lf,), '\>{M,l ^(ilfj

tW), ?(W,), <p(W,),

ne surpassant pas la limite donnée s. Nous avons vu (§ IVJ qu'un tel terme <^ (M) et le nombre correspondant M se déterminent au moyen des formules

'\>(M) = ^ (Jfo) ~ ^0 9o {<) — K % i^ù — •..-- (^vp — 0 9o («^p i),

M= Ma -I- /co «0 -+- '^i *fi -^ -^ (^V-i~" ^^ **''?-i '

où

est le premier terme, auquel doit être arrêtée la série

K 9o K) -+- K 9o ('h) ^- ^3 To (ï^a) -*-

pour fournir la valeur l (ili,,) à s près, et l le plus grand des nombres

0, 1, 2, 3, fe»p i— 1,

avec lequel l'expression

^0 To («o) -^ ^1 9o K) -<- -*- {^"p i— 0 9o {»-p i)

a la valeur '^(M^) à s près. En calculant cette série nous avons obtenu (§ V) la formule

OÙ d'après notre notation (§ Y)

Il eu résuite que les expressions des quantités ^{M) et ilf preunent la forme

ou bien

^ (U) = ^ (M,) ~ î-=i J)«t-'i-''- x^B^ — ^l zi,'»s-".-» ....

(1^1 A jfef-i- «îi-i— 1)

-('-r-')elïi7'"'"-'"".

suivant que

'^1 nfe-i— «2i— 1-1)

sera le premier terme, auquel doit être arrêtée la série

pour avoir la valeur '\i(Mo) à e près. Dans le dernier cas, d'après ce que nous avons dit plus haut, le nombre î doit être inférieur à ^-^ et par conséquent ne peut être différent de zéro. Mais pour ï = 0 les dernières expressions de 4^ {^) et M ont les mêmes valeurs que les premières pour ï = «jf . Donc les premières expressions de ijj (M) et M comprennent les deux cas en y admettant la valeur î=^a^^. On pourra alors sans s'arrêter aux termes de la forme

continuer la série jusqu'au terme de la forme »,< !>,„

avec lequel on obtient la valeur 4'(-^o) à s près.

Par conséquent pour déterminer -{' (M) et Jf on a un seul système de formules

-"-,-«.,% -4- Ifi %*-""""+.

— 670 ~ eu désignant par Ifi premier des termes a\ ec lequel la série

u la valeur '^i (Mo) à e près, î étant le plus grand des nombres

0, 1, 2, 3,. . , . a^;, avec lequel l'expression

donne ^^ (M,,) à e près.

Le nombre M ainsi déterminé est d'après le § Il la plus petite valeur de an pour laquelle la différence y — ax, en restant inférieure à 6, représente 1) h i près; la quantité '\i(M), d'après les §§ letll, sera égale à la valeur de

— {y — ax — h),

la plus rapprochée de zéro pour x = M et y — ax <ih. Pour obtenir la valeur de y correspondant à

— (y — ax^b) = ^iM),

remarquons que ces égalités après l'élimination de x donnent y = h — '\>(M)-i-aM.

Or, en y introduisant les valeurs obtenues de If et 4- (-M") et remplaçant d'après (12) les quantités

j) Wi-*i-i)^ j) ^ j) (3a— «3—0^ 2>4. . . . par

ou obtient après les réductions

ï/ = & -^ ailfo - «^ {M,) -+- i^ p/ïi-«i-"-H «3 P3 H- ii|i PgC/a-^a-O.^ . , ,

Afin de déterminer ^(M^) et M^, remarquons que d'après le § II les séries

iK«,), •\:{M^), +(M,),

commeneeut ayoc le même terme, par conséquent

<!;«)= ^,(0); mais d'après les fonnules (1)

^(0) = S — Ei; donc

4,(ilf„) = 6 — Es.

Ed portant ces valeurs de Mg et ^ (>/„) dans les esprcssious ci-dessus obtenues de a; :== Jf et î/ on trouve

X = ifi ft">-°.-'>-H a, ft H- Ifi e,".-.-"-.- ....

2, = Ej -1- 1=J p»i— ,-i)^. a, P, -H l=i p *-■.-■) ^. . . . .

Ces expressions de x et y déterminent les moindres valeurs entières de x et y pour lesquelles la différence y — ax, en restant moindre que b, représente 6 à s près.

En comparant ces expressions dv.x,y avec l'expression de t];{il4)=& — ^jJ donnée par la formule

et remarquant que d'après (16) et (13)

nous arrivons à la solution suivante de notre problème sur la détermination des moindres valeurs de x et y, pour lesquelles la différence y — ax, en restant inférieure à fc, donne fc à e près.

— (372 ~- Développons la quantité a en fraction continue

ao 3 , '

calculons les réduites

lo__± ^ — lo -^e+l — -Pgfe -+- ^'e— I

Ço ~ 0 ' «, — 1 ' Ç,^, " Qeqe-^ Qe-i

et les quant/tés

Do, })„ D„ ,

déterminées par les formitles

Développons la quantité h — rJ) en une série de la forme

l^{p^^oi.,D,-^D^]-i-a^B^-^-^-^p^{D.,-\-oL,B^~\-D^)-v- ,

les nombres entiers et positifs a^, a^, otg, . . . . et les signes dans les facteurs de la forme --^=— étant choisis de manière que la série arrêtée à un terme quelconque ait la plus grande valeur possible ne surpassant, pas h — -Tjfi. Au moyen de ce développement de la quantité h — Yj) on détermine de la manière suivante les plus petites valeurs x, y pour lesquelles la différence y — ax, en resta/nt inférieure à b, donne h à t près: Arrêtons la série

au premier terme de la forme a^D^, a^D^,. . . . avec lequel la série donne b — rJ) à t près, et dans cette expression de h — rJ) approchons de zéro le dernier coefficient autant qu'il soit possible en le laissant entier, sans augmenter par cela Ferreur au delà de s. En remplaçant dans Vcxpression approchée ainsi obtenue de la valeur b — rjb les quantités

D,, J?3, D„ D„ par les nombres

on obtient la valeur de rincomiu x; et en remplaçant les mêmes quantités par les nombres

et en ajoutant rjb on trouve y.

De même, en développant la quantité ç {N^ en série

on oMieut la solution de notre problème pour le cas

D'ailleurs les valeurs des quantités

et des nombres

restent les mêmes, mais la quantité

|{.¥o) = ;^ — E&, d'après le § II doit être remplacée pai-

q)(iY„)=^E6-+- 1—^.

Dans ce cas on détermine les plus petits nombres x, y avec lesquelles la différence y- — a/s donne & à s près de la manière suivante : Arrêtons la série

au premier terme de la forme ^i-Di, ^^T)^,. . . ., avec lequel on obtient la valeur tjh-t- 1 — h à s. près, et dans Vexpression de la quantité ïJb-t-l — h approchons de zéro le dernier coefficient autant qu'il soit possible en le laissant entier et sans augmenter V erreur de Vexpression de x^h -\-\ — b au delà de £. En remplaçant dams Vexpression de Hjô m- I — b ainsi obtenue les quantités