduit à

fco ^"0 (''^o) *+- K 4'o ('''0 "+" K 'h ("h^ -t- .... -H k^ <\io {m^ -H .... , où

désignent les nombres des termes égaux à

loK). 'l'ûW, ^oK). 'l'o ('";),

Eu comparant la série

indéfiniment prolongée avec la série

'■Po(«W-»-^o(«Vi)'*- -»-4'o{'«ii),-i)'

arrêtée au terme <]Jo(»*[j-)— |) "^ua remarquons que dans les deux séries les termes

'J'oi«ïo)> 'J'oK)- 4'o{'«2),

jusqu'aux termes égaux à

cntreut uu nombre égal do fois. Mais les termes égaux à

entrent en général dans la série

indéfiniment prolongée un nombre de fois plus grand de l unités, l désignant combien la série

«Vo» ^'Vp »*(^,,--- •

contient de termes qui suivent fihx^__^ et qui lui sont égaux. La série

ari'ètéc au terme

4*.) ("Vx-i)!

se réduit donc à

et la somme cori'espondautc

par la même raison, pi'end la foi'me

En portant ces expressions des sommes

dans les formules précédemment obtenues pour cp (jV) et iV, on trouve

(lOJ

Le uombre l, d'après sa siguification, aura uue des valeurs suivantes

0, 1, 2, ^|ix i— 1;

quaut aux nombres

il est aisé de voir qu'ils sont les quotients de la division de cp (N^) pai' <\>„ (m^), du premier reste par ifoC^i)! ^^ second reste par 4'o(*'^8) ^^ ^^^^^ ^^ suite. Eu effet, d'après ce que nous avons dit sur les séries

'\'o ('«Mo) -*- i' {"^i^J -+- 1 ('«fa) -+- '

&o "l^o (ïMo) "•" K ']'o (*"i) "•" K "î^o i^h'^ -*-....,

on voit qu'après les /c^ termes égaux à '|i„(m(,), h^ termes égaux à 4'o(Mj ),,.,., k^ termes égaux à ']>Q{^i), il n'y aura plus de termes égaux à '\>^im^) que dans le cas où.

? (JVo) - k |„ (m,) - k, |« (m,) — ....-/,. 4;„ (m,) < -^^ (m,);

mais comme ces séries arrêtées à un terme quelconque ont uue valeur moindre que cp (iV„), on a

9{A'û) — Ao»|)g(«io)— /;^'}(„(OTj) — . . . . — /''j 4*0(^0 > 0. Or pour

ces inégalités donnent

<i>iNa) — 'ICa'^o(«h)<']fo{^>h) mais > 0,

cp(iV"„) — /(;oi|/o(moj — &^i|;,(m,}<|o(m^) mais > 0,

q)(A''t,) — feii'j'oO^û) — ^*^i 4*0(^1)^ ^2 'Î'uO"e) < "l'ûW ™^is > 0,

et ainsi de suite. Il est clair de là que k^ est le quotient de la division de iy(jV"(|) par 4*0 («^g), le reste de cette division étant ^>{N^) — ^o'l'o(*'*o)i *1"^'^ ^i est le quotient de la division de ce reste par l'oO'^i); ^^ ^^^te de cette division étant %(Na) — ^o4'o(%) — ^[4'o(*'*i)i K est le quotient de la division de ce reste par ij/ot^) ^^ ^^^^si de suite. Quant au choix du terme

et du nombre l pour lesquels ks formules ( 1 0) expriment le premier des termes de la série

qui ne surpassent pas la limite donnée s, il est facile de le faire.

Nous avons vu que l'expression

fefl 4)o («io) -I- h^ «l'A («^1^ -+^ -+- (^(^x i — 0 '^0 (^'V),-,)

résulte de la somme

^0 ('"Vo) -*- '^'i 0™!^i) -^- ■■'•-+- 4'u (''^À-i) par la réuiiiou des termes égaux. Mais cette somme est la série

arrêtée au premier terme avec lequel on obtieut la valeur de cp(IVo) à s près. Il en résulte que le terme

de la série

et par couséquent le terme de la série

sont les premiers termes avec lesquels ces séries donnent la valeur de 9 (A'',,) à e près et que l est le plus grand des nombres

pour lesquels l'espression

K 4^0 (''*u) ■^ ^1 '\i ("*i) -^- . . . - -t- (^ij.x__i— 0 'j'u ("Vx— 1)

représente la valeur de ^(iS'u) à s près.

En considérant de la même manière la déterniination des termes

■^ÎM^), 'i(iT/J, '^{M^), ,

nous trouvons qu'on les obtient en développant la quantité ^'(-^o) ^^ ^^^"^^

K îo ('*(») -+- ^1 ?o {«1) "+" '^a ?u ("a) -*-•■•-,

les nombres h^, \, k^,.... étant les quotients de la division de ']>{Ma) par Çoln^,), du premier reste par %in^), du second reste par '{-^^in^), et ainsi de suite.

Supposons que pour obtcuir la valeur de '^[M^) à t près, il faut s'arrêter au terme

et que î soit le plus grand des nombres

0, 1, 2, fc-p, — ^,

pour lesquels la somme

&(, (pO {«(,) H- fc[ 'f 0 («,) -t- . . . .-f-{fcv^[ l) Ço{Mv,,)

donne la valeur de '\^{Mg) à s près. Pour déterminer le premier terme de !a série

'^(M,), 'biM,), '\>{M^), ,

ne surpassant pas s et le nombre correspondant M on obtient les formules suivantes:

( ilf=MoHH/.on,-+-/(^H^-f- .... -+- {k,,^^— l) nv^,.

Notre question est ainsi complètement résolue; il reste encore à indiquer le calcul des différentes quantités qui entrent dans les formules (10) et (11).

D'après le § II la série

7î^, )ij, n^, «g, . . . .

sera composée des nombres

qui sont les dénominateurs de telles réduites principales et intermédiaires de la quantité a, dont la valeur est plus grande que a; la série

(poK); 9u(%), ^uC^^a)» ■ ■ • ■

est composée des valeurs de la différence ■>/ — ax pour a; et ï/ égaies aux termes de ces réduites, à savoir

pour x = q;, q;\ .... Qi''^~'\ Qs, ç;, ,

y=^l\', P,", .... P/''i~", Pg, P/,

Posant pour abréger

(ks quantités B^ et .Z>/' étant toujours positives d'après la propriété des réduites principales et lutermédiaires) nous concluons que la série

tpoK). 9o("'j)- ?oK)5 ■ ■ ■ ■

est composée des termes

b;, Bi', Bi''^^'', B„ b;, ,

Bf'' désignant

ou, eu d'autres termes, la valeur de la différence y — ax pour D'après les relations

.jg. J ^-t-1 se e i e a t i

qui existent entre les termes des réduites principales et intermédiaires, on trouve que les quantités

Ho, B,, »;, B,", .... A"'"". D„

sont liées par les égalités suivantes

Eu posant dans la première de ces égalités e = 1 et remarquant que

Dt=P, — aQ,= l — a.O = l, ou trouve

d'où il résulte

Or les équatious (14), après l'élirainatiou de B^^, nous donnent

Kn procédant au calcul de la série

kg Cpo («o) -+- \ Cpo («j) -+- \ CpQ (Wg) -i- . . . . ,

remarquons qu'après T introduction des valeurs obtenues pour

9o('ïo), 9o(»^i), <Po(«a), ■ ■ ■ -, cette série prend la forme suivante

Jcg D; -4- k, D" -*-.... -4- ^„2 D/^'-^' H- /,:,,! -D3-H Z»^,, A'-^ ^'^5,-1 A"^- ■ ■ ■ -, les coefficients

/Cq, &j, fcg, . . . .

d'après le § IV étant les quotients de la division de 4'(-^o) P'^^ %{h)=^ï^ du premier reste par <^^{n^)^Dl', du second reste par 9n(Wj) = Dj"', et ainsi de suite. Eu remarquant que (d'après le § II) le dividende '^{M^) est inférieur à un, que le premier reste est inférieur au premier diviseur 7>/ et ainsi de suite, nous concluons que

h < jjy, A,. < ^'„ ; . . . . fc,,, < 5^, et par conséquent

'^0—*^ < iJ/ ! «1 — ^ < JY^ , ■■■. ft,,-2— '2< ■y^,,,ij

En y portant l^^-i-'ii Z^j à la place de un d'après (15) et remplaçant les quantités

pai- leurs valeurs (16) ou obtient après la réduction ^0 — 2 < -

-B.-i-to