I)JJ

Tous les coefficients

sont donc inférieurs à 2 ; mais, puisque ces coefficients sout des nombres entiers et positifs (§ ÏV), ils ne peuvent avoir qu'uue des valeurs: 0 ou 1. 3 par h le premier des coefficients

^0) ''''u K) • ■ . - hi,-2 différent de zéro; on aura dans cette supposition

D'après ce que nous avons dit sur la détermination de ces coefficients, nous concluons que le quotient de la division de '| (Mg) par

d;, d;', Df>

doit être égal à zéro, mais eu divisant par

ou obtient le quotient un, ce qui n'a lieu que pour

^1; (ilfo) < D,^''\ ^ (ilfo) > l>i'''"^". Eu y portant les valeurs de 1)/"^ B^^"'''^^ d'après (16) on trouve

ce qui nous donne

( 4- «) - (A -+- Di < (g, -- jr — 1) B, ,

I +{Jif.)— (A-^-A)> ta-9-2) A-

Comme y désigne un des nombres

la dernière inégalité suppose que

Cette inégalité a toujours lieu quand la série

^d, &j, &g, . . . . h^,-2 contient un coefficient k différent de zéro. Par conséquent, si la condition

'\'(M,)>I)i-t-D^, n'est pas satisfaite, tous les coefficients

sont égaux à zéro. Mais si cette condition est remplie il est facile de déterminer f/ d'après (17). Remarquons pour cela que d'après (17) le rapport

•V (Mq) — ( Ji -f- D^) est compris entre les nombres

par conséquent !e moindre de ces nombres q^ —g — 2 est le quotient de la division de

4/(Mo) — (7),-Hlt,l

par D;. En désif^nant ce quotient par a.^ nous aurons

ïi— 3"2 = œ,; d'oîi résulte la valeur de g:

5 = îi — «1 — 2- De cette manière on détermine g, l'indice du premier des coefticients

Kq, ffij, ffg, .... kq^—2,

différent de zéro et égal à un. Tons les coefficients suivants

s'aunulent, comme il est facile de s'en convaincre.

Eu effet, d'après ce que nous avons dit sur la détermination des coefficients de la série

les coefficients

Vi' ^r/-^î' ''^3i-^>

daus le cas ou

sont égaux aux quotients de la division de la différence 'h (Mg) — D,'''"^^' par D^'^~^^', du premier reste par D/""^'', du second reste par D^w-*--») g^ ainsi de suite.

Les quotients de toutes ces divisions sont zéros, car la différence

d'après (17) est inférieure à

ce qui se réduit, eu y introduisant la valeur de Di'""^'' donuéc par la formule (16), à D^ qui, d'après (16), est inférieure à tons les diviseurs

Il en résulte que la série

fto D,' -+- \ Z>," -H .... -I- fcg^3 A"'~ " '^ hi-i D, H- . . . .

ne coHtient aucun des termes

ftoA', K^i",- ■ ■■ ^3,-2 A"'~" ou n'en contient qu'un seul dont le coefficient sera égal à 1. Le premier cas a lieu quand

|(iifo)<A-+--D.;

le second cas quand

et dans le dernier cas un tel terme est

«1 étant le quotient de la division do la différence

^(JI/o)-(A-hJ>,)

par A- P^T cette raison la somme des tenues de cette série jusqu'au terme kg —i-Dg se réduit à zéro ou à A'^i^^i"^' et par conséquent se représente en général par l'expression

avec lia des deux signes ±. Le sigao supérieur avec lequel cette expression se réduit à

a lieu sous la conditiou

|(ilfo)>7),H-D,;

le sigue ioférieur avec lequel l'expression devient nulle a lieu quand

Aiusi notre série se réduit à la suivante

l±l jr);îi-"i-^) ^ /^i-l A -*- K Da' ^- ■ ■ ■ ■ . et le coefficient \^-i d'après le § IV est égal au quotient de la division de

par 1),^. En désignant ce quotieut par «^ nous aurons

Iiln passant à la détermination des coefficicuts postérieurs

hi, hi-^-i,- ■ ■ -, remarquons qu'on les trouvera de la même manière que les précédents "'01 "'n "'ai ' ' ' " 3i — 2î

et que tous les termes de la forme

se réduisent à

en y conservant le sigue inférieur ou supérieur selon que la différence

soit inférieure k JD^-t-D^ ou non, le uomtre a^ étant le quotient de la division de

^ {M,) — ^ i}^(îi-«i-i) fl^ 2>^ (2j^ H 2>j par D3.

Eu continuant de cette mauière nous trouverons pour évaluation de la série, dont il s'agit, la formule suivante

(18) Le^ n(3i-"i-')-,-,« n,,-HL=i n'''3-"3-o^(, n-t^

Les nombres

c'est à dire, les coefficients de

dans la série (18), sont les quotients de la division de la différence

par Dg, de la différence

par D^ et ainsi de suite. Par conséquent on aura les inégalités suivantes (19) 0<(|;(Jlfo)- ^D/ïi-'*'^"-aa D,- if^ 7V'^-"3-"-....-a,, D,,<D,„ qui font voir que la somme de la série (18) arrêtée au terme

ne surpasse pas '\i(Ma) et n'en diffère que d'une valeur moindre que D^-^. Quant à la valeur qu'on obtient en s'arrêtant au terme de la forme

1±' 7)fe-i-i-"sX-i-i-l)

ou devra distinguer deux cas que nous discuterons successivement. Fremier cas. Le terme — i^ Dml-t-i—^ik-^i— i ^iff^fg ^^ zéro.

Cela arrive quand des deux signes zt on retient le signe supérieur; ce terme devient alors

et le nombre a^)^^i, comme nous le savons, est îo quotieut de la division de la différence

4-(ilf,)-i=iB»'""'~"-«>A-^-D*-"»-"-...-«,.A»-(BA-*.*B,,,^J par Z)j).^| , ce qui suppose les inég'alités

-=',x-D,,-(%-.,-^A,,^,)-Si+,-Oa.

Mais comme d'après (16)

on aura

(20) 0<'}.(il/,)-^I)/î'-"'-'>-a, D,--....-a^j ZJ^^-i)|j^|'-"^>-'-'><^^^^^ On voit de là que la somme de la série (18) arrêtée au terme

ne surpasse pas '^(Mo) ^^ ï'''^" diffère que d'une valeur moindre que -Ojî-ni si ce terme ne disparait pas.

Second cas. Le terme -^- jy^à.-^-i—Hl-i-t- i disparait.

Cela arrive quand des deux signes ± on retient le signe inférieur, ce qui a lieu, comme nous l'avons vu, sous la condition

(21) 4,(M-.)-li!B.'"-".-"-»,D,-....-«^7)„<B^^^,-,-B^^,.

Cette inégalité avec l'inégalité (19) fait voir que la somme de la série (18) arrêtée au terme

1^1 n(32),-i-t-«!iw-i— 1)

(dans le cas oii ce terme disparait) ne surpasse pas ■^{M^ et n'en diffère que d'une valeur moindre que -2'jx+i"+^-^î)-i-2-

En 80 fondant sur les inégalités (19), (20), (21) il est facile de démontrer, que dans la série (18) les nombres aj, a^, a^, . . . . et les facteurs

-^^ ont de telles valeurs, pour lesquelles cette série arrêtée à on terme qnelcooque donne la valeur la plus grande possible ne surpassant pas tj; (Mg). En effet, d'après (19) on voit directement que la somme de cette série arrêtée au terme

aurait une valeur plus grande que '\'(Mi,), si même le coefficient de 7)^^^ était augmenté d'une unité. Remarquons de même, que, d'après (16), sil'on

augmen-

augmente d'une unité le nombre a^j^i j la valeur de D^'=^-^

tera de J^jj.^. PaJ' conséquent pour une valeur plus grande de %i^i la

somme de la série (18) arrêtée au terme

avec Je facteur —^ = 1 aurait la valeur plus grande que •^(Ma) d'après les formules (20). Dans le cas, où le facteur ^^ de ce terme se réduit à zéro, on aurait l'inégalité (2 1). A cai^e de cette inégalité, la somme de la série (18) arrêtée au terme

- égal à un; car avec cette valeur du facteur —^ ce terme se réduirait à

ce qui, d'après (16), n'est pas inférieur à D^-^^^^-t-I)^-)^^, mais d'après (21) la somme

surpassera

Donc les valeurs des nombres

et des facteurs de la forme

dans la série (18) sont détenninées par la condition que cette série arrêtée à uo terme quelconque donne la valeur la plus grande possible ne surpassant pas 4- (-Mq).

H n'est pas difficile de démontrer que dans cette série le coefficient «^^ du terme

n'est pas supérieur à g^^ — 1, si le terme précédent 1^1 7)fe-i-«îi-i-i)

2 îï-i

est différent de zéro; dans le cas contraire le coefficient a^^ ne surpasse pas 3^.

En effet, le coefficient œ^^., comme nous avons vu, résulte de la division de la différence

par Djj.. Or cette différence, d'après (21), est inférieure à si son dernier terme disparait, et d'après (20) est inférieure à si ce terme ne disparaît pas. Par conséqueut daus le premier cas

et daus le secoud

Mais eu remplaçant d'après (14) D^i^ par I^^^^-^'î^ A^ on obtient

«„-<s.,-i-i-^-lf:

Or, -Djj^, étant moiudre que D^^, on a

par conséquent pour les valeurs entiers de a^^, q^^ la première inégalité ne peut subsister que quand le nombre a^^ ne surpasse pas q^^-*- 1; mais la seconde inégalité exige que a^^ ne soit pas supérieur à q^^ . y,n déterminant les termes de la série

conformément aux §§ III et V, on trouve que cette série se réduit à la suivante

Pi ■^>i -^ ^" jr)^lïs-P.-i)^ p, 7)3 ^- .... ,

les nombres Pi, ^3, ^3,. . . . étant entiers et positifs. Après avoir répété les mêmes raisonnements que nous avons faits par rapport à la série (18), nous arriverons aux conclusions suivantes : 1 ) on détermine les nombres ^1 , (Bg , ^3 , . .. . et les facteurs ~ de manière que la somme de cette série ari'êtée a nu terme quelconque ait la plus grande valeur possible ne surpassant pas ^(iVp]; 2) le coefficient p^^^ du terme ^^f^^ Ai-n ^"^ surpasse pas g^^^^ -1- 1 , si le terme précédent -^ jjmi—hi- disparaît; dans Je cas contraire ce coefficient ne surpasse pas q^f^^] 3) la somme de cette série arrêtée au terme ^^^^ -^^j).-!-! ^ ^^ valeur ne surpassant pas cp (iVo) et ne dliférant de !p(iV(|) que d'une valeur moindre queD^^^; mais en s'arrêtant au terme -^^ j)(3îl"- sil~ ) yy obtient une valeur ne surpassant pas <^(Ng) et n'en différant que d'une valeur moindre que D^y -+- I\i^,, ou D^^ suivant que ce terme disparait ou non.